四阶微分方程解的研究

论文摘要

本文分五章.第一章,引言部分.主要介绍四阶微分方程的一些背景,国内外的研究现状,本文用到的重要引理及本文得到的主要结果.第二章,我们将讨论如下非周期四阶微分方程U（4）+wu"+a（x）u=f（x）|u|q-2u+g（x）|u|p-2u,x∈ R,其中1<q<2<p<+∞,a（x）,f（x）和g（x）是连续函数且满足如下条件:（H1）a ∈ C（R,R）,且存在正常数a1,使得ω≤2（?）,且当|x|→+∞时,有0<a1<a（x）→+∞;（H3）g ∈C（服）∩L∞（R）,且对于几乎处处的x∈ R,有g（x）>0.为了得到方程解的存在性,我们在空间X:={u ∈H2（R）| ∫R[u"（x）2-wu’（x）2+a（x）u（x）2]dx<+∞中考虑泛函J:X→R:J（u）=1/2∫R[u"（x）2-wu’（x）2+a（x）u（x）2]dx-1/q∫Rf（x）|u|qdx q-1/p∫ g（x）|u|pdx=1/2‖u‖2-1/qf（x）|u|qdx-1/p∫R g（x）|u|pdx的临界点.因为J在X上不是下方有界的,所以我们引入Nehari流形N={u∈ X:{J’（u）,u)=0},其中<·,·>是X与X’之间的对偶.而Nehari流形N与形如Nu:t→J（fu）（t>0）的函数密切相关.对于u ∈ X,令因为对于u ∈ X{0}及t>0,有则tu∈N当且仅当Nu’（t）=0,即Nu（t）的临界点与Nehari流形上的点.特别地,u∈N当且仅当Nu’（1）=0.定义N+={u ∈ N:<（1）>0},首先,我们证得J在N上是下方有界的,强制的,N0=（?）,接着,证明了 J在N+和N-上的极小值点均为J的临界点,进而得到解的多重性.本章,我们证明了如下定理.定理2.1.3假设（H1）-（H3）成立,若|f|q*|g|∞（2-q）/（p-2）∈（0,σ）,则问题（2.1.1）有两个非平凡解,且一个解的能量是负的,其中,σ=（p-2）（2-q）（2—q）/（p—2）（Sp/（p-g））（p-q）/（p-2）.定理2.1.5假设（H1）-（H3）成立,若|f|q*|g|∞（2-q）/（0,σ*）∈（0,σ*）,则问题（2.1.1）有两个非平凡解,且一个解的能量是正的,另一个解的能量是负的,其中,0<σ*:=q/2σ<σ.进一步,负能量解是一个基态解.第三章,我们考虑四阶非线性系统:借助Green函数,将系统的正解转化为算子的不动点,运用Guo-Krasnosel’skii不动点定理,得到了如下结论:定理3.3.2 假设（H1）和（H2）成立,σ∈（0,1/2）,f0,f∞σ,g0,g∞σ ∈（0,∞）,α1,α2 ∈[0,1],α3,α4 ∈（0,1）,a∈[0,1],∈（0,1）,L1<L2及L3<L4.则对于任意的λ ∈（L1,L2）及μ ∈（L3,L4）,问题（3.1.1）存在正解(u（t）,v（t）∈[0,1].定理3.3.10 假设（H1）和（H2）成立,a ∈（0,1/2）,f0σ，f∞,g0σ,g∞ ∈（0,∞）,α1,α2[0,1],α3,α4 ∈（0,1）:a ∈[0,1],b ∈（0,1）,L1<L2RL3<L4.则对于任意的λ∈(/1,Lλ 及μ（L3,L4）,问题（3.1.1）有正解(u（2）,v（t）,t ∈[0,1].第四章,我们考虑如下方程其中,N1,β ∈ R,△pu=div（|▽u|p-2▽u）,pP>2.在本章中,我们假设 Vλ（x）=λa（x）-b（x）,且a（x）和b（x）满足以下条件:（a1）a ∈ C（RN）,且对于任意的x∈RN a（x）≥ 0成立.存在a0>0使得当N≥4时,集合{a<a0}:={x RN|a（x）<a0}有有限的正测度;当N ≤3时,其中,|·|表示Lebesgue测度,S∞是嵌入H2（RN）（N≤ 3）→L∞（RN）的最佳Sobolev常数,A0将在引理中给出;（a2）Ω=int{x∈RN:a（x）=0}是一个具有光滑边界的非空集合且Ω={x∈RN:a（x）=0};（b）b（x）是RN上的可测函数且存在0<b0<γ使得0 ≤ b（x）≤b0/|x|4对于所有的x∈RN 均成立,其中,γ=N2（N-4）2/16是Hardy-Sobolev常数.同时,我们假设f∈C（R ×R,R）.令F（x,u）=∫0uf（x,.s）ds,且F（x,u）=F（.x,u）+α（x）|u|s,其中,1<s<2,F,α满足下列条件:（f1）α（x）∈ α（x）≥ 0且|α|2/2-s<П*:= min{γ-b0/γ（?）2s/2,П0,П},其中（?）2,П0,П1在注4.1.2给出;（f2）F（x,u）∈ C1（RN× R,R）,F（x,0）三 0,存在r>p及两个连续有界函数p,q:RN→ R使得q>0在Ω上成立且对于x∈一致成立;（f3）存在d0满足0≤0<（P-2（γ-b0）/2pγ（?）2使得F（x,u）-1/pf（x,u）u≤d0|u|2,x∈RN,u∈ R,其中,f（x,u）=F（x,u）.我们在空间Xλ={u∈ H2（RN）| ∫RN（|Δu|2+λa（x）u2）dx<+∞）}中考虑能量泛函Iλ（u）—O/[|Δu|2λa（x）u2]dx-1/2∫RNb（x）u2dx+β/p∫RN |▽u|pdx—∫RNF（x,u）dx=1/2‖u‖λ2-1/2∫RNb（x）u2dx+β/p∫RN |▽u|pdx-∫RNF（x,u）dx,u Xλ.结合Ekeland变分原理和山路引理,我们得到了以下结论:定理4.1.3假设N ≥ 1,2<p<4,β∈ R且（a1）,（a2）,（b）成立.另外,假设f满足（f1）-（f3）.则存在A*>0,使得当λ:A*时,问题（4.1.1）至少有两个非平凡解.当b（x）=0时,上述问题退化为自然地,我们可得以下结论:推论4.1.5假设（a1）和（a2）成立,N≥ 1,∈ R,2<p<4.另外,假设f满足（f2）及（f1’）α（x）∈L2/2-s（EN）且|α|2/2-s<min{1/（?）2s/2,П,П1’},其中,D,A0,e2p/（4-p）是正常数.（乃）存在d0’满足0≤d0’≤（p-2）/2p（?）2 使得F（x,u）-1/pf（x,u）u≤d0’|u|2,x ∈RN,u ∈R.则存在A**>0使得当λ≥ Λ**时,该问题至少有两个非平凡解.第五章,考虑以下ε4Δ2u+V（x）u=λf（x）|u|q-2u+g（x）|u|r-2u,x ∈RN,其中,ε,λ>0是参数,N≥ 5,1<q<2<r<2*=2N/N-4,假设函数f,g和V满足以下条件:（F）f≥ 0,≠0,f∈q（RN）∩ C（RN）（q*= r/（r-q））且|f|q*>0,fmax=maxf（x）=1;（G1）g是定义在RN上的连续的正函数;（G2）存在k个点a1,a2,.ak∈RN使得g（ai）=max g（x）=1,1 ≤i ≤k,且0<g∞=lim|x|→+∞ g（x）<1;（V1）V∈C（RN,R）满足V∞:=liminf V（x）≥ V0:=inf V（x）>0（V2）V（ai）=V0,i=1,2,...,k.对于ε>0,定义空间Hε{u∈H:∫RNV（εχ）|u|2dx<+∞},其范数为:（?）由条件（V1）知,嵌入H→H是连续的.如果我们做变量替换x→εx则上述问题转化为△2u+V（εx）u=λf（εx）|u|q-2u+g（εx）|u|r-2u,x ∈ RN.（0.0.1）考虑 Euler-Lagrange 泛函（?）则Iε是C1的,但在Hε上不是下方有界的.类似于第二章,我们考虑Nehari流形Nε={u∈Hε{0}:

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 引言
• 第二章 带有凹凸非线性项的非周期四阶微分方程解的多重性
•   §2.1 文献综述与主要结论
•   §2.2 预备知识
•   §2.3 主要定理的证明
• 第三章 带参数的非线性四阶耦合系统正解的存在性
•   §3.1 文献综述与主要问题
•   §3.2 预备知识
•   §3.3 主要结论
•   §3.4 主要结论的应用
• 第四章 带有奇异位势的一类双调和方程解的多重性
•   §4.1 文献综述与主要结论
•   §4.2 预备知识
•   §4.3 主要定理的证明
• 第五章 具有凹凸非线性项的双调和Schr?dinger方程解的研究
•   §5.1 文献综述与主要结论
•   §5.2 预备知识
•   §5.3 解的多重性
•   §5.4 主要定理的证明
• 总结
• 参考文献
• 攻读博士学位期间的主要研究成果
• 致谢
• 个人简介及联系方式

文章来源

类型: 博士论文

作者: 姜瑞廷

导师: 翟成波

关键词: 四阶微分方程,凹凸项,存在性,多重性,流形

来源: 山西大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山西大学

分类号: O175

DOI: 10.27284/d.cnki.gsxiu.2019.001479

总页数: 101

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