几类分数阶偏微分方程及近场动力学模型的高效数值算法及应用研究

论文摘要

经典的整数阶扩散方程最早由德国生理学家Fick在研究营养物质在生物细胞膜内的传播过程时提出,并随后由Einstein与Pearson分别运用第一性原理和随机游走的方法导出。他们的工作都有两个共同假设,即扩散过程中的粒子运动存在有限的平均自由程以及平均等待时间。在这两个假设下,粒子的运动服从经典的Gauss分布,对应的Fokker-Planck方程即为经典的扩散方程。但是很多试验表明这两个假设对非均匀介质是不成立的,粒子的运动呈现出了重尾等待时间、长程空间相互作用或强非对称羽流等反常扩散现象。由于整数阶扩散方程的解具有指数衰减的特性,使得其不能很好的刻画这些现象。而分数阶偏微分方程的解是幂律衰减的,所以比经典的整数阶扩散方程更能精确地模拟反常扩散过程。实际上,反常扩散现象广泛的存在于自然界和各种工程领域当中,如粘弹性流体、河流与地下水中的生物堵塞过程、河口泥沙输运过程中出现的长尾羽流现象等。所以关于分数阶偏微分方程的数学和数值研究具有很强的理论和实际意义,并且已经成为了近些年的一个热点研究方向。在固体力学当中,经典的偏微分方程模型假设其所有的内力都是局部作用的。然而,由于其在位移场上的可微性假设,偏微分方程模型不能很精确地模拟位移场不连续的问题,例如材料的损伤演化或断裂破坏等。美国Sandia国家实验室的Silling研究员在2000年提出了近场动力学理论[98]用于解决偏微分方程模型中的连续性假设与实际问题不连续的矛盾,其基本思想是用非局部的积分模型代替原来的偏微分方程模型。在近场动力学理论中,本构模型依赖于有限的变形向量,而不是依赖于经典本构模型中的变形梯度,因此近场动力学理论更适合用于模拟固体力学中位移场不连续的情形。但是,与经典的整数阶偏微分方程不同的是,分数阶偏微分方程和近场动力学模型都具有非局部的特性,其相应的数值离散会产生稠密甚至是满的系数矩阵或者在时间上具有历史依赖性。我们以Riesz空间分数阶扩散方程为例来说明这些问题,对其进行数值离散后导出的矩阵为满阵。我们需要（?）（N2）的内存单元来存储系数矩阵,其中N为空间未知量的个数。同时,如果我们使用直接解法如高斯消去法对矩阵求逆,则相应的计算量为（?）（N3）。若我们使用Krylov子空间迭代算法求解,则在每一迭代步里需要（?）（N2）的计算量计算矩阵和向量的乘积,但是其内存需求依然为O（N2）。这些困难都是在处理整数阶偏微分方程时不曾遇到的,尤其在面对大规模或者高维问题时更为突出。本文主要研究了分数阶偏微分方程及近场动力学模型的高效数值算法及其在相场模拟、断裂力学中的应用。其主要结构如下:第一章,我们简单介绍了分数阶微积分及近场动力学模型的基本定义与研究背景,同时还回顾了两种具有特殊结构的矩阵:Toeplitz矩阵和循环矩阵的相关知识。第二章,对一维稳态的键基近场动力学模型,我们提出了一系列快速的间断Galerkin有限元（DG）方法。更精确地说,为了处理位移在网格节点处发生间断的情形,我们在局部加密网格上提出了一种预处理的快速分片常数DG方法。我们还在一致剖分网格上发展了一种快速的预处理分片线性DG方法,这种方法在处理位移场在计算节点处发生跳跃间断的情形时具有二阶精度,否则只有半阶精度。基于这两个结果,我们又给出了一种快速的杂交DG格式去处理位移场在网格单元内部发生跳跃间断的情况。在不含跳跃间断的网格单元,我们使用网格步长为h的分片常数DG格式,而在含有跳跃间断的网格单元我们使用网格步长为h2的分片线性DG格式,所以杂交DG格式在整体上具有一阶精度。数值实验显示这些方法可以有效的提高数值模拟的精度和效率。第三章,我们研究了时间分数阶Allen-Cahn和Cahn-Hilliard相场模型来解释非均匀多孔介质中的反常次扩散输运行为或某些材料的记忆效应。由于时间分数阶导数的非局部性,在每一时间步我们都需要前面所有时间层的信息,因此其内存需求为O（MN）,而总共的计算量为O（M2N）,其中M,N分别是时间方向和空间方向的剖分数。利用文献[65]中的sum-of-exponentials（SOE）近似Caputo分数阶导数中的奇异核,我们分别对时间分数阶Allen-Cahn和Cahn-Hilliard相场模型给出了高效的有限差分格式和Fourier谱格式来减少数值格式的内存需求和计算复杂度。目前,因为时间分数阶相场模型的能量耗散定律依然没有得到证明,所以对它们的能量耗散行为进行数值研究是很有必要的。对于时间分数阶Cahn-Hilliard方程,我们发现分数阶α越大,其能量衰减越快。因为时间分数阶偏微分方程描述的是次扩散过程,所以这个观察结果在物理上是合理的。然而,对于时间分数阶Allen-Cahn方程,我们却得到了相反的结论,这似乎有点不合理,具体原因还有待进一步的调查。另外,我们还研究了时间分数阶Cahn-Hilliard方程的粗化动力学行为,数值实验显示其能量衰减具有O（t-α/3）的标度律。当时间分数阶Cahn-Hilliard方程退化成整数阶Cahn-Hilliard方程的时候,其结果与我们熟知的（?）（t-1/3）标度律是吻合的。第四章,我们研究了时空分数阶Allen-Cahn方程的快速有限元方法,其中空间分数阶导数为超奇异积分定义的分数阶Laplacian算子。同样由于分数阶导数的非局部性,直接算法如高斯消去法需要（?）（N2+MN）的内存存储系数矩阵以及（?）（M2N+MN3）的计算量,其中M,N分别是时间方向和空间方向的剖分数。通过分析系数矩阵的特殊结构以及使用分治算法处理时间分数阶导数,我们得到了一种高效且无损耗的分治有限元算法。此算法只需要（?）（MN）的存储量以及每一迭代步（?）（MN（log N+log2 M））的计算量。我们使用了能量二次化方法处理模型中的非线性项,从而弱化了显格式或者全隐格式中可能出现的时间步长限制[111]。最后我们研究了时空分数阶Allen-Cahn方程的模拟能力以及能量耗散性质。数值实验验证了所给格式的高效性和时空分数阶Allen-Cahn方程的可调节的界面宽度和灵活的能量耗散行为。第五章,我们对两维的Riesz空间分数阶扩散方程提出了一种快速的Crank-Nicolson交替方向有限体积方法,并在离散范数意义下给出了其稳定性和收敛性证明。结果表明这种格式是无条件稳定的,且在时间和空间上都具有二阶精度。在每个时间步里,相比于经典的有限体积方法,交替方向有限体积方法可以将计算量从（?）（N3）=（?）（N3Ny3）降低到（?）（Nx3Ny+NxNy3）,其中Nx,Ny分别为空间x方向和y方向的剖分数。我们通过使用置换矩阵,发展了一种无压缩损耗的高效Crank-Nicolson交替方向有限体积方法。这种方法可以进一步将数值格式的存储量降低到（?）（N）,而在每一迭代步里,可以将计算量进一步降低到（?）（NlogN）。最后我们通过几个数值实验验证了所提出的格式的高效性以及实用性。

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 预备知识
•   §1.1 分数阶微积分基础知识
•   §1.2 近场动力学理论
•   §1.3 Toeplitz矩阵及循环矩阵
• 第二章 线性键基近场动力学模型的快速间断Galerkin有限元方法
•   §2.1 前言
•   §2.2 线性键基近场动力学模型及其有限元离散
•   §2.3 快速分片常数间断有限元（DG）格式
•     §2.3.1 基于局部加密网格的分片常数DG格式
•     §2.3.2 刚度矩阵的结构
•   §2.4 快速分片线性DG格式及快速杂交DG格式
•     §2.4.1 基于一致网格的分片线性DG格式
•     §2.4.2 刚度矩阵的结构
•     §2.4.3 基于局部加密网格的快速杂交DG格式
•   §2.5 后验误差估计子以及快速自适应加密算法
•     §2.5.1 后验误差估计子
•     §2.5.2 快速自适应网格加密算法
•   §2.6 快速DG格式的高效块预条件
•   §2.7 数值实验
•   §2.8 本章小结
• 第三章 时间分数阶相场模型的高效求解算法及其数值研究
•   §3.1 前言
•   §3.2 Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程
•   §3.3 时间分数阶Allen-Cahn方程及其数值研究
•     §3.3.1 有限差分近似
•     §3.3.2 Caputo分数阶导数的一种高效近似方法
•     §3.3.3 数值实验
•   §3.4 时间分数阶Cahn-Hilliard方程及其数值研究
•     §3.4.1 快速Fourier谱方法
•     §3.4.2 数值实验
•     §3.4.3 时间分数阶Cahn-Hilliard方程的标度律
•   §3.5 本章小结
• 第四章 时空分数阶Allen-Cahn方程的有限元方法及其数值研究
•   §4.1 前言
•   §4.2 模型及其时间半离散格式
•   §4.3 快速分而治之有限元方法
•   §4.4 数值实验
•   §4.5 本章小结
• 第五章 二维分数阶扩散方程的快速交替方向有限体积方法
•   §5.1 前言
•   §5.2 二维空间分数阶扩散方程及交替方向有限体积格式
•     §5.2.1 有限体积格式
•     §5.2.2 Crank-Nicolson交替方向有限体积格式
•   §5.3 Crank-Nicolson交替方向有限体积格式的稳定性以及收敛性分析
•     §5.3.1 稳定性估计
•     §5.3.2 收敛性估计
•   §5.4 Crank-Nicolson交替方向有限体积格式的快速迭代求解算法
•   §5.5 数值实验
•   §5.6 本章小结
• 第六章 总结与展望
• 参考文献
• 致谢
• 攻读博士学位期间完成的工作
• 作者简介
• 学位论文评阅及答辩情况表

文章来源

类型: 博士论文

作者: 刘欢

导师: 程爱杰,王宏

关键词: 近场动力学模型,分数阶方程,交替方向,快速求解算法

来源: 山东大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 山东大学

分类号: O241.82

DOI: 10.27272/d.cnki.gshdu.2019.000794

总页数: 140

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