郑云彬
摘要：例题是联系基础知识和基本技能的桥梁。好的例题，不仅可以加深对定义、定理、概念、法则的理解，培养学生的解题技巧，而且还可以加强对学生的思维训练，提高学生分析问题和解决问题的能力。本文从几个方面进行了积极的思考。
关键词：例题；设计；实践
作者简介：郑云彬，任教于浙江省衢州市常山县三衢中学。
例题教学是学生理解、掌握和运用数学概念、法则、性质、定理、方法、思想的必要过程，是学生将数学知识和技能转化为能力的必要途径和手段。有效的例题教学，不仅能使学生熟悉数学基本知识在解决问题中的应用，反过来也会加深对基本知识的领会和理解，更好地掌握解题技能，促进数学素养的提高。
因此，如何进行例题设计与教学，是一个值得我们深思的课题。笔者平时也作了一些尝试，现就有关问题与大家共同探讨：
一、结合学生的生活实际，设计情境性例题，培养学生运用数学的意识
“数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的。”笔者以学生生活中熟悉的问题为素材设计一些情境性例题，让学生感受到数学就在身边，从而体验到数学的快乐。
例1：课间，小明和小聪在操场上突然争论起来。他们都说自己比对方高。这时数学教师走过来，笑着对他们说：“你们不用争了，其实你们一样高。瞧瞧地上，你们的影子一样长！”如图1，你知道数学教师为什么能从他们的影子长相等就断定他们的身高相同吗？你能运用全等三角形的有关知识说明其中的道理吗？(假定太阳光线与地面上影子所成的角度是相等的)
图1
以学生生活为背景设计的数学例题，不仅能激发学生学习数学的兴趣，还能引导学生关注身边的数学、生活中的数学，用数学的眼光去观察、分析世界，用所学的数学知识去解决一些生活中的实际问题，从而有效地培养学生的数学应用意识。
二、结合学生的知识背景，设计探索性例题，培养学生的探究能力
根据《数学课程标准》中的“不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数学活动的经验，学会探索，学会学习”的要求，笔者设计了具有自主探索情境的数学例题，这类例题能调动学生的积极性、主动性，激发学生的潜能，有利于培养学生的创新精神和探究能力。
例2：某校举办了一次围棋单循环比赛，即每位选手都与其余选手比赛一局。(1)设参加比赛的人数为n，试用关于n的代数式表示这次比赛的总局数；(2)若n=5，求第(1)问所列的代数式的值，并说明这个值的实际意义；(3)在社会生活中、数学中还有其他利用计算的问题吗？(4)若某选手中途退出了比赛，结果比赛只进行了25局，问有多少人参加比赛？中途退出的这名选手放弃了多少局比赛？
由于该问题具有一定的难度，教师适当点拨：设有n位选手参加比赛，中途退出的这名选手放弃了x局比赛，这样，就可以得到，即n(n-1)=50+2x，其中n、x都是整数，且x＜n-1。
本题是围绕着式子而设计的一道充满观察、归纳、猜想、类比和证明且具有探索性与挑战性的探究性例题，通过递进式的一连串问题，让“自主探索”的能力在的探究中得到了有效的锻炼和发展。
三、结合学生的活动兴趣，设计操作性例题，培养学生的动手能力
动手操作的目的是促进学生对数学本质的理解，以剪纸、折叠、设计图案、三角板的摆放等数学活动为背景设计数学例题，这类例题不但能诱发学生的解题兴趣，而且有利于培养学生的动手操作意识和实践能力。
例3：已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
(1)如图2，将三角板的直角顶点P放在射线OM上，使PC⊥OA，PD⊥OB，请判断线段PC和PD的大小关系，并说明理由。
(2)如图3，将三角板绕直角顶点P旋转一定的角度后，请探究线段PC和PD的大小关系，并说明理由。
(3)如图4，将三角板绕直角顶点P继续旋转，一条直角边与边OB交于点D，另一条直角边与射线OA的反向延长线交于点C，请在图4中作出图形，猜想此时PC=PD是否成立，并说明理由。
本题把线段的证明与学生熟知的三角板操作联系起来，学生通过操作能够发现其中的不变量(线段相等)，并对自己的发现进一步寻求证据，给出证明，使操作与探索相融，猜想与创新同途，从而有效地发展了学生的动手实践能力和创造能力。
四、结合学生的个体差异，设计开放性例题，培养学生的发散思维
“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。学生个体间存在差异，其学习方式也有所不同。教师实施有差异性的教学，能使每个学生都得到不同的发展。平时教学，笔者常设计一些开放性例题，让学生能够多角度、多层次、多侧面地解答，培养学生的发散思维。
例如在进行全等三角形和相似三角形复习时设计如下例题：
例4：如图5，点C在线段AB上，以AC、BC为边在AB的同侧作等边三角形ACM和等边三角形CBN，设AC=a，CB=b，连结AN、BM交于点P，AN交CM于E，BM交CN于F。
(1)试尽可能多地找出其中图形的形状和大小之间所存在的各种关系。
教师提出注意的事项，要求学生多动脑、多动手，积极发言，按要求写出尽可能多的结论(在表格上写出答案)，不必写出证明过程，小组讨论，每一小组指定一名记录员，在此解答的基础上，给出第(2)问：如图6，固定△ACM，把△CBM进行旋转，上述的结论还成立吗？
在此开放题的解答过程中，由于没有固定的、现成的模式可循，学生必须充分调动自己的知识储备，用多种思维方式进行思考和探索，这就促使学生的探索精神和创造能力得到有效的锻炼和发展。学生写出了很多结论，这是一般讲授难以达到的，有些结论颇具有创造性，也相当深入。可见，只要给学生提供适当的空间，加以鼓励和积极引导，学生的潜力就会得以开发，创造能力和创新意识就会大大增加。
五、结合学生的能力基础，设计变式性例题，培养学生的创造性思维
数学课堂教学应关注方法的教学。实际证明，“变”能引起学生的思维欲望和最佳思维定向。变式训练是创造性思维的关键。教学中要善于运用变式，启发学生多角度、多方向、多层次思考问题，鼓励学生大胆假设，求新求异。变式训练的方法很多，如一题多解(训练发散思维)、一题多变(训练创造思维)、多题一法(训练集中思维)等。平时教学，笔者常设计一些变式例题，引导学生多角度、多方向地进行思维，尝试多种解法，达到“做一例而通一类”的目的。
例5：已知点C和点D在AB的两侧，且∠ACB=∠ADB=90°,E是AB的中点。(1)如图，EC与ED是什么关系？为什么？(2)当点C和点D在AB的同侧时，上述结论是否成立？为什么？(3)如图，连结CD，并且F是CD的中点，EF和CD具有怎样的位置关系？为什么？(4)当点C和点D在的同侧时，上述结论是否成立？为什么？(5)如图，若△CED是直角三角形，求∠CAD的度数？
此题以“直角三角形斜边上的中线”及“等腰三角形三线合一”知识为背景，通过设问，一步步深入，形成命题链，在“变”中开阔学生的视野，拓宽学生的思维空间，在“不变”中寻找关系，从而找到解决问题的途径。通过这一题组的训练，将静态的数学与动态的变化结合起来，让学生在图形的变化中理解并体验变与不变。这样学生不仅学得轻松，掌握了知识，也培养了学生探索知识、发现知识、运用知识的综合创新能力，使他们明白：解题的秘密在于“万变不离其宗”。
六、结合学生的知识系统，设计研究性例题，培养学生的实践能力
“实践与综合应用”是《数学课程标准》内容标准的四个领域之一，“课题学习”是第三学段“实践与综合应用”的主要呈现形式。设计一些类似于“课题学习”的研究性例题可以帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索与合作交流，解决与生活密切联系的问题，以发展他们解决问题的能力。
七、结合学生的知识误区，设计障碍陷阱例题，培养学生思维的深刻性
在教学中，为加深基本概念的理解、公式的记忆等，有必要设计一些陷阱题障碍题，通过隐蔽或虚设条件、布置假象或设置迷惑等手段来诊断和矫正学生思维上存在的问题，帮助他们更深层次地理解要点、优化思路、扫清障碍。
例7：下列满足两根之和为2的方程为()。
A.x2-2x+4=0B.2x2+4x+3=0C.x2-4x-5=0D.x2-2x-2=0
误解：A。究其错误原因，主要是由于学生没有去考虑方程是否有实根的条件。教师引导学生先走进自己所设计的圈套，然后引导学生找错、纠错，这样更有利于学生对易错知识的理解，让学生在反思中提高对知识误区的理解程度。经常有意识地练习此类例题，能使学生拨开迷雾，看清庐山真面目。
八、结合学生的学习实际，设计订正性例题，培养学生良好的学习习惯
订正作业错误是学生在平时的学习过程中经常遇到的问题，是每个学生都应具备的一种能力，也是一种良好的学习习惯，因此，以学生学习过程中出现的错误为素材设计数学例题，在落实“知识与技能”的同时，也有利于学生养成良好的学习习惯。
“问题是数学的心脏”。在平时的教学中，我们要根据学生的知识基础和学习目标设计出内容、形式具有新颖性的数学例题。设计例题主要有三个途径，一是课本，许多中考题课本有原型，即由课本中的例题、习题引伸、拓宽、变化而来，做到举一反三，触类旁通，使学生打好基础。二是历年中考试题，中考试题具有示范与引导作用，应予以重视。三是学生熟悉的“问题情境”，让学生乐中学、学中乐。做到这些，才能发挥例题典型示范引导作用，才能起到以一当十、事半功倍的作用，才能大面积提高教学质量。
参考文献：
[1]李玉琪.数学教育概论[M].北京：中国科学技术出版社，1994.
[2]单肖天.浅谈数学例、习题教学原则[J].中国数学教育，2008(6).
[3]庄乾鹏.对例题教学的反思[J].中小学数学，2008(6).
作者单位：浙江省衢州市常山县三衢中学
邮政编码：324200
ReflectionandPracticeoftheDesigningandTeachingforExamplesinJuniorHighSchoolMathematics
ZHENGYunbing
Abstract:Examplesarethebridgelinkingbasicknowledgeandskills.Goodexamplescannotonlystrengthentheunderstandingfordefinition,theorem,conceptandlawandcultivatestudents’problem-solvingskills,butalsostrengthenstudents’thinkingtrainingandimprovestudents’abilityofanalyzingandsolvingproblems.Thispapermakesareflectionfromseveralaspects.
Keywords:examples;designing;practice