临界点理论、分支理论在几类微分方程中的应用

论文摘要

微分方程具有广泛的应用,例如生物、化学、经济、物理与技术问题等都可以转化为微分方程的求解问题。一方面非线性项和边值条件的引入使得微分方程解的研究更加复杂,适定性理论被用于解决这一问题。另一方面微分生态系统的研究贯彻了可持续发展战略。自然环境调控和人为干预使得微分系统解的运动轨线的性态研究困难重重,微分方程解的定性、稳定性理论应运而生。因此微分方程的适定性理论、定性与稳定性理论一直是数学领域研究的热点。本文针对这两部分研究热点问题,展开进一步讨论。本文主要利用光滑临界点理论、非光滑临界点理论、Banach空间上的不动点定理、空间分解理论、变分不等式等对非线性脉冲微分方程、微分包含边值问题解的存在性及多解性进行了研究。此外,利用特征值理论、分支理论对微分模型平衡态存在性、稳定性及分支问题进行研究。全文分为七章来论述。第一章绪论,一方面介绍非线性脉冲微分方程边值问题的提出、应用和研究方法。且给出了变分法、临界点理论发展历史和研究近况的详细介绍。另一方面介绍微分模型定性与稳定性的研究方法、发展历程,特别地对捕食-食饵模型的背景及意义、研究历史、研究方法给出详细论述。同时给出本文的主要研究工作。第二章预备知识,给出本文研究所使用的定义、引理、不等式和定理,为后续章节做准备。第三章利用临界点理论研究四阶脉冲微分方程反周期边值问题解的存在性。本章节研究内容分为两部分,第一部分依据特征值的大小进行正交空间分解,结合鞍点定理给出四阶脉冲微分方程反周期边值问题解的存在性。与己有文献相比,本章研究的微分模型更具有一般性和实际意义,推广了已有结论。第二部分定义Banach空间,利用不动点定理给出辅助问题解的存在性。同时利用临界点理论、辅助问题和研究问题解的关系,给出四阶脉冲微分方程反周期边值问题解的存在性及解的性质。在解空间的闭凸子集上任意极小化序列都有界,这更有利于极值定理的应用。此外,本章给出了能量泛函临界点是研究问题经典解的新的证明方法。第四章利用临界点理论研究四阶脉冲微分方程周期边值问题解的多解性。本章节第一部分利用Lax-Milgram定理给出线性问题解的存在性,同时利用山路定理和变分法给出四阶脉冲微分方程周期边值问题的多解性。第二部分利用极值定理研究了带有振荡性非线性项的四阶脉冲微分方程周期边值问题无穷多个解的存在性及解的收敛性。主要方法是构造辅助问题得到其无穷多个解的存在性和收敛性,利用变换将辅助问题解等价为研究问题的解。脉冲效应是以往文献所没有考虑的,研究中非线性项的限定被弱化,本章研究内容拓展了己有研究工作。第五章利用非光滑临界点理论研究带有相对论算子和脉冲的微分包含解的存在性和多解性。第一部分利用非光滑临界点定理对非线性项、脉冲项做出限定得到非负解的存在性。临界点范数大小的限定使得奇异问题和非奇异问题等价。第二部分利用非光滑临界点定理研究带有振荡性非线性项的脉冲微分包含边值问题,给出无穷多个解的存在性,同时解的收敛性使得奇异问题和非奇异问题互相转化。与己有的带有相对论算子文献相比,脉冲效应被考虑,且本章采用了新的方法使得奇异系统和非奇异系统的解等价。此外,新的方法被用于判断解的非负性和范数收敛,进一步得到了新的结论。第六章利用特征值理论和分支理论对微分模型的稳定性进行研究。第一部分主要利用特征值理论分析改进后的捕食-食饵模型平衡态的稳定性,利用分支理论研究模型的分支类型和分支的稳定性及规范型。第二部分研究从传染病模型分离出的具有交叉项的的微分模型平衡态的存在性、多重性、局部稳定性、全局稳定性。进一步给出了数值模拟,验证了理论分析的正确性。本章首次将时滞和分段常数变量同时引入捕食-食饵模型,并得到两种分支并存的结果,是不同于以往文献的新结果。此外,变量之间均有交叉项模型的研究更具有一般性。直接对特征函数分析较为复杂,本章通过降幂简化特征函数,更有利于特征值分析。本章研究工作在理论上全面地证明了此类模型的稳定性,丰富了已有工作。第七章对本文的研究内容进行总结,并对后续研究问题进行展望。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
•   1.1 研究问题的背景和物理意义
•   1.2 研究问题的发展和现状
•     1.2.1 微分边值问题的发展和研究现状
•     1.2.2 捕食-食饵模型的发展和研究现状
•   1.3 研究方法介绍
•     1.3.1 临界点理论的发展
•     1.3.2 分支理论的发展
•   1.4 论文主要工作简介
• 第二章 预备知识
•   2.1 临界点理论
•   2.2 分支理论
• 第三章 四阶脉冲微分方程反周期边值问题
•   3.1 引言
•   3.2 带有不确定线性部分的四阶脉冲微分方程反周期边值问题
•     3.2.1 解空间和相关定义
•     3.2.2 相关引理及空间分解预备知识
•     3.2.3 主要结果
•     3.2.4 例子
•   3.3 带有严格单调算子的四阶脉冲微分方程反周期边值问题
•     3.3.1 解空间和相关定义
•     3.3.2 相关引理及证明
•     3.3.3 主要结果
•     3.3.4 例子
•   3.4 本章小结
• 第四章 四阶脉冲微分方程周期边值问题
•   4.1 引言
•   4.2 四阶脉冲微分方程周期边值问题解的存在性和多解性
•     4.2.1 解空间和相关定义
•     4.2.2 与变分结构相关的引理
•     4.2.3 主要结果及证明
•     4.2.4 例子
•   4.3 四阶脉冲微分方程周期边值问题无穷多个解的存在性
•     4.3.1 解空间和相关定义
•     4.3.2 主要结果相关引理及证明
•     4.3.3 主要结果
•     4.3.4 例子
•   4.4 本章小结
• 第五章 带有相对论算子的脉冲微分包含边值问题
•   5.1 引言
•   5.2 带有相对论算子的脉冲微分包含边值问题解的存在性
•     5.2.1 解空间和非光滑临界点基本知识
•     5.2.2 主要结果及证明
•     5.2.3 例子
•   5.3 带有相对论算子的脉冲微分包含边值问题无穷多个解的存在性
•     5.3.1 变分结构和相关定义
•     5.3.2 与结果相关的引理及证明
•     5.3.3 主要结果及证明
•     5.3.4 例子
•   5.4 本章小结
• 第六章 非线性的微分自治系统
•   6.1 引言
•   6.2 带有时滞和分段常数变量的捕食-食饵模型的分支分析
•     6.2.1 模型分析及离散化
•     6.2.2 稳定性分析
•     6.2.3 分支分析
•     6.2.4 数值模拟
•   6.3 非线性三维自治微分系统的稳定性分析
•     6.3.1 正平衡态的存在性及多重性
•     6.3.2 正平衡态的局部稳定性
•     6.3.3 正平衡态的全局稳定性
•     6.3.4 数值模拟
•   6.4 本章小结
• 第七章 总结与展望
• 参考文献
• 附录 引理证明及式子推导
• 致谢
• 攻读学位期间发表的学术论文目录

文章来源

类型: 博士论文

作者: 尚随明

导师: 田玉

关键词: 临界点理论,分支理论,脉冲,多解性,稳定性

来源: 北京邮电大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 北京邮电大学

分类号: O175

总页数: 163

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