论文摘要
微分方程经常用于描述一些工程问题和物理现象.通常,对描述的要求越精确,得到的微分方程系统维数越高.直接对这些微分方程系统进行仿真模拟需要占用大量的内存和花费较长的时间.模型降阶通过低阶系统近似高阶系统,能有效地减少系统模拟所需要的存储量和运行时间,能很大程度上提高系统仿真模拟和分析控制的效率.近年来,模型降阶方法受到越来越多的关注,广泛应用于控制领域、集成电路领域、偏微分方程求解等.本论文结合矩阵流形优化算法对几类模型降阶方法做了详细研究,包括线性系统基于Hankel奇异值计算的模型降阶、耦合系统在Grassmann流形上基于梯度下降法的H2最优模型降阶、双线性系统在Stiefel流形上基于信赖域方法的H2最优模型降阶,以及K-power系统在Grassmann流形上保结构的模型降阶.具体地,本论文由以下几个方面的内容组成.通过将线性系统的Hankel奇异值计算首先转化为线性特征值问题,分别研究了Riemannian Rayleigh商迭代和Jacobi-Davidson方法对该线性特征值问题的求解,分别建立了相应的模型降阶算法.然后,将Hankel奇异值的计算转化为广义特征值问题,运用Jacobi-Davidson方法求解该特征值问题,并给出了对应的模型降阶算法.对于线性特征值问题和广义特征值问题,均验证了Jacobi-Davidson方法可以看作Riemannian Rayleigh商迭代的加速,并且理论证明这几种降阶算法在一定程度上都可以等价于平衡截断方法.对于含有微分代数子系统的耦合系统,首先引入了ε嵌入技术和稳定表示.研究了常微分系统在Grassmann流形上的H2最优模型降阶方法.运用ε嵌入技术和稳定表示对耦合系统进行处理,使得闭环系统是稳定的常微分系统或者耦合系统中所有子系统都是稳定的常微分系统,由此将常微分系统的模型降阶方法推广到耦合系统,分别得到了闭环系统的H2最优模型降阶方法和耦合系统保结构的模型降阶方法.讨论了两种方法得到降阶系统的H2最优性.对于一般的双线性系统,探讨了Stiefel流形上基于信赖域方法的H2最优模型降阶.根据H2误差的欧氏梯度和关于Riemannian Hessian矩阵的内积运算,简化了Riemannian信赖域子问题的表达式,建立了相应的模型降阶算法,并且分析了算法的收敛性.与一般双线性系统相比,K-power系统具有更特殊的结构.本论文考虑了K-power系统在Grassmann流形上保结构的H2最优模型降阶方法.根据双线性系统H2误差的欧氏梯度可知,K-power系统H2误差的欧氏梯度具有块对角结构.通过对投影矩阵做适当的约束使得K-power系统H2误差在流形上的梯度也具有块对角结构.由此提出了保持K-power系统结构的H2最优模型降阶方法.在降阶过程中可以根据矩阵块分别计算,降低了运算复杂度.数值算例验证了本论文提出的模型降阶方法.结果表明,提出的方法能够有效地构造降阶系统,并且降阶系统能够较好地保持原始系统的动力学行为.对于耦合系统和K-power系统,降阶系统也能够保持原始系统的结构。
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 杨平
导师: 蒋耀林
关键词: 模型降阶,矩阵流形,优化算法,代价函数,最优
来源: 新疆大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 新疆大学
分类号: O175
总页数: 106
文件大小: 1650K
下载量: 143
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