李金林郑芸
摘要：在人类认识活动中，常常通过特殊去探索一般，从一般去研究特殊。“特殊化”与“一般化”在初中数学中是经常使用的两种重要方法，是学习和研究初中数学必须掌握的数学解题理论。
关键词：特殊化；一般化；初中数学；解题策略
作者简介：李金林，郑芸，任教于浙江省衢州华茂外国语学校。
在教学实际中对于一般情况而言，特殊情况往往比较熟悉且易于认识，因而常把特殊化作为实现化归的途径之一。数学大师希尔伯特曾讲过这样一段话：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。我们寻找一个答案而未能成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。”这段话对解数学题很有指导意义，当我们遇到带有一般性问题的题目感到束手无策时，采用特殊化策略就是一个较好的选择。然而，由于特殊情况往往涉及过多无关宏旨的枝节，从而掩盖了问题的关键，而一般情况则能避免在枝节问题上纠缠，更能明确地表达问题的本质特征。同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系而使问题往往易于解决。因此，对很多数学问题，我们可以通过构造一般原型并对其进行分析，然后途径特殊化而获得给定问题的解决，这也是数学中常用的方法。
一、“特殊化”与“一般化”的基本思想
1.“特殊化”的基本思想
特殊化策略即视原问题为一般，构造其特殊问题，通过对特殊问题的解决而获得原问题的解决。特殊化作为划归策略，基本思想是很简单的：相对于“一般”而言，“特殊”问题往往显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常孕育着一般问题的解决。因此，人们在对某个一般性的数学问题解决有困难时，常常会想到先解决它的特殊情况，然后再把解决特殊情况的方法或结果运用或推广到一般问题之上，而获得一般性问题的解决。正如著名数学家波利亚所说：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅仅一个对象。”因此。特殊化常表现为范围的收缩或限制，即从较大范围的问题向较小范围的问题过渡，或从某类问题向其某子类问题的过渡。从形式上看，将一般性问题特殊化是不困难的，但某个一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化命题。显然，较为理想化的特殊问题是其自身容易解决，且从其解决过程中又易发现或得到一般性问题的解法。所以，特殊化策略的关键是能否找到一个最佳的特殊化问题。
2.“一般化”的基本思想
由于“一般”概括了“特殊”，“普遍”比“特殊”更能反映事物的本质，因而当处理问题时，若能置待解决的问题于更为普遍的情形之中，进而通过对一般情形的研究去处理特殊情形，这样的思考方法不仅可行而且必要，将具体的个性问题化为一般的共性问题来研究，往往能使我们视野更宽阔，更能揭示问题的本质和规律。
当按要求探索研究对象难以进行时，可以考虑先撇开或放宽一些制约条件或改变一些条件，使要求放宽，从而扩大对象域，在此基础上进行探索，然后将在此基础上探索出来的关于扩大了的研究对象的性质和规律再放在原来要求的情况下进行考察，并予以必要的修正，最后得到关于原研究对象的性质和规律的方法，这就是探索问题的一般化方法。即当遇到某些特殊问题感到很难解决时，不妨适当放宽条件或改变一些条件的限制，将待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再将解决一般情形的方法或结果运用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决。
二、“特殊化”与“一般化”的基本策略
1.“特殊化”的基本策略
特殊化策略是一种“退”的策略，所谓“退”，可以从复杂退到简单，从一般退到特殊，从抽象退到具体，从空间退到平面。正如华罗庚先生所说，“退到最原始而不失去重要性的地方，把简单的、特殊的问题搞清楚了，并从这些简单的问题的解决中，或者获得解题思路，或者提示解题方向，或者发现一般问题的结论，或者得到化归为简单问题的途径，从而再‘进’到一般性问题上来。”
2.“一般化”的基本策略
先将原问题一般化，然后借助于一般性问题来解决特殊性问题往往会出奇制胜。著名数学家波利亚曾经说过：“雄心大的计划，成功的希望也较大。这看起来矛盾，但当从一个问题过渡到另一个，我们常常看到，新的雄心大的问题比原问题更容易掌握。较多的问题可能比只有一个问题更容易回答，较复杂的定理可能更容易证明，较普遍的问题可能更容易解决。”
三、“特殊化”与“一般化”的基本例题
1．“特殊化”的基本例题
例1：如图所示，已知在△中，=6，=9，⊥于，为上任意一点，则等于()。
A.9B.35C.45D.无法计算
分析：本题若用“一般化”解题策略解题，需要四次使用勾股定理，关系显得复杂，若用“特殊化”解题策略解题，只需要求出点与点重合时的解即可，即，选C。
分析：本题若用“一般化”解题策略解题，很繁琐而且易出错，若用“特殊化”解题策略解题，只需取，算出，，显然选D。
例3：下列图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是()
分析：本题若用“一般化”解题策略解题，基本解不出来，若用“特殊化”解题策略解题，只需取，则，即该一次函数图象过点(1，3)，只有C选项中图象不可能过点(1，3)，故选C。
运用特殊化策略解题，可采用从简单化、特殊化入手，化归为简单情形、特殊情形，通过对简单情形、特殊情形的分析、观察与处理，从而获得对复杂问题、一般问题的解决。
2.“一般化”的基本例题
例4：求不等式组的整数解。
分析：本题的求解利用的就是“一般化”的解题策略，不是先确定整数这个范畴，而是将解的数值一般化，先求满足该不等式组的所有实数解，进而回到特殊，再求整数解。
事物就是这样辩证。本来，处理个别的、特殊的问题已够麻烦，却偏偏还要“升格”为一般情形。由于在一般情形下反而容易发现规律，再从一般回到特殊，问题顺利获解。
例6：平面上随意给出2012个点，试问：能否用一条直线将它们隔开，使得直线的两侧各有1006个点。
分析：为了便于思考，不妨先考察下面的一般问题：平面上随意给出个点，试问：能否用一条直线将它们隔开，使得直线两侧各有个点。
求解这个一般问题的关键，在于找到这样一条直线，它在平面上平移的过程中至多有一个已知点在直线上。这是可以办到的，只要取直线不平行于个点中任意两点的连线即可。
而原问题即为时的特殊情形，自然可以做到。
上述例子表明，对于已知数据偏大的特殊问题，恰当地考虑一般问题，有助于揭示事物的本质，获得明快的解法。
总之，初中数学中的许多问题都可运用“特殊化”或“一般化”的思考方法，分析一般问题，“特殊化”的解题策略能达到意想不到的出奇制胜的效果，而分析一般问题的特殊情形，猜想一般的规律进行问题的解决，“一般化”的解题策略也能得出我们意想不到的创造性结果。
参考文献：
[1]方志伟.谈特殊化与一般化的解题思维方法[].自贡师范高等专科学校学报，2000(3).
[2]钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1990.
[3]李明振.数学方法与解题研究[M].上海：上海科技教育出版社，2003.
作者单位：浙江省衢州华茂外国语学校
邮政编码：324000
“Specialization”and“Generalization”Strategyin
JuniorHighSchoolMathematicsProblems
LIJinlinZHENGYun
Abstract:Incognitiveactivities,humanalwaysexploregeneralizationthroughspecializationandstudyspecializationfromgeneralization.“Specialization”and“generalization”aretwoimportantmethodsfrequentlyusedinjuniorhighschoolmathematicsteachingandmathematicsproblem-solvingtheoriesinlearningandstudyingjuniorhighschoolmathematics.
Keywords:specialization;generalization;juniorhighschoolmathematics;problem-solvingstrategies