几类椭圆型方程及方程组解的存在性与集中性

论文摘要

本文主要研究带陡势阱位势的Kirchhoff型方程基态解的存在性与集中行为,Schr（?）dinger-Kirchhoff型p-Laplacian方程及分数次Kirchhoff型方程解的存在性、集中性与多解性,带局部约束的非线性Schr（?）dinger系统驻波解的存在性、稳定性与数量性质.本文共分五章:在第一章中,我们概述本文所研究问题的背景及国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作及相关的预备知识和一些记号.在第二章中,我们研究一类带陡势阱位势的Kirchhoff型方程（?）解的存在性与集中行为,其中a,b,λ>0,V ∈C（R3,R）是一个势阱,q（x）是正有界函数,f（s）关于s在无穷远处渐进线性或渐进3-次线性.当V,q及f满足某些给定条件时,利用变分方法,我们证明了当f（s）关于s在无穷远处渐近线性时问题（E1）解的存在性.特别地,我们考虑了位势函数V变号时问题（E1）解的存在性.此外,我们还讨论了当f（s）关于s在无穷远处渐近3-次线性时问题（E1）基态解的存在性与集中性.上述结果把Sun和Wu（J.Differ.Equations.2014）中关于带非负势阱位势的Kirchhoff型方程的主要结果推广到了带变号势阱位势的Kirchhoff型方程.本章的主要结果已发表于（J.Math.Anal.Appl.,467,893-915（2018））.在第三章中,我们研究RN中Schr（?）dinger-Kirchhoff型p-Laplacian问题（?）的多解性与集中性,其中△p是p-Laplacian算子,N≥ 3,1<p<N,M:R+→R+和V:RN→R+是连续函数,e是一个正的参数,f为次临界增长的连续函数.我们假设V满足由Del Pino和Felmer在文献[28]中引入的局部条件.通过利用变分方法,惩罚技术及Lyusternik-Schnirelmann理论,我们证明了问题（E2）解的存在性,集中性与多解性.本章的主要结果已发表于（Acta Math.Sci.Ser.B,38,391-418（2018））.在第四章中,我们研究下列分数次Schr（?）dinger-Kirchhoff型问题（?）基态解的存在性,集中性与多解性,其中（?）是非局部算子,e是很小的正参数,s∈（3/4,1）算子（-△）s是阶数为s的分数Laplaican,M,V,K和f是连续函数.在M,V,K和f满足适当的条件下,我们证明了问题（E3）基态解的存在性与集中现象.运用极小极大定理和Ljusternik-Schnirelmann理论,我们通过研究位势V（x）的全局极小值点所构成的集合与位势K（x）的全局极大值点所构成的集合的拓扑结构来得到问题（E3）的多解性的结果.本章的主要结果已发表于（Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.,43,991-1021（2018））.在第五章中,我们研究下列带局部约束的非线性Schr（?）dinger系统（?）标准化解的存在性,数量性质及对称性,其中μi>0（i=1,2）,β>0,频率λ1,λ2是未知的且以拉格朗日乘子出现.我们通过寻找能量泛函（?）限制在集合S（c1）×S（c2）上的临界点来找到问题（E4）的标准化解,其中（?）.由于I（u,w）在S（c1）×S（c2）上无下界,所以通过寻找I（u,v）在S（c1）× S（c2）中的全局极小点的方法失效.我们通过在S（c1）×S（c2）的一个子集上运用约束极小法,证明了对特定的c1,c2c2>0,在S（c1）× S（c2）中存在局部极小点.进一步,我们分析了依赖时间的Schr（?）dinger系统相应驻波解的稳定性.上述结果把Bellazzinietal.在（Commun.Math.Phys.2017）中关于带局部约束的超临界非线性Schr（?）dinger方程的主要结果推广到了带局部约束的非线性Schr（?）dinger系统.

论文目录

• 内容摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 问题的背景及研究现状
•   1.2 本文的记号
•   1.3 定义及引理
•   1.4 本文的主要工作
•   1.5 结构安排
• 第二章 带陡势阱位势的Kirchhof型方程解的存在性与集中行为
•   2.1 问题的提出及主要结果
•   2.2 预备知识
•   2.3 定理2.1.1-2.1.2的证明
•   2.4 定理2.1.3的证明
• N中Schr（?）dinger-Kirchhoff型p-Laplacian方程解的存在性,集中性与多解性'>第三章 R^N中Schr（?）dinger-Kirchhoff型p-Laplacian方程解的存在性,集中性与多解性
•   3.1 问题的提出及主要结果
•   3.2 辅助问题
•   3.3 辅助问题的多解性
•     3.3.1 自发问题
•     3.3.2 一些技术性结果
• ∈,g)的多解性'>    3.3.3 问题(Q_∈,g)的多解性
•   3.4 定理3.1.1的证明
• 第四章 分数次Schr（?）dinger-Kirchhoff型方程基态解的存在性,集中性与多解性
•   4.1 问题的提出及主要结果
•   4.2 预备知识
•   4.3 极限问题
•   4.4 基态解的集中性
•   4.5 衰减估计
•   4.6 问题（4.1.1）的多解性
• 第五章 带局部约束的非线性Schr（?）dinger系统驻波解的存在性及稳定性
•   5.1 问题的提出及主要结果
•   5.2 预备知识
•   5.3 定理5.1.1的证明
•   5.4 定理5.1.2的证明
• 参考文献
• 攻读博士学位期间已发表和待发表的论文
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 贾慧芳

导师: 李工宝

关键词: 型方程,基态解,集中行为,变分方法,惩罚方法,理论,多解性,非线性系统,标准化解,稳定性,驻波解

来源: 华中师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 华中师范大学

基金: 国家自然科学基金项目NSFC No:11771166,11371159,华中师范大学优秀博士学位论文培育计划资助项目No:2018YBZZ066

分类号: O175

总页数: 181

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