边界层模型的适定性理论

论文摘要

Prandtl系统描述了无滑动边界条件的不可压缩Navier-Stokes方程在边界附近取零粘性极限时速度场的一阶近似。这个系统是边界层理论的基础。在流体力学的数学理论中,Prandtl方程的适定性和合理性是具有挑战性的问题。解决Prandtl方程的问题主要有三个困难:由于方程没有水平方向耗散,对流项会丢失一阶x-导数;我们不能在无界物理区域使用Poincar′e不等式;分部积分时需要处理在y=0处的高阶边界值,标准的处理方法是借助算子?t-?y2。在本文,我们主要研究了三维Prandtl方程及其相关物理模型边界层的适定性理论。首先我们主要研究三维轴对称不可压缩流体的非平稳Prandtl边界层,在Oleinik的单调性假设下,需要利用轴对称的结构uθ=0和新的方法得到加权Sobolev空间的局部适定性。为了得到三维轴对称Prandtl边界层在Hs-空间的局部适定性,我们考虑新的Hs-范数可以避免竖直速度引起的导数缺失。在Hs能量的每一阶y-导数我们添加权（1+y）解决了第二个困难。对于第三个困难我们在Sobolev空间推导出高阶边界条件的重构论据。其次,当三维Prandtl系统关于切向变量解析的初值位于稳定剪切流的ε邻域时,我们证明了三维Prandtl系统有几乎整体存在的解析解。我们利用了切向解析范数的各向异性Littlewood-Paley估计和引入了新的良定义的线性未知量,证明了三维Prandtl系统在大于exp(ε-1/log(ε-1))的生命区间里有唯一解。进一步,我们考虑电磁场对流体边界层的影响,证明了具有关于x变量解析小初值的二维磁流体动力学边界层的几乎整体存在性和唯一性。如果初值位于稳定剪切流的ε邻域,我们可以把生命区间延长至少直到Tε≥exp(ε-1/ln(ε-1))。不同于经典流体,微极流体除了具有流体普通的速度,由于材料元素的固有刚性旋转,还有一个微旋转速度。最后,我们考虑磁场作用下的磁微极流体运动方程的边界层问题。对于二维不可压缩磁微极边界层,当初值关于x变量解析时,利用合适的变量替换和操作关于切向变量解析的能量估计,我们得到二维磁微极边界层系统的局部适定性。

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 1 引言
•   1.1 Prandtl方程的推导
•   1.2 Navier-Stokes方程解的收敛性
•   1.3 有限时间奇点形成
•   1.4 Prandtl边界层系统的适定性
• 2 准备工作
•   2.1 一些重要不等式和引理
•   2.2 Littlewood-Paley分解理论
•   2.3 Chemin-Lerner型空间
• 3 三维无旋轴对称Prandtl边界层系统的局部适定性
•   3.1 主要结果
•   3.2 先验估计
•     3.2.1 加权能量估计
• 2估计'>    3.2.2 gs和（?）s的加权L²估计
• s估计'>    3.2.3 w和Γ的加权H^s估计
• ∞估计'>    3.2.4 低阶项的加权L^∞估计
•   3.3 主要定理的证明
•     3.3.1 无旋轴对称Prandtl方程的存在性
•     3.3.2 轴对称Prandtl方程的唯一性
•   3.4 附录
•     3.4.1 3D轴对称Prandtl边界层的推导
•     3.4.2 加权范数的几乎等价性
•     3.4.3 积分不等式
• 4 三维Prandtl边界层的几乎整体存在性
•   4.1 结果的陈述
•     4.1.1 良定义的线性未知量
•     4.1.2 函数空间
•     4.1.3 主要结果
•   4.2 定理4.1存在性部分的证明
•     4.2.1 先验估计
•     4.2.2 命题4.1的证明
•   4.3 唯一性
•   4.4 附录
•     4.4.1 剪切流附近的扰动方程
•     4.4.2 关键估计
•     4.4.3 引理 4.5中（4.36）-（4.39）的细节
• 5 二维磁流体动力学边界层系统的几乎整体存在性
•   5.1 等价方程
•     5.1.1 良定义的线性未知量
•     5.1.2 函数空间
•   5.2 主要结果
•   5.3 定理5.1存在性部分的证明
•     5.3.1 先验估计
•     5.3.2 命题5.1的证明
•   5.4 唯一性
•   5.5 附录
•     5.5.1 剪切流附近的扰动方程
•     5.5.2 关键估计
•     5.5.3 （5.42）-（5.46）证明的细节
• 6 二维不可压缩磁微极边界层系统的局部适定性
•   6.1 磁微极边界层方程的重构
•   6.2 主要结果
•   6.3 定理6.1存在性部分的证明
•   6.4 关键的估计
•   6.5 附录
•     6.5.1 （6.51）-（6.55）的证明
•     6.5.2 （6.57）-（6.69）的界
•     6.5.3 （6.73）-（6.75）的界
•     6.5.4 二维磁微极边界层系统方程的推导
• 总结和展望
• 参考文献
• 已发表的学术论文
• 作者简历

文章来源

类型: 博士论文

作者: 林雪云

导师: 张挺

关键词: 三维方程,轴对称,非线性消去,变量替换,几乎整体存在,边界层,理论,加权能量估计,磁微极边界层,局部适定性,实解析性

来源: 浙江大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 浙江大学

分类号: O175

DOI: 10.27461/d.cnki.gzjdx.2019.002051

总页数: 157

文件大小: 2743K

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