两层网格方法和基于AHSS方法的加性Schwarz方法研究

论文摘要

在求解非线性或非对称不定椭圆问题时,两层网格方法是一种非常有效的数值算法.运用两层网格子空间,该方法只需要求解一个粗网格空间上的小规模问题和一个细网格空间上的简单问题就能得到原来复杂问题的解,从而能够大大减少计算量,节省计算时间.因此该方法被广泛用于求解其他复杂问题.对于线性椭圆问题,区域分解算法通常作为Krylov子空间方法的预条件子加速求解离散后的线性方程组.由于区域分解方法具有最优收敛性和天然的可并行性,已经成为求解大规模工程计算问题的重要方法之一.基于前人的研究工作,本文讨论两层网格方法和Schwarz算法的应用.其主要内容由三个章节组成.第一章首先介绍了两层网格方法、罚函数法以及Schwarz算法的历史背景和发展现状,然后在预备知识中给出了本文常用的函数空间和不等式.第二章主要讨论了两层罚函数法求解定常不可压Stokes方程.利用两层网格子空间,原问题的求解就转化为求解粗网格空间上的Stokes方程和求解细网格空间上的两个具有相同系数矩阵的罚参数方程.值得注意的是该系数矩阵是对称正定的,这就使原问题的求解变得简单.收敛性理论表明粗网格空间相对于细网格空间可以选择很小,且不必选取很小的罚参数就能够得到原问题的解.数值算例验证了理论分析的正确性.数值比较也进一步说明了两层罚函数法求解定常不可压Stokes方程具有更高的计算效率.第三章主要讨论了基于AHSS（Asymmetric Hermitian and skew-Hermitian splitting）方法的两层加性Schwarz算法求解非自伴椭圆方程.将Schwarz算子作为GMRES方法的预条件子求解经有限元离散椭圆问题得到的线性方程组.将Schwarz算子中的参数α和β分别选取为线性方程组系数矩阵埃尔米特部分的最大和最小特征值.基于经典的Schwarz理论给出了新的两层加性Schwarz算法的收敛性理论.在一定假设条件下证明了算法的收敛率与细网格步长和子区域个数无关.数值算例也验证了理论分析.与经典的Schwarz算法比较,数值结果表明新算法在求解对流占优的对流扩散方程时更有效.

论文目录

• 致谢
• 摘要
• abstract
• 1 绪论
•   1.1 研究背景和发展概况
•   1.2 预备知识
•   1.3 常用记号说明
•   1.4 本文结构安排
• 2 两层罚函数法求解定常不可压Stokes方程
•   2.1 两层罚函数法
•   2.2 两层罚函数法的收敛性分析
•   2.3 数值实验
• 3 求解非自伴椭圆方程的两层加性Schwarz算法
•   3.1 非自伴椭圆问题及两层加性Schwarz算法
•   3.2 两层加性Schwarz算法的收敛性分析
•   3.3 数值实验
•   3.4 参数的选取
• 4 结论与展望
•   4.1 主要结论
•   4.2 主要创新点
•   4.3 展望
• 参考文献
• 作者简历
• 学位论文数据集

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 祁粉粉

导师: 李世顺

关键词: 两层网格方法,罚函数法,方程,加性算法,迭代法,非自伴椭圆方程

来源: 河南理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 河南理工大学

基金: 国家自然科学基金111401177,11726636

分类号: O241.82

DOI: 10.27116/d.cnki.gjzgc.2019.000108

总页数: 58

文件大小: 1262K

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