——以“函数的概念”一节为例
马庆芳江苏南京市临江高级中学211102
数学核心概念是数学素质的重要组成部分。《课标》在课程总目标中还提到：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质”。核心概念即基本的数学概念和数学结论，因此，核心概念是数学教学的基石，是教师确定重点和难度的依据。
下面以数学苏教版普通高中新课程标准实验教科书必修１函数第一课时为例，谈谈如何围绕核心概念展开数学课堂教学。
一、教学内容分析及设计思路
函数是中学数学最重要的基本概念之一，其核心概念为非空数集到非空数集的一个对应；函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础；它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具。函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的核心概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法，初步运用函数思想理解和处理生活、社会中的简单问题。
二、确定核心概念，细化次位概念
首先要通过丰富实例让学生了解函数的核心概念：非空数集到非空数集的一个对应。了解构成函数的三要素；然后区别与联系，让学生理解函数概念的本质，抽象的函数符号f（x）的意义，f（a）（a为常数）与f（x）的会求一些简单函数的定义域和函数值；并且让学生经历函数概念的形成过程，函数概念的辨析过程，函数定义域的求解过程以及求函数值的过程，渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力；通过经历以上过程，让学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，体验函数思想；通过师生互动、生生互动，让学生在民主、和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性和f（x）的简洁美。通过例题的讲解，培养和提高学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。
三、围绕核心概念选择教学策略
2010年9月5日0时14分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火箭，成功将“鑫诺六号”通信广播卫星送入太空。在“鑫诺六号”飞行期间，我们时刻关注着“鑫诺六号”离地面的距离随时间是如何变化的，数学上可以函数用来描述这种运动变化中的数量关系。
1.回忆旧知，引出困惑
问题一：请举出初中学过的一些函数。
y=2x，y=x2，y=等。
问题二：请同学们回忆初中函数的定义是什么?
在一个变化过程中，有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量。
问题三：y=0（x∈R）是函数吗？
学生活动：先由学生思考回答，对产生的两种意见展开小组讨论。
由于受认知能力的影响，利用初中所学函数知识很难回答这些问题，形成认知冲突，从而引出本堂课的课题（用幻灯片打出课题）。让学生带着悬念、带着认知冲突学习后面的知识，这样有利于激发学生的学习欲望。
2.创设情境，形成概念
实例一：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标。炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=130t-5t2。
问题四：
（1）t的范围是什么？h的范围是什么？
（2）t和h有什么关系？这个关系有什么特点？
（实例一由师生共同完成）
事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高，需求越来越大，对环境的影响也越来越重，下面请同学们自学有关臭氧层空洞的问题和恩格尔系数的问题：
实例二：近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况。
实例三：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
通过先对两个实例的学生自学，然后请学生谈感受，老师提问，学生回答，师生共同完成。
问题五：实例一、实例二、实例三的对应关系在呈现方式上有什么不同？
问题六：以上三个实例有什么相同的特征？
学生活动：让学生分组讨论交流，总结归纳出：
共同特点：①都有两个非空数集A、B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应。
问题七：满足以上共同特点的两个数集的对应关系，我们把它叫做什么呢？（先让学生说，老师再做补充）
引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数。
你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？
函数概念：
设A、B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f∶A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f(x)|x∈A｝叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集。
问题八:请同学们根据现在函数的定义说说前面三个实例是否表示两个集合的函数关系？
问题九:y=0(x∈R)是函数吗?
问题十:用几何画板在平面直角坐标系中画出一段弧，并作平移和旋转，同时让学生判断这些平移和旋转中的弧是否表示函数图象。
方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？
可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？
3.质疑解惑,剖析概念
问题十一:请同学们勾画出概念中的关键词，并用简洁的语言说明。
通过交流得出以下几点：
（1）A、B都是非空的数集；
（2）任意性与唯一性；
（3）确定的对应关系，对应关系f可以是解析式、图象、表格。
问题十二:函数由几部分组成?
三要素：定义域、值域、对应法则，缺一不可。
问题十三:怎样理解符号f(x)?
在法则f下，x所对应的函数值，并结合生活实例说明。
4.讨论研究，深化理解
例1:已知函数f（x）=x+3+。
（1）求函数的定义域。
（2）求f（-3），f（）的值。
（3）当a＞0时，求f(a),f(a-1)的值。
想一想：函数的定义域该怎么求？符号f(a)(a为常数)与f(x)有哪些区别与联系?
（学生先思考、计算，老师提问，师生共同完成）
5.即时训练，巩固新知
练习1.求函数f（x）=1-x+x+3-1的定义域.
练习2.已知函数f（x）=3x3+2x，求f（2）+f（-a）的值。
学生活动:抽两位学生到讲台在黑板上分别完成（其他同学在下面完成），完成后，师生共同评价完善。
6.总结反思，提高认识
今天，我们在初中函数定义的基础上，运用集合与对应的语言重新刻画了函数，比较两个函数的定义，同学们有什么新的认识。
引导学生思考回答，老师作适当补充。
7.分层作业，自主探究
作业：
（1）举出生活中函数的例子（两个以上），并用集合与对应的语言来描述函数。
（2）A组学生做：P24,1、2、3、4。
B组学生做：必做A组学生所做，选做P25，1题。
四、结语
数学的概念繁多，概念的特征和内容各不相同。教师在教学过程中，要依据《课标》要求，结合具体教学内容，梳理出核心概念，并选择合适的教学策略，帮助学生建构并理解数学概念，提高学生的数学素养。