求解反应扩散方程的自适应网格算法研究

论文摘要

在科学和工程计算中,存在着大量可以用偏微分方程来表示的实际问题.但是,对于物理或工程等实际问题的数值求解,得到的数值近似解通常会因局部区域的奇异性而导致误差变得非常大,例如,内部层和边界层,或是尖锐的锋面等.对于这类问题的计算,如果采用均匀剖分,需要将网格划分的十分密集,从而使得计算量非常大.为了在不增加计算量的同时提高求解精度,自适应网格法便应运而生.自适应网格法在求解模型问题时,网格会自动地在解变动较为剧烈的地方进行加密,而在较为光滑的地方网格相对稀疏,它能在保持计算高效率的同时得到高精度的解.本文先以Poisson方程为例,给出了基于残差型和恢复型后验误差估计的误差指示子,并得到相应的自适应算法.对该算法用两个带有Dirichlet边界条件的算例进行了验证.结果表明,网格自动地向解的梯度较大的地方加密,也能看出基于恢复型误差指示子下的结果效果更好.然后,我们将自适应网格法应用于反应扩散问题的求解中,首先给出了理论分析结果;接着,以恢复型后验误差估计指示子为基础,采用了Dorfler准则及red-green加密策略,提出了一种时空自适应算法;最后,基于以上的自适应方法,我们对一类带有初边值条件的反应扩散问题进行了算例验证.为了比较,我们也提供了粗网格和一致加密网格上的有限元求解结果.数值模拟结果表明,相对于一致加密网格,自适应网格能够自动向解的梯度较大的地方加密,并且在较少的计算量下,获得了更高精度的结果,验证了该算法对于反应扩散问题的有效性.

论文目录

• 摘要
• abstract
• 1. 引言
•   1.1 自适应网格法的研究背景与意义
•   1.2 反应扩散方程的研究意义及背景
•   1.3 课题的研究背景及现状
•   1.4 本文的工作
• 2. 预备知识
•   2.1 空间及其范数
• p空间及其范数'>    2.2.1 L^p空间及其范数
•     2.2.2 Sobolev空间及其范数
•   2.2 常用不等式和定理
•   2.3 网格管理
•     2.3.1 网格剖分
•     2.3.2 补丁
•   2.4 本章小结
• 3. 自适应网格算法——以Poisson方程为例
•   3.1 模型问题
•   3.2 有限元离散格式及先验误差估计
•   3.3 后验误差估计
•     3.3.1 残差型后验误差估计
•     3.3.2 恢复型后验误差估计
•   3.4 自适应网格
•     3.4.1 标记
•     3.4.2 网格加密
•     3.4.3 网格粗化
•   3.5 自适应网格算法
•   3.6 实例验算
•     3.6.1 算例一区域中心有奇异性
•     3.6.2 算例二区域角点附近解的变化较大
•   3.7 本章小结
• 4. 自适应网格法在反应扩散方程中的应用
•   4.1 模型问题
•   4.2 有限元离散
•     4.2.1 有限元半离散格式
•     4.2.2 有限元全离散格式
•   4.3 反应扩散问题的自适应算法
•   4.4 数值算例
•     4.4.1 算例一（已知精确解）
•     4.4.2 算例二（精确解未知）
•   4.5 本章小结
• 5. 总结与展望
•   5.1 工作总结
•   5.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读学位期间主要研究成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 谭红霞

导师: 段献葆

关键词: 反应扩散方程,自适应网格,后验误差估计,自适应有限元方法

来源: 西安理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 西安理工大学

分类号: O241.82

总页数: 68

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