可解子范畴与Abel范畴的粘合

论文摘要

可解子范畴是相对同调代数中一类重要的研究对象.它与反变有限子范畴、厚子范畴、倾斜理论以及逼近理论等有着密切的联系.为了研究完全自反模,Auslander和Bridger引入可解子范畴的概念并且证明了所有完全自反模组成的范畴是诺特环R上有限生成模范畴的可解子范畴.本文的主要内容之一是通过研究可解子范畴及其分解的性质,给出了可解子范畴分解维数的有限性的判定.粘合（Recollements）的概念是由Beilinson,Bernstein和Deligne在三角范畴的背景下首次引入.一个重要的Abel范畴的粘合的例子来源于MacPherson和Vilonen对perverse sheaves的构造.Abel范畴的粘合为研究包含于其中的Abel范畴之间的同调关系提供了一个非常有用的框架.我们以Abel范畴的粘合为工具引入对应范畴的可解子范畴,研究了范畴之间可解子范畴分解维数的关系,并将结果应用于Gorenstein同调代数.全文一共分为五章.第一章介绍了研究背景、动机以及本文的主要结果.第二章主要给出了与本文有关的一些基本知识.第三章主要研究了可解子范畴分解维数的有限性的判定.令A是一个有足够多投射对象的Abel范畴,X是A的一个可解子范畴,H是X的一个Ext-内射余生成子.我们研究了由所有具有有限X-分解维数的对象组成的子范畴的性质.对A中任意的具有有限X-分解维数的对象M,我们研究了 M的H-分解维数并且探讨了 M的H-分解维数与X-分解维数之间的关系.作为应用,我们给出了 Gorenstein模以及复形范畴中同调维数有限性的判定.在第四章中,我们以Abel范畴的粘合为工具,研究了对应Abel范畴的可解子范畴分解维数之间的关系.特别地,我们给出了 Abel范畴的粘合中范畴的Gorenstein整体维数之间的关系.此外,借助于Abel范畴的粘合（A,B,L）,我们研究了与范畴中对象的Gorenstein投射维数以及Gorenstein内射维数密切相关的两个不变量spli*和silp*（*表示Abel范畴A,B或者L）其中,spli*表示Abel范畴*中所有内射对象投射长度的上确界:silp*表示Abel范畴*中所有投射对象内射长度的上确界.最后我们利用本章的结果讨论了 Abel范畴的粘合中范畴的Gorensteinness之间的关系.在第五章中,我们研究了一般的环以及三角矩阵Artin代数.特别地,我们从Gorenstein,quasi-Frobenius以及Gorenstein遗传性质三个方面研究了环R和eRe之间的关系（e是环R的幂等元）.令Λ=（0 B A AMB）是一个三角矩阵Artin代数,借助于代数A和B的Gorenstein整体维数,我们给出了代数Λ的Gorenstein整体维数的一些刻画.特别地,我们给出代数A、B与代数Λ之间Gorensteinness的关系.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 前言
•   1.1 背景介绍与主要结果
•   1.2 符号
• 第二章 基础知识
•   2.1 Gorenstein同调维数
•   2.2 可解子范畴与可解子范畴分解维数
•   2.3 Abel范畴的粘合
• 第三章 可解子范畴分解维数的有限性的判定
•   3.1 可解子范畴及其维数
•   3.2 具有有限H分解维数的对象的稳定性
•   3.3 可解子范畴X中的对象的稳定性
•   3.4 应用
• 第四章 粘合中Abel范畴的可解子范畴分解维数
•   4.1 介绍
•   4.2 粘合中Abel范畴的可解子范畴分解维数
•   4.3 应用
•     4.3.1 整体维数
•     4.3.2 Gorenstein整体维数
•     4.3.3 弱Gorenstein整体维数
•   4.4 spli*和silp*
•   4.5 Gorenstein范畴和Cohen-Macaulay范畴
• 第五章 环和三角矩阵Artin代数中的应用
•   5.1 环的应用
•   5.2 三角矩阵Artin代数中的应用
•   5.3 两个特殊的例子
• 参考文献
• 博士期间发表的论文情况
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 张后俊

导师: 朱晓胜

关键词: 可解子范畴,可解分解维数,伴随函子,范畴的粘合,范畴,三角矩阵代数

来源: 南京大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 南京大学

分类号: O154.1

DOI: 10.27235/d.cnki.gnjiu.2019.000057

总页数: 83

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