非线性最优控制问题的保辛伪谱方法及其应用

论文摘要

实际工程中的最优控制问题面临强非线性、约束、时滞等复杂特性,难以使用解析法完成求解。在构造最优控制问题数值算法时,人们通常单纯地关心如何提高数值解对解析解的逼近程度,却并未对最优控制问题本身的数学结构加以利用。事实上,最优控制问题可以通过Pontryagin极大值原理导入Hamiltonian系统,而保辛方法可以高效、精确地求解Hamiltonian系统。此外,直接法中的伪谱法由于其良好的精度目前求解最优控制问题的最流行的数值方法。然而伪谱法本质上是一种通用的近似方式,不应仅被局限于直接法的构造当中。基于这样的现状,本文考虑利用伪谱法的优良数学特性,在间接法的框架下发展求解非线性最优控制问题的保辛伪谱算法。本论文的具体工作如下:1.针对一般性无约束非线性最优控制问题,提出了多区段的保辛伪谱算法。数值算例表明,相对于基于均匀Lagrange插值的保辛方法,本文方法在数值精度和计算效率方面均有明显的优势。此外,为避免为了提高数值解精度而盲目加密求解网格,基于状态变量曲线的相对曲率提出了一种自适应hp网格加密技术。2.针对含有不等式约束的非线性最优控制问题,结合序列拟凸化方法,提出了多区段的保辛伪谱算法。通过Lagrange乘子法,纯状态、纯控制以及状态-控制混合三类约束,得以在统一的框架下进行处理,并得到严格满足。通过数值算例表明,相较于经典伪谱法以及自适应hp伪谱法,本文方法在数值精度和计算效率方面具有明显的优势。3.针对含有状态时滞的非线性最优控制问题,结合序列拟凸化方法,提出了多区段的保辛伪谱算法,首次实现了对时滞最优控制问题的保辛求解。数值算例表明,相比于伪谱方法和同伦打靶方法,本方法在数值精度和计算效率方面均具有一定的优势。4.基于2中发展的保辛伪谱算法,结合滚动优化的思想,构造了可以考虑约束的保辛伪谱模型预测控制和保辛伪谱滚动时域估计算法,以服务于闭环控制的需要。分别通过桥式起重机轨迹跟踪问题和航天器的状态估计问题,验证了两类算法的有效性。本论文发展的这系列保辛伪谱算法具有丰富的收敛特性,通过调节子区间数目或伪谱近似阶数,可以分别使算法呈现线性和指数的收敛速度。由于该系列算法基于最小作用量原理构造,涉及的核心矩阵天然地具有稀疏、对称的特性,而且多区段的特性极易实现并行计算,为大规模非线性最优控制问题的高效、精确求解提供了潜在的可能。此外,针对实际的轨迹优化问题,离线的轨迹规划连同在线的轨迹跟踪和状态估计得以使用相同的保辛伪谱算法进行求解,为控制算法在硬件上的集成提供了极大的便利。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 1 绪论
•   1.1 研究背景与意义
•   1.2 非线性最优控制问题数值算法研究进展
•     1.2.1 间接法
•     1.2.2 直接法
•     1.2.3 其它方法
•     1.2.4 小结
•   1.3 最优控制问题中对于约束的处理
•   1.4 最优控制问题中对于时滞的处理
•   1.5 本文主要研究思路
• 2 最优控制问题数学列式及数学基础
•   2.1 引言
•   2.2 非线性最优控制问题数学列式
•     2.2.1 无约束非线性最优控制问题
•     2.2.2 含不等式约束的非线性最优控制问题
•     2.2.3 含状态时滞的非线性最优控制问题
•   2.3 最优控制问题的Hamiltonian数学结构
•   2.4 辛数学基础
•     2.4.1 Hamiltonian动力学系统及保辛概念
•     2.4.2 作用量及最小作用量原理
•     2.4.3 生成函数
•   2.5 伪谱方法
•     2.5.1 Lagrange插值与函数逼近
•     2.5.2 基于Legendre函数的Gauss积分
•     2.5.3 Legendre伪谱近似
•     2.5.4 微分矩阵
•     2.5.5 求解最优控制问题的Legendre伪谱方法
• 3 无约束非线性最优控制问题的保辛伪谱解法
•   3.1 引言
•   3.2 问题列式
•   3.3 算法构造
•     3.3.1 区间离散
•     3.3.2 在子区间内使用LGL型伪谱方法
•     3.3.3 对第一类生成函数施加变分原理
•     3.3.4 施加边界条件
•     3.3.5 求解非线性方程组
•   3.4 自适应hp网格加密技术
•     3.4.1 动力学方程残余误差
•     3.4.2 网格加密准则
•     3.4.3 基于保辛伪谱的非线性最优控制问题的hp自适应算法
•   3.5 数值算例
•     3.5.1 算例1:具有解析解的单自由度系统最优控制问题
•     3.5.2 算例2:两自由度Van der Pol振子系统的最优控制问题
•     3.5.3 算例3:超敏感最优控制问题
•     3.5.4 算例4:绕地航天器变轨交会问题
•     3.5.5 算例5:绳系卫星释放问题
•   3.6 本章小结
• 4 含不等式约束的非线性最优控制问题的保辛伪谱解法
•   4.1 引言
•   4.2 问题列式
•   4.3 问题转化
•   4.4 算法构造
•     4.4.1 区间离散
•     4.4.2 在子区间内使用LGL型伪谱方法
•     4.4.3 对第二类生成函数施加参变量变分原理
•     4.4.4 施加等式约束和互补条件
•     4.4.5 施加边界条件
•     4.4.6 构造线性互补问题并求解
•   4.5 数值算例
•     4.5.1 算例1: Breakwell问题
•     4.5.2 算例2: 日-地系统L2平动点Halo轨道变轨问题
•     4.5.3 算例3: 桥式起重机路径规划问题
•     4.5.4 算例4: 轮式机器人的避障轨迹规划问题
•     4.5.5 算例5: 混沌系统广义同步
•     4.5.6 算例6: 基于改进SEIR模型的传染病最优疫苗接种策略制定
•   4.6 本章小结
• 5 含状态时滞的非线性最优控制问题的保辛伪谱解法
•   5.1 引言
•   5.2 问题列式
•   5.3 问题转化
•   5.4 算法构造
•     5.4.1 区间离散
•     5.4.2 在子区间内使用LGL型伪谱方法
•     5.4.3 对子区间内第一类生成函数施加变分原理
•     5.4.4 对全局的第一类生成函数施加变分原理
•     5.4.5 施加边界条件
•     5.4.6 求解线性代数方程组
•   5.5 数值算例
•     5.5.1 算例1:具有解析解的时滞简谐振子最优控制问题
•     5.5.2 算例2:强非线性时滞系统的最优控制问题
•     5.5.3 算例3:时变Mathieu方程不同边界条件下的最优控制问题
•     5.5.4 算例4:具有转向时滞的运载器轨迹规划
•     5.5.5 算例5:化工装备温度控制问题
•     5.5.6 算例6:最优捕鱼策略制定
•   5.6 本章小结
• 6 保辛伪谱模型预测控制算法及其在起重机轨迹跟踪中的应用
•   6.1 引言
•   6.2 模型预测控制算法思想
•   6.3 桥式起重机控制问题描述
•     6.3.1 系统动力学方程
•     6.3.2 约束条件
•     6.3.3 控制目标
•   6.4 模型预测控制器的设计
•   6.5 数值仿真
•     6.5.1 系统参数设定
•     6.5.2 离线轨迹规划
•     6.5.3 在线轨迹跟踪
•   6.6 本章小结
• 7 保辛伪谱滚动时域估计算法及其在航天器自主导航中的应用
•   7.1 引言
•   7.2 滚动时域估计算法思想
•   7.3 地-月L2平动点导航问题描述
•   7.4 滚动时域估计器的设计
•   7.5 数值算例
•     7.5.1 系统参数设定
•     7.5.2 求解参数设定
•     7.5.3 仿真结果与讨论
•   7.6 本章小结
• 8 结论与展望
•   8.1 结论
•   8.2 创新点
•   8.3 展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间科研项目及科研成果
• 致谢
• 作者简介

文章来源

类型: 博士论文

作者: 王昕炜

导师: 钟万勰,彭海军

关键词: 非线性最优控制,不等式约束,状态时滞,保辛,伪谱方法

来源: 大连理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 大连理工大学

分类号: O232

DOI: 10.26991/d.cnki.gdllu.2019.003610

总页数: 195

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