摘 要：在达米特给出的直觉主义谓词逻辑矢列演算系统的基础上，构造一个与等价的系统，这有助于研究直觉主义命题逻辑的可判定性问题。与此同时，还构造经典谓词逻辑的矢列演算系统以及直觉主义谓词逻辑的矢列演算系统，这有助于探讨直觉主义逻辑与经典逻辑之间关系。
关键词：直觉主义谓词逻辑；经典谓词逻辑；矢列演算系统
矢列演算是一种形式理论，它是关于结论及其所依赖假设之间的可推导关系的。[1]其应用是非常广泛的，特别是在自动化证明搜索系统、逻辑编程等之中。达米特（Michael Dummett）的直觉主义谓词逻辑自然演绎系统虽然是用矢列式表示[2]88-89，却并不是矢列演算系统，更何况系统没有子公式性质，这对于自动化证明搜索而言，就没有办法实现。为此，我们将进一步探讨直觉主义谓词逻辑与经典谓词逻辑的矢列演算系统以及各个逻辑系统之间的关联性。
1 关于直觉主义谓词逻辑的矢列演算系统
对于系统而言[2]96，矢列式，可以用一个有序对来表示。其中，表示一个公式，或者视为空集（）；是公式集，它是一个有穷集或空集。[3]当表示空集时，“”缩写为“”；如果是不一致的[2]96，那么矢列式就是可证的。是不一致的，当且仅当。然而，在系统中，矢列式的后件不包括空集，仅仅是一个公式。[2]88
关于系统的规则集，它囊括结构规则与逻辑规则[2]97：
结构规则：
关于结构规则，尽管只有一条弱化规则，但是，可以区分为左边的弱化规则和右边的弱化规则。①
式中：Z为某垃圾填埋场适宜性总分；i为第i项制约因素，i=1,2,…n,；n为垃圾填埋场制约因素个数；Zi为第i项制约因素之总分。
逻辑规则
关于系统，特别提醒三点：可视为空集，或者是一个公式；与系统中关于“证明树干”、“证明树（或证明）”的定义，是一致的[2]89；关于和的规则，需要满足三个条件才能成立。[4]96
在系统中，对于规则而言，用两条规则来表示却更自然些：
然而，如果使用左边的弱化规则，显而易见，这两条规则并无本质上的区别：
假设我们把视为初始矢列式，那么右边的弱化规则是不可或缺的[2]97，而左边的弱化规则正好相反，却是可推导的。
矿石中黄铜矿多以不规则状嵌布于脉石矿物裂隙、粒间（见图1），有的呈微粒浸染于脉石矿物中。黄铜矿与其他硫化矿物关系不密切，少量的黄铜矿与黄铁矿嵌布在脉石矿物中（见图2）。
（6）管子的矫正还应注意以下几个问题：①热矫尽量采用回火温度，薄壁管加热应采用回火温度厚壁管允许采用正火温度。②终矫温度不能终止在两相温度区，而应高于两相温度区，接近正火温度，或终止在正火温度，然后进行空冷。③管子的热矫温度也不允许超过正火矫正温度上限，以防止过烧。④需控制矫正火焰为轻微的还原性气氛，不得有氧化性气氛，以免出现管子的脱碳。一般有经验的操作者，能很好地根据管子的颜色来判定相应的温度值，但也应使用光学测温仪随时检测温度，以保证温度的正确性。
结构规则：
教育部高等教育司张大良司长指出，新工科以新经济、新产业为背景，新工科的建设，一方面要设置和发展一批新兴工科专业，另一方面要推动现有工科专业的改革创新。他指出高校要加快培养当前产业急需人才，主动布局面向未来技术和产业的人才培养。可概括为以下4点：（1）问产业需求建专业—构建工科专业新结构；（2）问技术发展改内容—更新工程人才知识体系；（3）问学生志趣变方法—创新工程教育方式与手段；（4）问内外资源创条件—打造工程教育开放融合新生态。
逻辑规则：
与系统的结构规则和逻辑规则相比较的话：系统的结构规则只有一条弱化规则，而且关于逻辑联结词的规则没有，却增加了规则。在系统中，可限制为；有些逻辑规则，如果含有两个前提，诸如，利用规则，则具有相同的语境。我们以规则来看：
我们同样可以采用构造系统的方法，来构造一个与系统不同的矢列演算系统。需要提及的是，在系统中，逻辑规则，与系统的这三条规则，其限制条件是一样的；剩余规则与系统的规则相比，则维持不变。我们能够轻而易举地给出系统的结构规则与逻辑规则：
事实上，关于系统与系统，还含有一条并未显现的结构规则，即收缩规则：
高端定制式民族体育旅游是经济和社会发展的必然阶段。随着我国经济快速发展，人们追求健康和享受生活的要求愈发明显，其中一部分高收入人群对高端旅游产品产生了消费欲望。我国历史悠久，其中不乏众多优秀的体育旅游资源，如太极、武术等，都能够迎合现代社会人们对健康的渴求，在正确的引入下能够成为优良的体育旅游资源。而高端定制的体育旅游项目可以缓解现代人的压力，满足其审美需求和娱乐需求，从而推动了民族体育旅游发展。
是由公式构成的集合，因此，运用集合论的知识，集合。
她爸爸是谁？大家不约而同地在心中画了个问号。马县长走到何副书记面前说：“老何，殊书是吴军同志的女儿，望你们在生活上多照顾点儿。”
2 关于经典谓词逻辑的矢列演算系统
结构规则：
结构规则：
内容：研究生认为现在的入学教育内容千篇一律，即陈旧又太单调，主要以说教为主。建议注重内容，加强内容层次，与时俱进，丰富有意义的内容才可以吸引学生主动参加。
逻辑规则：
证明：关于的引入规则、弱化规则，在中仍然成立。因而，我们仅仅需要证明的是，的消去规则在中的证明是导出规则。当为空集时，可用或者某对挑选的矛盾替换。我们先给出规则的证明过程：
逻辑规则：
排中律在经典逻辑中是可证的，因此，我们可以利用排中律在系统中是否可证来判定。下面，可以给出的完整证明过程：
3 与系统不同的矢列演算系统
关于这两点，就如同系统中有左边的弱化规则。不仅如此，关于系统的逻辑规则，在系统中是可推导的：
倘若我们根据更加一般化的矢列式，其中与是由公式构成的有穷集或空集，通过修改系统，我们就能得到经典谓词逻辑的矢列演算系统。②在中，当且仅当在所有解释下，在中的每一个公式为真时，在中至少有一个公式为真，矢列式就是可推导的。而且，其初始矢列式是。
如果利用右边的弱化规则，显而易见，这两条规则并无本质差别：
就直觉主义谓词逻辑的形式化而言，一方面，与系统相较，系统并不显得自然。另一方面，与系统相比，系统依然没有有效地摹拟自然推理。虽然如此，如果我们通过检查系统的所有规则，那么就会有一个非常重要的发现，即系统具有子公式性质。③
各组计量资料以均数±标准差表示，两组间采用t检验进行均值的比较；多组间采用单因素方差分析进行比较，数据分析使用SPSS统计分析软件，P＜0.05为差异有统计学意义。
4 矢列演算系统与自然演绎系统的关系
如前所述，系统与系统都是形式系统，也同是刻画直觉主义谓词逻辑的，那么，二者显然是等价的。一个随之而来的问题，我是否可以证明，当且仅当。
定理1④：倘若，则。
证明：在系统中，有系统的引入规则和弱化规则，因而，我们不仅要证明右边的弱化规则在系统中是导出规则，而且左边的引入规则亦同样如此。当为空集时，我们就用来替换，也可用某一对精挑细选的矛盾。下面，我们给出关于右边的弱化规则在系统中是导出规则的证明过程：
5月中下旬播种，6月上中旬栽插，大田用种量1.5～2公斤/亩，用流水线机械播种，每亩大田用机插塑料硬盘约35张，根据机械栽插进度分批次播种。
再给出的证明：
其他逻辑规则，不再分别给出证明过程。（证毕）
各施工工况下对H型钢主结构和凸起椭圆拱形结构的位置必须进行跟踪测量，施工时应采取必要的措施，使变形在受控下完成，以保证整体造型和施工质量。
自然而然地，我们应该继续证明定理1的反面。可是当我们再采用同样的方法来证明时，却发现此路不通。为什么就行不通呢？根源在于：这两个系统是否都具有子公式性质，而系统显然并不具有。如果我们想要利用系统的规则，从自然演绎系统的消去规则的前提来推导这个消去规则的结论，那么只能无功而返。究其缘由：在系统中的消去规则并非系统的导出规则。在系统中，倘若某个消去规则的前提可证，该消去规则的结论就可证。这就是自然演绎系统的消去规则，在中成立的条件。
如果我们使用系统NSI中的一阶逻辑形式语言[5]，那么系统右边的弱化规则就变成，不仅可用或某对精选的矛盾来表示空集，而且规则是可推导的。因此，我们还能构造一个系统，与系统是等价的：
要想实现证明定理1的反面，我们就不得不借助系统。即在系统的结构规则与逻辑规则的基础之上，添加切割规则：
因为有了切割规则，系统就没有子公式性质。但是，我们易证
定理2：只有，才。
我们也可以用两条规则表示：
再给出规则的证明：
规则、，就不再给出具体证明过程；然而，对于规则、的证明，还需要利用可逆性定理⑤（简称“”，是inversion lemma的缩写形式）：
我们已经证明系统的规则是系统的导出规则，并且，同样证明切割规则是系统的导出规则：
因此，系统与系统是等价的。
现在，我们还需要证明切割消去定理。[6][7]如前所述，因为与的唯一区别在于：前者含有切割规则，而后者没有。关于这个问题，根岑（Gerhard Gentzen）在经典谓词逻辑的矢列演算系统中已首先提出并解决，即含有切割规则的经典谓词逻辑矢列演算系统与不含该规则的矢列演算系统，二者是等价的。对于直觉主义谓词逻辑的矢列演算系统而言，切割消去定理同样适用，因而，从理论上无需再证。
5 结语
文章既构造了直觉主义谓词逻辑的各种矢列演算系统，也探讨了经典谓词逻辑的矢列演算系统。这些工作，一方面为研究直觉主义命题逻辑的可判定性问题奠定坚实基础，另一方面，通过矢列演算系统的构造方法，可以进一步探讨经典逻辑与直觉主义逻辑之间的关系。矢列演算系统与自然演绎系统是等价的，而且借助系统的中介作用，利用切割消去定理，从理论上能够证明二者的等价关系。[4]101尽管如此，但是从技术上，我们并没有真正实现。其根源在于：我们需要证明关于直觉主义谓词逻辑的矢列演算系统中切割消去定理是成立的，也就是要能够真正给出关于切割消去定理的完整证明过程。这恰恰是我们即将探讨的核心问题。
2.固定奶头，吃上初乳。在新生仔猪吃奶前，要用0.1%高锰酸钾水或生理盐水清洗干净乳头，并挤通乳汁后让仔猪吸吮。仔猪初生30 min后，及时让仔猪吃上初乳，固定奶头，同时要注意及时保温防压防冻。
注释：
①逻辑规则的记法类似，虽然这与达米特的记法略有不同，但并无本质区别。
②“⋆”以示区别于根岑构建的经典谓词逻辑的矢列演算系统，参见Gentzen,G.Investigations into Logical Deduction[J].American Philosophical Quarterly,vol.1,1964：295-297。
③系统的子公式性质：在矢列式的证明中，出现在该证明的任意一个矢列式中的任何一个公式，一定是的子公式，或者是中其中一个公式的子公式。
④文中加粗的“定理”采用顺序表示法，特此说明。
⑤达米特既没有明确提出并证明该定理，也没有明确说明在定理2的证明中运用该定理；根岑的学生凯托宁（Oiva Ketonen）在经典逻辑系统中证明了所有逻辑规则的可逆性定理，参见Paul Bernays.Review[J].The Journal of Symbolic Logic,Vol.10,No.4,1945：127-130。
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参考文献：
[1]Sara Negri&Jan von Plato.Proof Analysis：A Contribution to Hilbert’s Last Problem[M].Cambridge：Cambridge University Press,2011：85.
[2]Dummett,M.Elements of Intuitionism[M].Oxford：Oxford University Press,2000.
[3]余军成.论直觉主义谓词逻辑的矢列式自然演绎系统与公理化系统[J].贵州工程应用技术学院学报，2017（3）：1-8.
[4]余军成.达米特直觉主义逻辑哲学思想研究[D].北碚：西南大学，2016.
[5]余军成，何向东.论直觉主义谓词逻辑的矢列式自然演绎系统[J].湖南科技大学学报（社会科学版），2016（5）：31-35.
[6]Gerhard Gentzen.Investigations into Logical Deduction[J].American Philosophical Quarterly,1964（1）：298-306.
[7]余军成，刘明元.关于切割规则的可容许性定理的一个注释[J].贵州民族大学学报（哲学社会科学版），2016（5）：103-117.
Sequence Calculus Systems for Classic Predicate Logic and Intuition Predicate Logic
YU Jun-cheng
(Center for Logic and Culture,Guizhou University of Engineering Science,Bijie,Guizhou551700,China)
Abstract:On the basis of Dummett’s sequence calculus system for intuition predicate logic,the article constructs an equivalent systemto,which helps to study the decidability of intuition propositional logic.At the same time,the article also constructs the sequence calculus systemfor classical predicate logic and the sequence calculus systemfor intuition predicate logic,which will help to explore the relationship between classical logic and intuition logic.
Key words:Intuition Predicate Logic;Classic Predicate Logic;Sequence Calculus System
中图分类号：B81
文献标识码：A
文章编号：2096-0239（2019）03-0010-06
收稿日期：2018-11-26
基金项目：贵州省哲学社会科学规划一般课题“直觉主义逻辑演绎思想研究”，项目编号：17GZYB50。
作者简介：余军成（1980- ），男，重庆忠县人，哲学博士，贵州工程应用技术学院逻辑与文化研究中心教授。研究方向：证明论与哲学逻辑。
（责编：彭麟淋 责校：明茂修）
标签：规则论文; 系统论文; 逻辑论文; 谓词论文; 定理论文; 哲学论文; 宗教论文; 逻辑学(论理学)论文; 哲理逻辑(非经典逻辑)论文; 《贵州工程应用技术学院学报》2019年第3期论文; 贵州省哲学社会科学规划一般课题“直觉主义逻辑演绎思想研究”; 项目编号:17GZYB50论文; 贵州工程应用技术学院逻辑与文化研究中心论文;