若干非线性发展方程精确解的研究

论文摘要

在光纤通信、非线性大气动力学、等离子物理、生物数学等科学领域中,非线性发展方程是描述一些非线性现象的重要数学模型。越来越多的科学家致力于研究这些方程的精确解,来破解一些自然现象背后的奥秘,常见的求解方法有:Backlund变换法、Hirota双线性方法、李对称分析法、Painleve分析法、Bell多项式法、辅助方程法等等。在基于符号计算的基础上,本文利用李对称变换法以及啁啾拟设法,研究了若干非线性发展方程（包括分数阶微分方程）的解析解及其性质。本文的主要工作有以下几个方面:1.根据经典李对称理论,讨论了（3+1）维改进的Zakharov-Kuznetsov方程（以下简称MZK方程）的解析性质。首先利用李氏点变换理论,借助符号计算软件Maple,得到了方程的无穷小生成元、李氏易子表;接着在不变群张成的最优系统下,通过求得不变变量将方程约化降维,进而得到了方程的相似约化解;最后,描绘了相应的精确解的图像,这些结果描述了非线性波在磁化等离子体中的传播。2.深入研究了在Riemann-Liouville分数阶微分算子意义下的时间分数阶的Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov方程（以下简称为FKPP方程）。将整数阶微分方程中的李对称方法推广到了分数阶方程上,经过李对称相似约化,将方程化为了含有Erdelyi-Kober微分算子的分数阶常微分方程。同时通过分数阶复变换,将分数阶偏微分方程约化成了整数阶的常微分方程,进而得到了方程的幂级数解并证明了它收敛。3.介绍了一种特殊的辅助方程法,即啁啾拟设法。利用此方法研究了关于时间变系数的Kundu-Eckhaus方程（以下简称为vEK方程）,该方程描述了超短飞秒脉冲在光纤中的传播。利用一个强度相关的啁啾拟设,将该方程化为了两个耦合的非线性振幅相位方程,这表明这个系统中场幅度变化,取决于一个含有六次幂项的一阶非线性常微分方程。进一步得到了非常丰富的啁啾孤立子,像明暗孤子、扭结孤子和灰度孤子,这些孤立子具有非平凡相位,同时也给出了保证这些孤立子存在的参数约束条件。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
•   1.1 非线性发展方程和孤子理论
•   1.2 分数阶微分方程
•   1.3 李对称理论
•   1.4 本文研究的主要工作和结构安排
• 第二章 3+1维改进的Zakharov-Kunetsov方程的李对称分析和精确解
•   2.1 李群和李代数
•   2.2 不变条件和不变场
•   2.3 改进的Zakharov-Kuznetsov方程的李对称分析和精确解
•   2.4 本章小结
• 第三章 FKPP方程的李对称分析和幂级数解
•   3.1 基本理论和概念
•   3.2 FKPP方程的李对称
•   3.3 FKPP方程的幂级数解
•   3.4 本章小结
• 第四章 变系数Kundu-Eckhuas方程的啁啾孤立子解
•   4.1 啁啾孤立子
•   4.2 啁啾拟设法
•   4.3 变系数Kundu-Eckhuas方程的啁啾孤立子
•   4.4 本章小结
• 第五章 总结与展望
•   5.1 总结
•   5.2 展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读学位期间发表的学术论文

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 周璇

导师: 单文锐

关键词: 非线性发展方程,李对称分析,相似约化,微分算子,精确解

来源: 北京邮电大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 物理学

单位: 北京邮电大学

分类号: O411.1

总页数: 71

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