Westervelt方程最优边界控制问题的有限元方法

论文摘要

Westervelt方程是非线性声波学的基本数学模型,在许多医学和工业应用中起着重要作用,例如:震波碎石、肿瘤热疗、超声清洗或焊接和超声化学等。在这些实际应用中,声波压强一般是由一些压电传感器激发的,计算区域的部分边界处声波压强的法向导数一般是由压电传感器的法向加速度来规定,这就允许用Neumann边界条件上的变量的调控来模拟压电传感器对声波压强的作用,从而形成了Westervelt方程最优边界控制问题。论文研究此问题的有限元方法,分为三章内容。第一章,介绍了Westervelt方程最优边界控制问题及研究背景,一些相关研究成果以及主要困难,并概述了论文的主要研究内容和结论。第二章,讨论了线性化的Westervelt方程最优边界控制问题的有限元方法。首先,给出了线性化后的Westervelt方程最优边界控制问题的描述,并利用最优控制理论推导出了伴随状态方程及最优性条件。然后,给出离散形式的目标泛函,运用有限元方法建立了问题的关于时间二阶的有限元格式。再分别用分片线性函数和分片常数去逼近状态变量、伴随状态变量和控制变量,进行了细致的先验误差估计,得到了状态变量、伴随状态变量的L∞（0,T;H1（Ω））模以及控制变量的L∞（0,T;L2（r））模的最优误差估计,即O（hU+h+（Δt）2）。最后,给出了一个数值算例并进行了数值实验,数值结果验证了先验误差估计理论结果的正确性和有效性。第三章,讨论了Westervelt方程最优边界控制问题。首先,解释了它实际上是一个状态变量受限的非线性控制问题。然后,引述了加罚方法的主要内容,指明了加入加罚参数后的目标泛函和最优性系统极其复杂,进行有限元方法的理论分析是很困难的。最后,在第二章的基础上,借鉴线性化问题的有限元格式,对此问题提出了一个迭代数值算法,给出了一个数值算例并进行了数值实验,取得了较好的数值结果,初步实现了对Westervelt方程最优边界控制问题的有效计算。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 符号说明
• 第一章 绪论
•   1.1 模型问题
•   1.2 主要工作概述
• 第二章 线性化的Westervelt方程最优边界控制问题
•   2.1 有限元格式
•   2.2 先验误差估计
•   2.3 数值算例
• 第三章 Westervelt方程最优边界控制问题
•   3.1 状态受限模型
•   3.2 加罚方法
•   3.3 数值算法及算例
• 参考文献
• 致谢
• 学位论文评阅及答辩情况表

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 闫勇伦

导师: 孙同军

关键词: 方程,最优边界控制问题,有限元方法,先验误差估计,数值实验

来源: 山东大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学,数学

单位: 山东大学

分类号: O241.82;O232

总页数: 51

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