高等数学的初等化应用探究

论文摘要

高等数学课程相对于中学数学,不仅在知识结构上进行了扩充与深化,而且在能力与技巧上提出了更高的要求,就数学思想方法而言,高等数学对中学数学无疑具有极强的指导作用。著名数学教育家吴大任先生指出:“观点越高,事物越显得简单。例如在实数域里不好理解的某些东西,从复数域的观点来看,就清楚了;在欧氏空间里某些不好解释的现象,从射影空间的观点来看,就有满意的说明。”同时吴先生强调,《高观点下的初等数学》特别着重“融合”,即“初等数学同高等数学的融合、数学各部分的融合、几何观念同算术观念的融合、感性与理性的融合等等”。所以探究高等数学与中学数学的对比联系,对中学教师以后的教师生涯具有极强的指导意义和引领作用。在新课改的要求下,课程标准不断发生变化,纵观近年来全国高考数学试卷,整体难度上虽没有太大的变化,但总体来看,创新性的题目颇受重视,不仅考查了学生对教材内容的基本掌握情况,更考查了学生的数学核心素养,其中部分题目完全可以用高等数学的知识或方法去解决。本文通过文献法和师生研讨法对高等数学的初等化进行了探讨,以近年来部分省市高考真题和数学竞赛题为研究模板,综合分析整理一些经典题目、倡导一题多解,尽量从“高观点”去“俯瞰”题目,致力于挖掘题目所考察的知识方法、所蕴含的数学思想。文章分为绪论和本论两部分。从绪论来看,本文对高等数学的初等化应用进行探究,结合国内外的相关研究成果,通过对高中数学部分知识点及常考题型进行剖析,确立了文章的研究现状,奠定了文章研究的意义。从本论来看,本文共分为四个部分。第一部分通过对数学分析在初等数学中的初等化进行了讨论,从数列与函数的关系、柯西不等式、Abel公式等知识点进行了例题分析;第二部分通过对概率统计方法在初等数学中的初等化进行了讨论,从概率及方差的角度证明不等式,同时对两种概率模型进行了例题解析;第三部分通过对初等数论中的知识点进行了讨论;第四部分探讨了放射变换在平面向量、线性规划及圆锥曲线中的初等化应用,结合实际例题揭示了仿射变换在解决高中部分试题中的引领作用。最后,文章通过对上述几个知识点初等化应用探究,比较通法和“特殊”解法,分析题目所蕴含的数学背景,希望为今后的教学和研究提供理论支撑及指导作用。

论文目录

• 摘要
• Absttract
• 1 绪论
•   1.1 研究背景
•   1.2 研究意义
•   1.3 文献评述
•     1.3.1 国外研究现状
•     1.3.2 国内研究现状
•   1.4 研究方法
• 2 数学分析在初等数学中的初等化
•   2.1 数列与函数的关系
•   2.2 柯西不等式的初等化应用
•   2.3 Abel公式初等化应用
•   2.4 微积分在等式中的证明
•   2.5 拉格朗日中值定理
•   2.6 泰勒公式
• 3 概率统计的方法在初等数学中的应用
•   3.1 用概率定义证不等式
•   3.2 用方差公式证不等式
•   3.3 古典概型的特点和意义
•   3.4 几何概型的特点和意义
• 4 初等数论
•   4.1 完全剩余系与剩余类
•   4.2 整数的奇偶性
•   4.3 高斯函数[x]的初等化应用举例
• 5 仿射变换
•   5.1 仿射变换对平面向量的初等化应用
•   5.2 仿射变换对线性规划的初等化应用
•   5.3 仿射变换对椭圆的初等化应用
• 6 总结与归纳
•   6.1 结语
•   6.2 建议与补充
•   6.3 研究收获与不足之处
• 参考文献

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 叶占忠

导师: 严国政

关键词: 高等数学,初等化应用,高观点

来源: 华中师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学,社会科学Ⅱ辑

专业: 数学,中等教育

单位: 华中师范大学

分类号: O13-4;G633.6

DOI: 10.27159/d.cnki.ghzsu.2019.001755

总页数: 54

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