对称图的覆盖与商图

论文摘要

这篇论文主要讨论了在对称图论中的代数方法。在论文中介绍了一些基本的群作用理论,其中主要讨论了本原性。O’Nan-Scott定理作为一个分类有限本原置换群的基本定理,是在群作用理论中第一个主要介绍的定理。仿射类作为本文中用来构造特殊图的工具,论文中会详细地讨论有关的性质。典型群作为有限群论的一个重要的研究对象,本文将介绍其中的一些基本概念,例如射影空间,射影线性群等,这些概念也是构造图的基本工具。其中PSL（n,q）在n>2或者|q|>3时的单性,能够推导出GL（n,q）在同样的条件下并不是可解群。这个结果在证明许多图论和群论的定理时常常被实用到。图的传递性和本原性是非常重要的对称图的性质。这篇论文介绍了 Gert Sabidussi用群和陪集构造对称图的方法,这种方法被称为陪集图。陪集图和对称图之间的等价为数学家们通过研究群来研究图提供了非常好的桥梁。这种构造方法也在论文中被大量使用。图的覆盖和商图之间的关系是这个论文的中心问题。本文给出了一些判断一个图是覆盖图或者伪覆盖图的条件。在条件与val（Г）=val（∑）与G>H＞L下,图Г=Cos（（?））是他的商图∑=Cos（G,H,HgH）的覆盖当且仅当以下某一条件成立:1.L作用在[H:H ∩Hg]上传递;2.H=L（H∩ Hg）;3.L ∩ L9=L∩H9=H∩Lg.这个定理可以为研究者检验一个图是覆盖还是伪覆盖提供了指引。对于商图是一个完全图的特殊情况,论文也给出了一些伪覆盖的例子。即使是决定商图的群是可解的,我们依旧能给出一个同构典型群来构造的例子。幸运的是,根据Huppert的定理,我证明了如果这个群是可解的且作用在商图上也是忠实的,若其商图的大小是pn,其中p是奇素数,n>2且pn≠32,且如果商图的度不变,则这个图会是其商图的覆盖。当群的概念被Galois在19世纪提出来后,抽象代数成为了当时研究中最重要的数学工具。而图论则是一个更加古老的数学研究课题,Leonhard Euler在1736年关于Konigsberg的七桥问题的论文被认为是图论历史上第一篇论文。一些著名的的图有着很强的对称性,这些对称性藏在了图的自同构群中,于是有的数学家意识到了图和群的关系。因此一些运用代数方法来研究对称图称为了一个图论中非常庞大又重要的部分,这些理论被归到代数图论中。群论是图论中构造图的非常重要的工具,而相反的,因为一些代数图论的工具,群论也得到了发展。比如许多的群也是在研究图的时候发现的,这些也为有限单群的分类定理提供了帮助。许多著名的图也是由代数工具构造出来的,Cayley图是其中一种构造图的重要方式。Cayley图是一种通过群来构造图的一个方式,是由Cayley提出的。令G是一个群,我们构造一个图记做Cay（G,S）。其中这个图的顶点是群中的元素,S是群G的子集。图的边由以下条件决定:令x与y是G中两个元素,且yx-1∈S,则我们定义一条从x到y的边。有一个关于Cayley图的定理指出一个点传递图Г是Cayley图当且仅当这个图的自同构群有一个正则的子群。Cayley图一定是一个点传递图,因为G通过右乘作用在图上是传递的。更一般地,Gert Sabidussi所给出的陪集图的构造与Cayley图类似。G是一个群,H是G的一个子群,S是G的一个子集,那么陪集图就写作Cos（G,H,HSH）。其中顶点是右陪集[G:H],边由以下条件定义:令Hx和Hy是H在G中的两个右陪集,且yx-1∈HSH,则定义一条从Hx到Hy的边。G通过右乘作用在顶点集上依旧是传递的。有一个定理告诉我们每个弧传递图都是陪集图。如果这个图Г是G-弧传递的,则Г=Cos（G,H,HgH）,其中g2∈H。在1985年以前,我们只能找到由H.P.Yap做出的最多13个点的点传递图的表（除了 12个顶点,度为5的情况）,还有由B.D.McKay利用矩阵工具做出来的不超过19个顶点的点传递图的表。顶点个数为20,21,22或者23的点传递图由McKay与Royle构造出来。但是,构造这些图的方法并不如简单地用在24个顶点的图上。而全部的24个顶点的点传递图由G.F.Royle和Praeger完成,他们用到了度为12的传递置换群的分类定理还有计算机来完成证明。列出所有的点传递群是非常困难的,因为这样的群的数量太大了,难以储存而且很难去测试他们是否是同构的。因为在同构意义下,总共有7753个度为24的点传递图。McKay和Royle猜想Cayley图可能就是所有点传递图的主要部分。McKay和Praeger做出了一个猜想:对于n≥1,令 与cay（n）分别代表了顶点数不超过n的点传递图和Cayley图的数量。那么（?）弧传递图也被称为对称图,而且一些对称图的性质与群和他们的作用息息相关。所以许多研究群论的数学家也在做一些关于对称图的研究。商图继承了原图的对称性,于是数学家们关系商图能够从原图中继承多少性质。但是我们有一些商图不是2-弧传递但是原图是这样的例子。于是,我们开始考虑覆盖。覆盖是一个在研究商图时候的重要情况,因为覆盖的性质比如s-弧传递性会被商图所继承。所以研究覆盖与商图之间的关系是代数图论中的一个重要主题。假设G是一个非本原图,他的正规子群N的轨道构成了一个块系统。如果这个商图是由这个正规子群的轨道所决定的,我们称这个商图为正规商。我们容易证明一个局部本原正规商图能够推出覆盖结论。如果两个图的度是相同的,那么正规商依旧可以推出覆盖。更一般的,局部本原,正规商图和相同的度这三个条件中,如果满足任意两个条件,则原来的图就是他的商图的覆盖。所以我们有这样一个问题:如果两个图有着同样的度,那么什么样的条件能把原图变成商图的覆盖。这便是这篇论文的动机和主要讨论的问题。也有非常多的中国数学家关注商图的问题:周三明在2008年给出了有2-弧传递的商图的对称图的一类分类;他也在2015年与方腾,方新贵还有夏彬绉一起给出了如果只有一条在Г中的边在两个不同块中的情况下的分类。容易发现,覆盖图的度和商图的度是相同的。在过去许多年里,许多的数学家相信如果两个图的度是相同的,那么他们之间便是覆盖的关系。但是李才恒教授给出了一个等度的商图但是原图不是覆盖的例子:令p（?）1（mod 16）是一个素数,令G=PS（2,p）。H是G的一个西洛2子群G使得H=（?）≌D16。于是我们有<a4,b)≌Z22且NG（<a4,b>）≌S。而且存在了g∈（<a4,b>）使得g2=1且bg=a4。令L=<a4,ba>≌Z22,定义∑=Cos(G,HHgH,Γ=Cos（G,L,gL）。这是一个非常有意义的问题,因为在代数图论中覆盖是一个非常重要的研究对象,它与s-弧传递图有着很多的联系。关于对称图和s-弧传递图在20世纪有着许许多多研究,许多著名的数学家也给出了很多令人兴奋的结论。对于s-弧传递图,W.T.Tutte在1947年给出了很漂亮的结果,他证明了若s大于6,则不存在s-弧传递的度为3的图。从那开始,有限s-弧传递群的分类就受到了很多的关注。其中这个方向最重要的一个结论是由R.Weiss在1981年证明的:不存在s是6或者大于8的s-弧传递图。更进一步,当s是1,2,3,4,5,7时候都存在了 s-弧传递图。在2000年,李才恒教授证明了不存在s-弧传递图,如果s ≥ 4且图的度是奇数.本原性是一个传递群的非常重要的性质。O’Nan-Scott定理是由Michael O’Nan和Leonard Scott在1980年独立证明的,这是一个在有限本原置换群和他们的应用中非常重要的定理。O’Nan-Scott定理提供了有限本原置换群的各个类型的一个定性描述。对于每个类型,我们可以知道对应的抽象群结构和自然的群作用情况。用O’Nan-Scott定理我们可以解决有关本原图,局部本原图和多传递群的问题。Praeger研究了一类特殊的群,他们的非平凡正规子群都是传递的。这样的群我们称之为拟本原,因为他们与本原群的性质十分相近。有限拟本原置换群的分类定理是与O’Nan-Scott定理类似,被称为O’Nan-Scott-Praeger定理。这是在研究有2-弧传递正规商图的图的一个重要工具。为了研究可解的2-传递群,Bertram Huppert给出了传递的有限线性群的分类。因此,我可以去做有完全商图和可解自同构群的伪覆盖的情况的研究。由Huppert在可解2-传递群上的研究,许多数学家们开始了对2-传递群的分类的研究。这些研究可能可以作为有一个完全商图的伪覆盖的更进一步研究的理论基础。典型群是一个有限群研究中的重要部分。有限单群中的一个大类型就是在典型群中被发现的。当我们研究O’Nan-Scott定理中的仿射类时,我们需要去考虑线性群。因此,我们需要研究典型群的性质来研究可解的2传递群。事实上,特殊线性群的生成元的性质和射影特殊线性群的单性都是证明:若一个图有完全商图且有可解自同构群并且度不是9时,伪覆盖不存在,的一个重要部分。MAGMA系统提供给数学家一个计算代数对象的非常有用的工具。在这篇论文中,一些证明就通过MAGMA强大的计算能力给出,一些特别的需要在具体群上操作的例子也是由这个系统来完成的。因为伪覆盖是一个新的概念,所以一些伪覆盖的性质仍并没有被发掘出来。这篇文章提供了一些伪覆盖的例子和一些去构造伪覆盖的方法,伪覆盖的性质依旧隐藏在例子中。而伪覆盖和其他数学研究对象之间的关系也是一个值得进一步的研究的方向。

论文目录

• ABSTRACT （In Chinese）
• ABSTRACT （In English）
• Notations
• Chapter 1 Introduction
•   1.1 Background and Significance
•     1.1.1 Research Background
•     1.1.2 Latest Researches
•     1.1.3 Significance
•   1.2 Structure of the Thesis
• Chapter 2 Preliminaries
•   2.1 Group Actions
•   2.2 Primitivity and Multi-transitivity
•     2.2.1 Blocks and Primitivity
•     2.2.2 Multi-transitivity
•     2.2.3 Affine Type
•   2.3 Brief Summary
• Chapter 3 Classical Groups
•   3.1 Projective Spaces
•   3.2 Projective Linear Groups
•   3.3 Simplicity of PSL（n, q）
•   3.4 Brief Summary
• Chapter 4 Symmetric Graphs
•   4.1 Basic Graph Theory
•   4.2 Transitivity and Primitivity of Graphs
•   4.3 Coset Graphs
•   4.4 Brief Summary
• Chapter 5 Covers and Quotients
•   5.1 Imprimitive Quotient Graphs
•   5.2 Covers
•   5.3 Pseudo-covers
•     5.3.1 Examples of Pseudo-covers
•     5.3.2 Affine Case
•   5.4 Brief Summary
• CONCLUSIONS （In English）
• CONCLUSIONS （In Chinese）
• Magma Code for Proposition 5.7
• References
• Acknowledgements

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 朱砚舟

导师: 李才恒

关键词: 对称图,商图,覆盖,伪覆盖

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: O157.5

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.004949

总页数: 60

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