导读:本文包含了算术级数论文开题报告文献综述、选题提纲参考文献及外文文献翻译，主要关键词:算术级数,最小公倍数,指数,概率,高阶,函数,除数。
算术级数论文文献综述
刘雪姣[1]（2018）在《算术级数中指数函数与除数函数的震荡性问题》一文中研究指出除数函数是解析数论中的重要函数,研究除数函数与指数函数的震荡性问题在数论中有重要的理论意义.本文中,我们将要研究下述非线性指数和的渐近公式,设0 ≠ α ∈R 且0<β<1,这里β = 1/2并且|α|接近(?),κ ∈Z+.令d(n)表示n的因子的个数,即除数函数.d(n)的性质问题引起了许多中外数论学者的兴趣.Aleksandar Ivic和翟文广[1]研究了小区间上的Dirichlet除数问题,得到了△(x+U)-△(x)<<ε1/4+εU1/4(1<<U<<x3/5),和△(x+U)-△(x)<<εx2/9+εU1/3(1<<V<<x2/3),其中U=o(x)且而且,假设|△(xr+U)-△(xr)|≥V>>U1/2(>>1)(r=1,…,R-1),这里X/2≤x1<…<xR≤X,|xr-xs|≥V,r≠s.如果(κ,λ)(κ≠0)为指数对,那么对于 Xλ-κ≤V3+2λ-2κU-2,有R<<εXε(XV-5U2 + Xκ+λ/κU2κ+2/κV-3+4κ+2λ/κ).1916年,Hardy[2]研究了以下和式并且证明了,对任意的满足t≠4πq1/2的正整数q,都有S(X,t)= o(Xε).类似地,如果存在一个q,使得t=4πq1/2,那么有S(X,t)= 2(1+i)d(q)/q1/4X1/4+0(Xε)其中 X →∞.以上结果可以看出除数函数和指数函数的震荡规律.最近,Sun和Wu[3]将上述问题进行推广,并得到以下结论.当|α|βXβ<(?)时,则有当|α|βXβ≥(?)时,则有这里其中1973 年,Saburo Uchiyama[4]研究了以下和式这里q和l是整数并且有q ≥ 1,0 ≤ l<q.并表明,对任意的满足α≠(?)的整数κ,都有U(α,X)= Oα(log X),类似地,如果对某个整数k,使得α=(?),那么前提是α≥4q3,这里其中 S(m,n;q)代表 Kloosterman 和.受以上结果的激发与启示,我们研究算术级数中指数函数与除数函数的震荡性问题.要想解决这个问题,我们需要使用不同的方法,首先得到当β=1/2且|α|接近(?),k∈Z+时的一个渐近公式,然后当β≠1/2 时得出上界估计的结果.我们用到的主要工具是Voronoi公式,指数和公式和加权的stationary phase.由于加法特征有正交性,我们应用Voronoi求和公式后可以得到含有Kloosterman和的式子,这样我们就能应用Weil界来得到q方面的估计,最后,我们可以得到以下结果.定理 1.假定 X>1,0<β<1 且0≠α∈R,同时 l,q∈N,且l≤q≤X1/2.若|α|βXβ<(?),那么有定理 2.假定 X>1,0<β<1 且 0 ≠ α ∈ R,同时 l,q ∈ N 且l ≤q≤X1/2.若|α|βXβ≥(?)且β≠1/2,那么有定理 3.假定 X>1,0<β<1 且 0 ≠ α ∈ R,同时 l,g ∈ N 且 l≤q≤X1/2.若|α|βXβ≥(?)并且β=1/2,如果|α|<1/q或|α|≥(?),那么有如果1/q≤|α|≤(?),那么有这里其中(本文来源于《山东师范大学》期刊2018-03-20）
冯彬,刘双[2]（2017）在《一类数的分解在算术级数中的分布》一文中研究指出研究了一类数的分解在算术级数中的分布问题,利用Selberg-Delange方法和Perron公式得到了一个精确的渐近公式,该结果是无条件的.(本文来源于《上海交通大学学报》期刊2017年11期）
冯彬[3]（2017）在《Euler函数值在算术级数中的分布（英文）》一文中研究指出Let φ(n) denote the Euler-totient function, we study the distribution of solutions of φ(n) ≤ x in arithmetic progressions, where n ≡ l(mod q) and an asymptotic formula was obtained by Perron formula.(本文来源于《数学季刊(英文版)》期刊2017年02期）
杜姗姗[4]（2017）在《关于不含算术级数集合理论的一种推广形式》一文中研究指出设q为一奇素数幂次,n为一正整数。Ellenberg和Gijswijt证明了,如果A?F_q~n且其中不包含非平凡的叁项算术级数,那么|A|=O((c_qq)~n),这里常数0<c_q<1。将不含叁项算术级数问题中一个方程的约束限制,推广到一般的有多个线性方程限制的情形,并得出相应结论。(本文来源于《金陵科技学院学报》期刊2017年02期）
王云凤[5]（2017）在《在算术级数中具有算术函数系数的素变量指数和》一文中研究指出指数和是数论研究的核心课题,有重要的理论意义和应用价值.设集合M代表所有函数值为复数的积性函数的集合,M1(?)M且对(?)f ∈ M1,有性质|f(n)| ≤ 1,n ∈ 令e(α)= e2πiα,其中α代表无理数.令M'是算术函数的集合,其中函数符合一定的条件,例如M'=M1对于f ∈ M'或f为某一特殊的算术函数,本文主要研究形如指数和的渐进行为,其中E是一个整数集合并且1954年,Vinogradov[25]的一个非常着名的结果是如果Q(n)= k +αk-1nk-1+…+α1n是一个多项式,αkk,…,α1都是实数且最少有一个是无理数.那么1974年,Daboussi和Delange[6]证明了对于任意给定的无理数α,f∈ 1 式成立后来,Delange扩大了此结果的函数类,对于f ∈ L2,也就是对任意的f ∈M,满足条件 结果是成立的.Indlekofer又将f扩展到更大的函数类里去,对f ∈ L*,即对任意的f ∈.M,满足0,结果仍然成立.1986 年,I.Katai[9]证明了2012年,J.M.De Koninck和I.Katai[17]定义了一种新的算术函数l(n):=g1(F1(n)… gs(Fs(n)),其中F1(n),…,Fs(n)是整系数多项式,并且只有当x>0的时候,Fi(x)>0,i = 1,2,…,s.gi(i = 1,2,…,s)都是复值可乘函数,并且满足特殊条件.令 得到了两个新的结果:本文的主要工作是将上述素变量指数和推广到算术级数中素变量指数和中去,即证明定理0.1 对于固定的k,l 满足(k,l)=1,当x→∞时,有下式成立其中l(n):=g1(F1(n))….gs(Fs(n)),F1(x),…,s(x)∈ Z[x],并且只有当x>0时,F1(x),…,Fs(x)>0.对于i = 1,2,...,s,gi都是复值的可乘函数,并且满足特殊条件(在第叁章中介绍).本文主要使用Turan—Kubilius不等式[24]的经典方法来证明我们的结论.定理的证明用到了 G.Tenenbaum[24]第叁章的内容和J.M.De Koninck与I.Katai[17]的相关引理以及初等数论和解析数论的知识.本文共分叁个章节,第一章是导言部分,主要介绍问题的研究背景和目前的研究成果;第二章主要做一些预备工作;第叁章是论文的主体,讲的是论文证明过程中需要的引理以及本文主要定理的证明.(本文来源于《山东大学》期刊2017-05-08）
阎晓斐[6]（2016）在《算术级数中Maass尖形式在指数和中的估计》一文中研究指出自守形式的傅里叶系数是一类非常重要的算术函数,其生成的L-函数有很多深刻的性质。例如谷山丰和志村五郎提出的谷山志村猜想,建立了自守形式中的模形式与椭圆曲线之间的联系,后来怀尔斯证明了此猜想,进而证明了费马大定理。因此,对自守形式傅里叶系数的研究一直是数论中的热门问题。在解析数论中,研究算术函数在算术级数中的渐进分布也是一个非常有趣并且有深刻意义的问题。譬如,如果我们把素数的特征函数看为一类算术函数,研究算术级数中的此算术函数分布对于研究哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都有很重要的意义。最近,张益唐改进了素数在算术级数中平均分布的一个结果,进而在孪生素数问题上做出了突破性进展。本文我们主要研究的是算术级数中的Maass尖形式的傅里叶系数扭乘上指数函数的分布问题。Maass尖形式作为非全纯的自守形式,其傅里叶系数的性质与全纯的模形式有很多不同。着名的Ramanujan-Petersson猜想说,每一个尖形式的第n个傅里叶系数的上界不会超过n∈对任意的∈>0都成立。在模形式的情形下,此猜想由Deligne在1974年的论文[7]中证明。但是在Maass尖形式的情形下,这依然是一个开放性的问题,现在的最好结果是Kim和Sarnak的论文[22]中得到的上界n7/64+∈。尽管Ramanujan-Petersson猜想在此Maass尖形式下依然没有被证明,但是我们可以看到此猜想在平均意义下是成立的。令λg(n)是SL(2,Z)上面的Maass尖形式g的第n个傅里叶系数,我们有如下的估计[12]：从上式可以看出平均意义下我们甚至可以得到更好的上界估计,这说明Maass尖形式的傅里叶系数有很强的的震荡性,通过研究傅里叶系数震荡性可以对其性质有更深刻的理解。为了更好的研究傅里叶系数的震荡性,我们往往考虑其扭乘上指数函数的均值估计。也就是说,我们考虑如下的指数和：其中0≠α∈R, 0≤β≤1, e(x)=e2πix, n～X表示X<n≤2X。当上式中α与β的取值不同时会有不同的估计,可参见[33][34][36]。在本文中,我们把此问题推广到算术级数情形,期望可以看到算术级数中Maass尖形式的傅里叶系数与指数函数的共振现象。下面令λg(n)是SL(2,Z)上面Maass尖形式g的第n个傅里叶系数。我们将研究如下的指数和估计其中0≠α∈R,0≤β≤1, e(x)=e2πix。首先,当|α|βXβ的值较小时,在第叁章中我们可以得到S(X)的一个上界估计：定理0.1 令λg(n)为正规化的SL(2,Z)上Hecke-Maass尖形式的第n个Fourier系数,其Laplace算子特征值为1/4+r2。令X>1,0<β<1,0≠α∈R。令l,q∈N,l≤q≤X1/2。如果那么我们有注意到在q=1时的特殊情况下,我们的问题和Sun-Wu的问题是一样的。此时,我们应用[25]中关于傅里叶系数八次均值的结果来代替单个傅里叶系数的上界,可以看到当q=1时,定理0.1余项中X的阶为X1027/2827,从而改进了[36]结果中的X71/192。当|α|βXβ的值较大时,会有不同的情况产生。在第四章中,我们将证明下面四个定理。首先,当β≠1/2时,我们依然可以得到S(X)的一个上界：定理0.2 在上述条件下,如果那么我们有其次,当β=1/2时,我们对|α|的取值进行讨论。可以看到,当|α|的取值较大或者较小时,我们会得到S(X)的上界估计。当|α|的取值合适的时候,我们会得到S(X)的一个渐进公式：定理0.3 在定理0.1的条件下下,如果且β=1／2,当|α|<1/q或者|α|>(?)/q时,我们有当时,我们有其中上式中δc=1或者0取决于是否存在一个正整数nc,其中c|q且满足我们特别指出,当|α|=2(?)/q时,可以得到一个类似于[38]结果中的通项公式,此时可以看到共振现象的发生。定理0.4 在定理0.1的条件下,如果存在某个k∈N且k<X/4,使得|α|=2(?)/q,那么(1.4)等于注意到这里关于q和k=的阶与[38]结果中的阶是一致的。在证明定理0.1-定理0.4的过程中,我们主要是采用[33]和[36]的思想。在证明过程中用的主要工具包括指数和的估计,Voronoi公式等。由于加法特征的正交性,我们在应用Voronoi求和公式后会得到Kloosterman和,此时应用Weil关于Kloosterman和的上界估计去得到q方面的节余,从而得到类似于(1.4)中的主项。在证明过程中,由于我们处理的情况更为一般,所以在参数的选择上我们会做一些改进,使得改进后的参数选取适更为适合。另外,当β=1/2,且α与2(?),k∈Z+相差不大时,我们可以看到共振现象的发生,这同样也可以看做是[33]结果的推广。最后,考虑当Ramanujan猜想成立的情况下,或者说对于全纯的模形式,我们可以得到如下结果定理0.5 假设Ramanujan猜想2.1成立,或者说假设g为一全纯的尖形式,λg(n)是g的第n个傅里叶系数,其他条件不变,那么我们有(i)如果式(1.5)变为(ii)如果且卢=1/2,当|α|<1/q或者|α|>(?)/q时,我们有当时,我们有(iii)如果|α|=2(?)/q,其中k∈N且k<X/4,那么式(1.9)变为(本文来源于《山东大学》期刊2016-05-23）
戴丽霞,穆慧超[7]（2014）在《算术级数子集的最小公倍数(英文)》一文中研究指出运用概率的方法研究了算术级数U的子集的最小公倍数.证明了对任意的0<θ<1,对几乎所有长度为[nθ]的U的子集A,都有loglcm{a:a∈A}=(1-θ)nθlogn+o(nθ).(本文来源于《南京师大学报(自然科学版)》期刊2014年02期）
穆慧超[8]（2014）在《算术级数子集的最小公倍数》一文中研究指出关于集合的最小公倍数这一问题已经有大量研究,J. Cilleruelo, J. Rue, P. Sark和A. Zumalacarregui证明了：对几乎每一个集合A(?){1,2,…,n},有并且,对任意的0<θ<1,对几乎所有的A(?){1,2,…,n},|A|=[nθ],有本文将此结果推广到算术级数中.令是算术级数,其中u>0,d>0,(u,d)=1.本文运用概率的方法研究了集合u的子集的最小公倍数这一问题.得到如下结果：对任意的0<θ<1,对几乎所有的A(?)u,|A|=[nθ],有(本文来源于《南京师范大学》期刊2014-03-15）
王艳天[9]（2008）在《从差分到高阶算术级数》一文中研究指出从差分概念入手,引出差分数列.在差分性质基础上导出高阶差分数列及性质,从而得到高阶算术级数及其求和等性质.(本文来源于《科技创新导报》期刊2008年18期）
孟宪萌,崔振[10]（2008）在《算术级数中的五素数平方和定理》一文中研究指出设N是充分大的正整数满足N≡5mod 24,l和d是满足(l,d)=1的整数.A0,A>1是满足A0=600A+2000的正常数.本文证明对所有的整数0<d≤D0= N~(1/4)log~(-A0)N,除了至多O(D0log-AN)个例外,方程N=p12+p22+…+p52有素数解p1,p2,…,p5,其中p1≈l mod d.(本文来源于《数学学报》期刊2008年02期）
算术级数论文开题报告
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
研究了一类数的分解在算术级数中的分布问题,利用Selberg-Delange方法和Perron公式得到了一个精确的渐近公式,该结果是无条件的.
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
算术级数论文参考文献
[1].刘雪姣.算术级数中指数函数与除数函数的震荡性问题[D].山东师范大学.2018
[2].冯彬,刘双.一类数的分解在算术级数中的分布[J].上海交通大学学报.2017
[3].冯彬.Euler函数值在算术级数中的分布（英文）[J].数学季刊(英文版).2017
[4].杜姗姗.关于不含算术级数集合理论的一种推广形式[J].金陵科技学院学报.2017
[5].王云凤.在算术级数中具有算术函数系数的素变量指数和[D].山东大学.2017
[6].阎晓斐.算术级数中Maass尖形式在指数和中的估计[D].山东大学.2016
[7].戴丽霞,穆慧超.算术级数子集的最小公倍数(英文)[J].南京师大学报(自然科学版).2014
[8].穆慧超.算术级数子集的最小公倍数[D].南京师范大学.2014
[9].王艳天.从差分到高阶算术级数[J].科技创新导报.2008
[10].孟宪萌,崔振.算术级数中的五素数平方和定理[J].数学学报.2008
论文知识图
