时间分数阶微分方程数值求解的三次B样条方法

论文摘要

时间分数阶微分方程是微分方程研究领域的一个重要分支,在各类扩散系统中有着广泛的应用。但是由于时间分数阶微分方程具有分数阶导数,不易求解,从现有的研究方法看,求解此类微分方程的主要方法是将其离散化进而求解数值解。由于B样条函数是对称单峰值函数,具有光滑性好、紧支集等特点,同时保留了分段插值多项式计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易于在计算机上实现的优点。并且B样条配点法构造简单,数值精度高,易于处理复杂的边界问题,目前已成为求解偏微分方程的重要数值方法之一。所以本文提出使用三次B样条方法求解时间分数阶微分方程数值解以及参数反演,研究其求解此类问题的收敛性和稳定性。为了研究三次B样条方法能否较好地求解时间分数阶微分方程数值解,本文将利用Caputo分数阶微分定义,将时间分数阶微分转变为积分形式,同时对于时间维度的一阶偏导采用一阶差分格式,离散化时间分数阶微分方程。实验结果表明,三次B样条方法能够有效快速地求解时间分数阶微分方程,并且能够将误差控制在10-5数量级。随后,本文根据三次B样条插值方法的误差,通过理论证明来验证三次B样条方法求解时间分数阶微分方程的有效性。通过证明我们得到三次B样条方法求解时间分数阶微分方程的收敛阶为（Δt2-α+Δx2）,进一步证明三次B样条方法求解时间分数阶微分方程的有效性。源项反演也是微分方程数值解的一个重要部分,在实际问题中通常需要通过观测值来推测源项、参数或者初边值,由于时间分数阶微分方程的特殊性,当前的分数阶微分与之前所有时间的函数值相关,所以很难使用整数阶微分方程的方法求解,因此本文提出了一种新的泛函,对方程进行平方计算并在时间空间上积分产生一个泛函,极小化该泛函所得到的源项即所求源项。但是仅仅对泛函偏微分等于零求源项具有不适定性,因此本文在这里引入正则化方法,然后通过最小二乘法的思想求解参数方程。实验结果表明,改进的三次B样条源项反演算法虽然因为三次B样条函数的分段特点增加了源项中的参数个数,但是算法不需要通过迭代,避免了复杂的计算,拟合效果整体上要优于多项式拟合算法。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第1章 绪论
•   1.1 课题背景及研究的目的和意义
•   1.2 国内外研究现状
•     1.2.1 地下水污染国内外研究现状
•     1.2.2 分数阶微分方程国内外研究现状
•     1.2.3 三次B样条国内外研究现状
•   1.3 国内外文献综述及简析
•   1.4 本文的主要研究内容
• 第2章 理论基础
•   2.1 引言
•   2.2 分数阶微分的理论定义
•   2.3 三次B样条方法的基础理论
•   2.4 最小二乘法
•   2.5 本章小结
• 第3章 三次B样条方法求解时间分数阶微分方程
•   3.1 引言
•   3.2 目标函数的构造
•     3.2.1 时间分数阶微分方程
•     3.2.2 目标函数离散化
•   3.3 数值模拟
•   3.4 本章小结
• 第4章 三次B样条方法的误差分析
•   4.1 引言
•   4.2 三次B样条函数误差
•   4.3 三次B样条方法的收敛性分析
•   4.4 本章小结
• 第5章 基于三次B样条的源项反演方法及其改进
•   5.1 引言
•   5.2 基于三次B样条源项反演算法
•     5.2.1 目标函数构造
•     5.2.2 数值算例
•   5.3 改进的基于三次B样条源项反演算法
•     5.3.1 目标函数的改进
•     5.3.2 正则化参数选取
•     5.3.3 数值算例
•   5.4 本章小结
• 结论
• 参考文献
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 庄博城

导师: 张新明

关键词: 三次样条,分数阶微分方程,不适定问题,正则化

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 哈尔滨工业大学

基金: 广东省自然科学基金面上项目(编号2017A030313280)

分类号: O241.8

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.006083

总页数: 60

文件大小: 3997k