拓扑流体力学与量子涡旋的重联相互作用

拓扑流体力学与量子涡旋的重联相互作用

论文摘要

拓扑流体力学是理性力学的重要分支,有重要的理论价值,其独特作用在数学物理、计算生物学、天体物理等多个领域日益凸显。本论文第一部分(第1、2章)简要回顾该领域的发展史,突出了学科方向的最新进展。作为预备知识,介绍了研究中将要用到的拓扑学知识,重点放在流体螺旋度的拓扑内涵,指出它可以用于构造自缠绕数、高斯互缠绕数等拓扑不变量。特别是,基于螺旋度可以构造纽结多项式,如Jones、HOMFLYPT等多项式。第二部分(第3、4章)是本论文的重点,主要是对理论模型的数值模拟。论文研究了量子涡旋演化的基础模型即Gross-Pitaevskii(GP)方程,并求得一定初始条件之下的数值解。具体内容包括初条件的选择和构建,超流体系统中对涡旋重链接过程的重现和检验,等等。主要方法是基于GP方程的二维解,构造出特定拓扑结构的玻色-爱因斯坦凝聚体的量子涡旋链环。对于具有不同缠绕数的对称基本链环涡旋,以非等距快速傅里叶变换(NFFT)为工具进行数值求解,推演其时空演化。第三部分(第5章)给出本论文的结论与展望,其中展望部分包括我们正在进行的一项关于三叶结的数值模拟工作。涡旋重联是湍流这一重大课题的子问题。它是一种拓扑非守恒变化,过程中往往伴随着能量的改变。从拓扑学的角度研究重联在湍流问题中扮演什么角色,就需要首先确认过程中哪些拓扑不变量不会发生变化、哪些会变化。本论文的第一个创新点在于:通过监控演化过程中的几个典型物理量和拓扑量,最终验证了缠绕数在流体Hopf链环的量子涡旋结构中的确实能够保持拓扑不变性与对称性。这样一来,下一步研究中需要凸显重联中出现的阶梯化跃变时,就需选取缠绕数以外的拓扑不变量(比如基于螺旋度构造出来的纽结多项式等不变量)。论文的第二个创新点在于:研究过程中还发现平庸螺旋度(螺旋度在无旋部分的取值)可作为检测指标来判断边界条件等环境变量是否合理,故平庸螺旋度是良好的数值稳定性检验指标。模型所获结果的鲁棒性(robustness)也可使用包括这一手段在内的方法给出检验。

论文目录

  • 摘要
  • Abstract
  • 专有名词名称及符号对照表
  • 第1章 绪论
  •   1.1 拓扑流体力学简史
  •   1.2 重联问题的由来暨近年来国际上的进展
  •   1.3 正文结构和说明
  •     1.3.1 正文结构
  •     1.3.2 补充说明
  • 第2章 纽结理论与拓扑不变量
  •   2.1 纽结理论基本概念与数值方法
  •   2.2 Helicity与整体拓扑性质
  •     2.2.1 Helicity与(自)缠绕数
  •     2.2.2 Helicity与陈-Simons形式的对应
  • 第3章 Gross-Pitaevskii方程与量子涡旋
  •   3.1 数学工具介绍
  •     3.1.1 弗莱内标架
  •     3.1.2 帕德近似
  •   3.2 Gross-Pitaevskii方程与数值求解
  •   3.3 Gross-Pitaevskii方程的涡旋二维解
  •   3.4 本章小结
  • 第4章 量子涡旋的数值模拟
  •   4.1 Hopf链环形态的涡旋初始化
  •   4.2 数值求解与数据处理
  •   4.3 数值结果
  •   4.4 本章小结
  • 第5章 结论与后续工作展望
  •   5.1 结论
  •   5.2 后续工作展望
  •     5.2.1 拓扑示性工具换为更强的纽结多项式不变量
  •     5.2.2 复杂纽结涡旋的求解
  • 附录 本文部分源代码(Matlab)
  •   附录一 基本涡旋环生成
  •   附录二 涡旋链环各分支的整合
  •   附录三 系统总Helicity计算
  •   附录四 [4/4]阶帕德近似计算
  •   附录五 系统总能量和总质量计算
  •   附录六 Gross-Pitaevskii方程推演函数(一个时间步)
  •   附录七 Gross-Pitaevskii方程推演函数(全过程)
  •   附录八 主程序和全局变量设置
  •   附录九 涡旋拓扑形态参数设置
  • 参考文献
  • 攻读硕士学位期间发表的学术论文
  • 致谢
  • 文章来源

    类型: 硕士论文

    作者: 关昊

    导师: 刘鑫

    关键词: 超流体量子涡旋的重联,流体螺旋度,数值模拟

    来源: 北京工业大学

    年度: 2019

    分类: 基础科学

    专业: 物理学

    单位: 北京工业大学

    分类号: O469

    DOI: 10.26935/d.cnki.gbjgu.2019.000060

    总页数: 79

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