非线性波动方程多个周期解的存在性问题

论文摘要

本文主要研究了非线性波动方程多个周期解的存在性问题.一方面,我们考虑n维球上具有径向对称性质的常系数波动方程的周期解.对任意的空间维数n,当时间周期T和半径R满足关系8R/T=a/b（其中a与b互素）时,我们针对一类非线性问题,利用变分方法和鞍点约化技巧证明了至少三个径向对称周期解的存在性.另一方面,我们考虑了一维变系数波动方程的周期解.这种模型源于有界非均匀弦的受迫振动以及非均匀介质中地震波的传播.对于这种模型,我们针对不同类型的非线性项分别讨论.（1）对于渐近线性增长的非线性项,在系数满足一定条件（ηρ（x）>0）下,我们研究了具有Dirichlet边界条件的波算子的性质,证明了本质谱的存在性,刻画了本质谱的存在区间,进而利用变分方法和鞍点约化技巧得到了至少三个周期解的存在性.（2）对于次线性增长的非线性项,在系数满足一定条件（ηρ（x）>0）下,我们研究了具有某些齐次边界条件波算子的性质,发现了本质谱的存在性,刻画了本质谱的存在区间,进而利用Z2-指标理论和逼近方法证明了无穷多个周期解的存在.（3）对于超线性增长的非线性项,我们研究了Dirichlet-Neumann和Dirichlet-Robin边界条件下波算子谱的性质,利用极小极大原理和逼近方法证明了无穷多个周期解的存在性.特别地,在这种情形下,我们不需要对系数施加任何的限制条件。

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 研究背景及现状
•   1.2 预备知识
•     1.2.1 算子的连续性,有界性与紧性
•     1.2.2 算子的微分与泛函的梯度
•     1.2.3 极小极大原理
• 2-指标理论'>    1.2.4 Z_2-指标理论
•     1.2.5 鞍点约化引理
•     1.2.6 重要不等式
•   1.3 本文的主要工作
• 第二章 n维球上径向对称的常系数波动方程
•   2.1 引言
•   2.2 一类非线性问题的径向对称周期解
•     2.2.1 算子谱的性质与变分问题
•     2.2.2 鞍点约化
• c条件.'>    2.2.3 验证（PS）_c条件.
•     2.2.4 约化泛函的有界性
•     2.2.5 主要定理的证明
• 第三章 一维变系数非线性波动方程
•   3.1 引言
•   3.2 渐近线性问题的周期解
•     3.2.1 算子谱的性质
•     3.2.2 变分问题与鞍点约化
•     3.2.3 验证（P S）c条件
•     3.2.4 约化泛函的有界性
•     3.2.5 主要定理的证明
•   3.3 次线性问题周期解的多重性
•     3.3.1 算子谱的性质与变分问题
•     3.3.2 泛函在子空间上的有界性
•     3.3.3 约束泛函的临界点
•     3.3.4 主要定理的证明
•   3.4 超线性问题的周期解
•     3.4.1 算子谱的性质与变分问题
•     3.4.2 约束泛函的临界点
•     3.4.3 主要定理的证明
• 第四章 总结与展望
• 参考文献
• 在学期间公开发表（投稿）论文情况
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 魏辉

导师: 冀书关

关键词: 波动方程,周期解,指标理论,极小极大原理

来源: 东北师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 东北师范大学

分类号: O175.29

总页数: 108

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