时间非局部抛物方程的Sinc方法研究

论文摘要

近几年来,对于非局部问题的研究受到越来越多研究者的重视。非局部方程被广泛应用于物理学、生物学以及工程等领域,与经典方程对问题解的光滑性要求相比,非局部模型能够解决存在断层、裂缝等不连续问题,从而将连续介质、裂缝、粒子等问题合理的统一在一个模型框架下。目前对非局部算子的离散方法包括有限元、有限差分等方法。本文采用有限差分法和Sinc方法对时间非局部抛物方程初边值问题构造全离散格式。具体工作如下:（1）利用Sinc-Galerkin方法对Burgers方程的初边值问题进行了数值求解。首先,用Hopf-Cole变换将非线性的Burgers方程变换为线性方程。时间上的导数采用加权格式离散,空间导数采用Sinc-Galerkin法离散,端点处分别引入权函数处理变换后的第二类边界条件。最后,通过数值算例验证了 Sinc-Galerkin法的指数收敛性,通过与精确解对比,本文构造的数值格式精度高,能够有效捕捉激波等物理现象。（2）对一维非局部抛物方程的初边值问题,采用有限差分法对时间变量进行离散,得到半离散格式,并给出了局部截断误差。然后,对空间微分算子分别采用Sinc-Galerkin法和Sinc-Collocation法进行离散,建立了求解时间非局部抛物方程的两种全离散格式:DSG格式和DSC格式。最后,利用数值算例验证了 DSG格式、DSC-Ⅰ格式以及DSC-Ⅱ格式的有效性,并分析了非局部抛物方程中参数对数值结果的影响。（3）对于二维时间非局部问题,时间非局部算子仍采用有限差分法离散,对空间导数采用二维Sin-Galerkin法和Sinc-Collocation法进行离散,考虑到离散格式中不同参数的取法,分别形成了四种全离散格式:TDSG-Ⅰ、TDSG-Ⅱ、TDSC-Ⅰ、TDSC-Ⅱ。利用数值算例验证了这四种数值格式的有效性,并对问题中的参数取值对解的影响作了分析,对四种格式做了对比分析。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
•   1.1 非局部问题的研究背景与意义
•   1.2 相关研究进展
•   1.3 本文内容安排
• 2 Sinc数值方法及其在Burgers方程求解中的应用
•   2.1 Sinc函数及Sinc数值逼近的基本理论
•   2.2 Burgers方程的Sinc-Galerkin法
•     2.2.1 Burgers方程的Hopf-Cole变换及关于时间的半离散格式
•     2.2.2 Burgers方程的Sinc-Galerkin离散格式
•   2.3 数值算例
•   2.4 本章小结
• 3 一维时间非局部抛物方程的Sinc数值方法
•   3.1 时间半离散格式及其局部截断误差
•   3.2 一维时间非局部抛物方程的全离散格式
•     3.2.1 空间微分算子的Sinc-Galerkin法离散
•     3.2.2 空间微分算子的Sinc-Collocation法离散
•   3.3 数值算例
•     3.3.1 DSG格式的数值解分析
•     3.3.2 DSC格式的数值解分析
•   3.4 本章小结
• 4 二维时间非局部抛物方程Sinc数值方法
•   4.1 二维时间非局部抛物方程的半离散格式
•   4.2 二维时间非局部抛物方程的全离散格式
•     4.2.1 空间微分算子Sinc-Galerkin法全离散格式
•     4.2.2 Sinc-collocation法全离散格式
•   4.3 数值算例
•     4.3.1 TDSC格式的数值解分析
•     4.3.2 α取值对TDSC格式数值解的影响
•     4.3.3 δ取值对TDSC格式数值解的影响
•     4.3.4 TDSG格式的数值解分析
•     4.3.5 α取值对TDSG格式数值解的影响
•     4.3.6 δ取值对TDSC格式数值解的影响
•     4.3.7 TDSG格式与TDSC格式数值解的比较
•   4.4 本章小结
• 5 总结与展望
•   5.1 总结
•   5.2 展望
• 致谢
• 参考文献
• 攻读硕士期间主要研究成果

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 杨梅

导师: 赵凤群

关键词: 时间非局部抛物方程,有限差分法

来源: 西安理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 西安理工大学

分类号: O241.82

总页数: 72

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