熊杨（贵州财经学院数学与统计学院）
摘要：本文通过对马克维兹模型的实证分析讨论了如何在单目标的基础上选择基金的最优投资组合，并针对该模型的不足之处在其他学者的研究的基础上对马克维兹模型进行了改进，同时用实证分析作出其有效的验证。
关键词：马克维兹模型有效率边界收益率
0引言
投资组合(Portfolio)是投资者同时投资于多种证券，如股票、债券、存款单等，投资组合不是券种的简单随意组合，它体现了投资者的意愿和投资者所受到的约束，即受到投资者对投资收益的权衡、投资比例的分配、投资风险的偏好等的限制。1952年，美国经济学家，诺贝尔经济学奖获得者：哈里.马克维兹（Markowitz.harry)在《资产组合理论》一文中，第一次从风险资产的收益率与风险的关系出发，讨论了不确定经济体中最优资产组合的关系出发，讨论了不确定经济体中最优资产组合的选择问题，获得了著名的两基金分离定理，为资产定价理论奠定了坚实基石。
马克维兹模型有一个合理的假设：即投资者都是“风险规避者”（Riskaverse），投资者在面临有相同的期望收益率但风险不同的两种投资时，投资者力求风险最小化。满足这种要求的投资组合（efficiencyportfolio）。马克维兹有效组合的集合叫马克维兹有效边界（efficiencyfrontier）(iiiii)，投资者的效用曲线与马克维兹有效边界的切点即为最优投资组合。马克维兹组合模型以两个参数为基础，即期望收益率(R)和收益率的方差σ2。本文通过对马克维兹模型的实证分析，讨论了如何在单目标规划的基础上，投资者固定一个目标使另一个目标达到最优。即在达到预期收益率情况下，使基金投资组合的风险最小；或者在控制风险不超过σ的情况下，使基金投资组合的收益率最大，从而达到低风险收益的组合效果。
1模型的设定
投资者选择了N种基金作为投资对象，第I种基金的收益为Ri，μi=E（i）为第i种基金的期望收益率，σi2为第i种基金期望收益率的方差，称为第i种基金的风险，σij为第i种基金与第j种基金收益率的协方差，它反映了这两种基金收益率之间的相关性，i，j=1，2，3.....，N。r=（r1，r2，r3…，rn）T为收益率向量，μ=E(r)=（μ1，μ2，μ3…，μn）T是收益率向量r的期望向量，Cov（ri，rj）=σijn×n为收益率向量r的协方差矩阵(本文假定r为正定矩阵，否则所选择的n种证券中至少有一种是其他证券的线性组合)。投资者投向第i种证券的投资比例系数为xi，i=1，2，3....n，X=（x1，x2，x3…，xn）T为投资比例向量，则证券组合的投资比例向量X满足：XTFn=1，证券组合投资的收益率为rp=∑xirj=XTr，Fn=（1，1，…，1）T为元素全是1的n维列向量。
在马克维兹(H.Markowitz)的组合证券投资理论中，风险证券的评价采用预期收益率（即收益率的期望值）和收益率方差（代表风险）两项指标，则证券组合投资的期望收益和风险
由式(1)式(2)可以看出:当投资对象确定后，证券组合投资的收益和风险仅与投资比例向量X有关。由于理性的投资行为应具有“非满足性”和“风险回避性”两个特征，所以理性的投资者应根据下面的模型确定投资比例向量。
模型(A):minσ2（rp）XT∑X
模型(A)就是马克维兹的均值-方差模型，指在方差最小的情况下的资产投资组合。其中μ0是供投资决策者选择的证券组合预期收益率，第二个条件是指投资者投资比例的和为一。
马克维兹资产配置模型是以方差作为度量风险的方法，方差方法的优劣决定着资产配置模型的有效性。方差具有良好的数学特性，在用方差度量金融或证券资产组合的总风险时，组合的方差可以分解为组合中单个资产收益的方差和各个资产收益之间的协方差，这是马克维兹资产配置模型在技术上可行的基础。
2实证分析
假设资产组合计划是一年期的，因此所有的估计与一年期相匹配。我们的基金分析涉及n种基金，以现在为起点，时间为零，我们观察这些基金的价格p1，p2，p3…，pn。分析师评估出每种基金一年后（时间1）的期望价格：E(p1)，...E(pn)，和这一时期的期望红利E(D1)，...E(Dn)。期望收益率的集合可以通过以下公式计算得到。
各种基金的收益率的协方差（协方差矩阵）一般是通过历史数据估算的假设我们通过分析得到以下七种基金的收益率及其相关系数矩阵。为了得到完整的有效率边界，我们可以通过修改期望收益率来获得不同的资产组合权重，其形状应该是平面上开口向右的抛物线。不同的期望收益率点到该曲线的切线便是最优的资产组合。
3实证分析
选择在上海证交所上市的6只基金；基金安信，基金开元，基金景阳，基金惠普，基金汉盛，基金兴和，利用2008年7月8日至10月11日的市场价格，以每两个交易周为一个计算期，计算每只基金的收益率，并以此作为该基金投资收益率ri的一个观测值，这样，每只基金的收益率ri各有m=7个观测值，形成一个m×6维的观测值矩阵(rij)，并且
根据观测数据，这6只基金的风险相关矩阵为
最优投资权重为
w1=(0.08，0.25，0.44，0.23，0，0)
组合投资最小化风险为
f(w1)=0.005
Markowitz风险测度下的协方差矩阵为
最优投资权重为：w2=(0.14，0.12，0.66，0.01，0，0.07)
组合投资最小化风险为：
σp2=0.009
从表面上看，似乎模型(4)计算出的最小风险值(0.005)低于Markowitz模型(1)的最小风险值(0.009)，其实这两组最优风险不能相比，因为两者的风险测度不一致。
若以w1进行投资，则其Markowitz风险测度为σp2=0.017.其大于Markowitz最小化风险0.009，因此Markwitz模型下不接受这一投资风险(在σp2=0.017风险下，Markowitz模型有效边界上对应的收益为0.101优于Markowitz最小风险对应的收益0.062).而在本文所提风险测度下是可以接受这一风险的，此时尽管Markowitz风险测度较大，即风险较大，但实际上来自期望收益的损失或减少并不很大。从风险相关矩阵可看出基金汉盛、基金兴和的风险相对较高，基金惠普的风险次之，而基金景阳的风险最小，实验数据表明，在风险较高基金汉盛和基金兴和上不投资，而在风险较小的基金景阳上投资较大，这个结果符合一般降低风险的操作方式，即在风险大的基金上相对少投资，在风险小的基金上相对多投资。
参考文献：
[1]滋维.博迪，亚历克斯.凯恩.投资学.朱宝宪等译，北京：机械工业出版社.2002.225～273.
[2]亚历山大，夏普.证券投资原理.倪克勤等译，成都:西南财经大学出版社.1992.115～246.
[3]唐小我，曹长修.组合证券投资有效边界的研究.预测.1993.4:35～38.