解读开放与探索性问题
张书华
摘要：探索性命题是高考数学中的热点、难点问题，具有较强的趣味性,灵活性和隐秘性,解法灵活多变，能很好地考查考生的各种思维能力，特别是运用知识、方法分析和解决问题的能力。
关键词：不确定；发散性思维；探索性
作者简介：张书华，任教于安徽省宿松县实验中学。
开放、探索性试题是具有培养创造性思维和批判性思维能力的一种题型。这种题型的最大特点是条件和结论的不确定性、不唯一性，使得解题的方法与答案呈多样性。解决开放性问题需要对问题进行多方位、多角度、多层次的思考、审视。探索性问题是指问题的条件（或结论）已经给出，而结论（或条件）需要我们自己运用观察、归纳、猜想、尝试、探究等多种方式进行探索、发现，然后给予必要证（说）明的一类数学问题。它的本身是一个探索、发现的过程，对于培养学生创造性思维能力、合情推理能力、直觉思维能力和全面提高学生的数学素质等都具有重要价值。通常这类问题有以下几种类型：条件开放与探索，结论开放与探索、方案设计、策略开放、规律探索、存在性探索等。下面就前两种类型笔者谈谈在教学中的具体做法。
一、条件开放与探索性问题
条件开放与探索性问题的基本特征是：命题的结论已知，需要探索的是结论成立所具备的条件。解决此类问题的一般方法是：运用“执果索因”的手段，从问题的结论出发进行逆向思维，寻求使结论成立的条件，再对这些条件进行分析、研究，合理取舍，最终得到恰当的答案。
例1、已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？求出此时△ABC的周长。
分析：（1）由BC为Rt△ABC的斜边知
再由一元二次方程根与系数的关系得：
解得：
这是学生容易急于求成，出现或2两个答案的错误。因为当时，原方程为，解得：，两根均为负值，不能作为三角形的边长；当k=2时，原方程，解得：，符合题意。
（2）若AB=AC，则△=0，而△=，即不可能有AB=AC.若AB=BC=5或AC=BC=5，则5一定为原方程的一个根，由根的意义知：，解得。
当k=3时，原方程为，解得：，即等腰三角形三边长为4，5，5，△ABC周长为14。
当k=4时，原方程为，解得，此时三角形三边长为5，5，6，△ABC周长为16。
例2、已知△ABC内接于⊙0，
（1）当点0与AB有怎样的位置关系时，∠ACB为直角？
（2）在满足（1）的条件上，过点C作直线交AB于0，当CD与AB有怎样的关系时，△ABC∽△CBD∽△ACD？
（3）画出符合（1）、（2）题意的两种图形，使图形的CD=2cm，
分析：（1）要使∠ACB=90°，弦AB必须是直径，即点0应为AB的中点，（2）当CD⊥AB时，结论成立；（3）由（2）知：CD2=AD·DB，即AD·DB=4，可作直径AB为5的⊙0，再在AB上取一点D，使AD=1，BD=4，过D作CD⊥AB交⊙0于C点，连结AC，BC即可。
解：（1）当点0为AB中点时，∠ACB为直角。
（2）∵∠ACB为直角，
∴当CD⊥AB时，△ABC∽△CBD∽△ACD。
（3）以AB为直径作⊙0，在⊙0上取一点C，连结AC、BC，得△ABC即为所求（如图1），作直径为5的⊙0，在直径AB上取一点D，使AD=1，BD=4，过D作CD⊥AB交⊙0于点C，连结AC、BC，即为所求（如图2）。
二、结论开放与探索性问题
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律、得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基础知识的应用能力。解决此类问题的一般思路是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等从而得到结论。
例3、如图形操作，两等圆⊙01和⊙02相交于A、B两点，且两圆互过圆心，过B任作一直线，分别交⊙01、⊙02于C、D两点，连结AC、AD。
（1）试猜想△ACD的形状，并给出证明。
（2）若已知条件中两圆不一定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？证明你的结论。
（3）若⊙01、⊙02为两个不相等的圆，半径分别为R和r，那么（2）中的猜想还成立吗？若成立，给予证明；若不成立，那么AC和AD的长与两圆半径有何关系？说明理由。
分析：这是一道猜想型试题，要求同学们先结合图形凭直观猜测，然后借助圆中的有关性质进行正确严密的推理论证。
（1）△ACD为等边三角形。证明略。
（2）△ACD为等腰三角形。
因为两圆为等圆，如图4，连结A01、A02、B01、B02，则A01=A02=B01=B02，所以∠A01B=∠A02B，所以∠ADB=∠ACB，故△ACD为等腰三角形。
（3）不成立，此时。
如图5，分别作⊙01、⊙02的直径AE和AF，分别交两圆于E、F点，连结CE、DF、AB，则∠ACE=∠ADF=90°。
又∵∠ABD为圆内接四边形ABCE的外角∴∠ABD=∠AEC
又∵∠ABD=∠AFD∴∠ABD=∠AFD
∴△ACE∽△ADF∴。
总而言之，开放与探索性问题，是数学命题中的一个新的热点。解答时需要对问题进行全方位、多层次的思考，还需要采用多种方式进行探索、发现，这对于培养学生的创新意识、发散思维能力和探索能力是非常有利的。
参考文献：
[1]何光峰.数学开放题及教学的研究综述[J].中学数学教与学.2001(17).
[2]徐广华.加强开放性问题的教学，培养创新思维能力[J].数学通讯社.2001（5）.
作者单位：安徽省宿松县实验中学
邮政编码：246500
OnOpenandExploratoryProblems
ZhangShuhua
Abstract:Exploratoryproblemsaredifficultpointsinmathematicscollegeentranceexamsandtheyareofhighinterest,flexibilityandconfidentiality.Thewaystosolvetheseproblemsareflexible,whichcancheckstudents’variousabilities,especiallytheabilitytoapplyknowledgetoanalyzeandsolveproblems.
Keywords:uncertainty;pergentthinking;exploratory