配边群，cocycle公式及其在范畴分类与数学物理中的应用

论文摘要

近年来,配边理论与群的上同调理论在物理中的对称保护拓扑（SPT）理论中扮演着越来越重要的角色。比如,Freed-Hopkins的工作将配边理论与SPT理论联系起来;Wang-Gu-Wen的工作将群的上同调理论与SPT理论联系起来。本文计算得到了物理中跟4d-杨-米尔斯理论以及4d-伴随量子色动力学（QCD）相关的一些配边群和配边不变量,以及给出了有限阿贝尔群bar消解的任意阶cocycle的显示表达式,并讨论了它们在数学和物理中的应用。本文结构如下:在第一章中,我们介绍了本文中将用到的基本定义和记号以及配边理论的发展和它在物理中的应用。在第二章中,我们利用Adams谱序列的方法计算了配边群Ωd≤5H（B2Z2）,其中H=O/SO/Spin/Pin±,B2Z2为higher分类空间,或等价地为Eilenberg-MacLane空间K（Z2,2）。熟知那些在Ω5SO（B2Z2）中消失的Ω5O（B2Z2）的配边不变量为某种4d SU（2）杨-米尔斯理论的5d拓扑项的候选者。作为推论,我们计算了TPd≤5（H×BZ2）,该群由Daniel Freed和Michael Hopkins定义,用来分类某种拓扑相。此外,我们计算了Ωd≤5 Spin×z2（SU（2）×z2z8）（B2Z2）,已知Ω5Spin×z2（SU（2）×z2z8）（B2Z2）的配边不变量中的w3x2和aP2（x2）为伴随QCD4的两类’t Hooft反常。这里a为H1（BZ4,Z4）的生成元,x2为H2（B2Z2,Z2）的生成元,P2为Pontryagin平方,W3为5维流形M的切丛的第三个Stiefel-Whitney类,所有上同调类都通过配边群定义中的映射拉回到M上。Juven Wang,Xiao-Gang Wen和Edward Witten提出了拉回平凡化的存在性问题,我们考虑了涉及higher symmetry的推广的拉回平凡化的存在性问题。对于w3x2的拉回平凡化存在性问题,我们给了一个肯定的回答,为了研究aP2（x2）的拉回平凡化存在性问题,我们计算了Ωd≤5 Spin×（B2Z2）。在第三章中,我们考虑了上面的配边不变量aP2（x2）的拉回平凡化存在性问题。我们在假设1-形式对称不破缺的前提下证明了aP2（x2）不能被完全平凡化。我们发现在某些1-形式对称破缺的情形,aP2（x2）可以被完全平凡化,而在另一些1-形式对称破缺的情形,aP2（x2）仍然不可以被完全平凡化。在第四章中,我们对任意给定的有限阿贝尔群A,构造了一个从其bar·消解到一个Koszul型消解之间的链映射,由此给出了A的所有次数的归一化cocycle的显式且统一的公式。作为应用,我们确定了A上的所有辫子线性Gr-范畴,并且对所有n计算了n维环面的Dijkgraaf-Witten不变量。在第五章中,我们提出了用Frobenius-Schur（FS）指数分类球形融合范畴的新尝试。我们给出FS指数为2的球形融合范畴的monoidal等价类,以及FS指数为2的modular范畴的辫子monoidal等价类。由此,我们证明Gauss和为FS指数为2的modular范畴的完全不变量。这个结果可以看成是特征为2的域上非退化二次型分类的Arf定理的范畴化版本。在附录中,我们通过举例介绍了第二章的计算中用到的Adams谱序列方法,包括第二章的一些计算细节。我们还介绍了Bockstein同态和一些有用的公式。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 简介
•   1.1 记号的约定
•   1.2 配边理论
•   1.3 在物理中的应用
• 第2章 配边群和配边不变量
•   2.1 预备知识
•   2.2 Atiyah-Hirzebruch谱序列
• d^O（B²Z₂）'>  2.3 Ω_d^O（B²Z₂）
• d^SO（B²Z₂）'>  2.4 Ω_d^SO（B²Z₂）
• d^Spin（B²Z₂）'>  2.5 Ω_d^Spin（B²Z₂）
• d^Pin+（B²Z₂）'>  2.6 Ω_d^Pin+（B²Z₂）
• d^Pin-（B²Z₂）'>  2.7 Ω_d^Pin-（B²Z₂）
• d^Spin×z₂（SU（2）×z₂Z₈）（B²Z₂）'>  2.8 Ω_d^Spin×z₂（SU（2）×z₂Z₈）（B²Z₂）
•     2.8.1 计算
•     2.8.2 流形生成元
• d^Spin（BZ₈×B²Z₂）'>  2.9 Ω_d^Spin（BZ₈×B²Z₂）
•     2.9.1 计算
• 第3章 拉回平凡化的存在性问题
•   3.1 动机
• 5⁽Spin×z₂（SU（2）×z₂Z₈）（B²Z₂）中aP₂（x₂）的拉回平凡化'>  3.2 Ω₅⁽Spin×z₂（SU（2）×z₂Z₈）（B²Z₂）中aP₂（x₂）的拉回平凡化
•     3.2.1 更进一步的平凡化:第一个尝试
•     3.2.2 更进一步的平凡化:第二个尝试
•     3.2.3 更进一步的平凡化:第三个尝试
•     3.2.4 概述
•     3.2.5 证明:一个反例
• 第4章 有限阿贝尔群的显式cocycle公式及对辫子线性Gr-范畴和Dijkgraaf-Witten不变量的应用
•   4.1 简介
•   4.2 有限阿贝尔群上归一化cocycles的显式公式
•     4.2.1 一个Koszul-like消解
• ·,（?）_·）到（K_·,d_·）的一个链映射'>    4.2.2 从（B_·,（?）_·）到（K_·,d_·）的一个链映射
•     4.2.3 归一化cocycles
• ·,d_·）到（B_·,（?）_·）的一个链映射'>    4.2.4 从（K_·,d_·）到（B_·,（?）_·）的一个链映射
•     4.2.5 翻译为量子场论的语言
•   4.3 关于辫子线性Gr-范畴
•     4.3.1 Monoidal结构
•     4.3.2 归一化3-cocycles
•     4.3.3 辫子结构
•     4.3.4 拟双特征
•   4.4 n维环面的Dijkgraaf-Witten不变量
•     4.4.1 DW不变量的定义
•     4.4.2 n维环面的DW不变量
• 2的DW不变量和射影表示'>    4.4.3 T²的DW不变量和射影表示
• 第5章 Frobenius-Schur指数为2的球形融合范畴的分类
•   5.1 简介
•   5.2 预备知识
•     5.2.1 基本概念和记号
•     5.2.2 G-分次向量空间上的辫子monoidal结构
•   5.3 Frobenius-Schur指数为2的球形融合范畴的分类
•   5.4 Frobenius-Schur指数为2的modular范畴的分类
• 参考文献
• 附录A 补充材料
•   A.1 Adams谱序列
•   A.2 Bockstein同态
•   A.3 有用的公式
• 致谢
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果

文章来源

类型: 博士论文

作者: 万喆彦

导师: 叶郁,Juven Wang

关键词: 配边群,配边不变量,拉回平凡化,公式,辫子线性范畴,不变量,指数,球形融合范畴

来源: 中国科学技术大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,物理学

单位: 中国科学技术大学

分类号: O189.2;O411

总页数: 100

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