有限光滑拟周期Schr(?)dinger算子的李雅普诺夫指数和谱的拓扑结构

论文摘要

本文主要考虑作用在l2（Z）上的一维离散拟周期Schr（?）dinger算子,即H:l2（Z）→l2（Z）其中,v是圆周R/Z上的C2光滑的cos-type位势函数,α是无理频率,λ是耦合常数.如果频率α满足Diophantine条件,我们用新的方法并且在不使用大偏差定理的前提下重新证明了当λ充分大时,这个算子对应的李雅普诺夫指数关于能量是连续的.另一方面,如果频率α满足弱Liouville条件,我们证明了当λ充分大时,该算子的谱集是Cantor集.我们将在第一章介绍研究课题的研究背景、Schr（?）dinger算子李雅普诺夫指数及Cantor谱的研究意义.然后,我们给出本文结论证明所需要的一些基础知识,例如C2 cos-type位势函数、李雅普诺夫指数、一致双曲系统和Cantor谱的定义等,对于常识性的基础知识我们只做简单的陈述而不给出详细证明.第二章我们给出在Diophantine频率条件下李雅普诺夫指数连续性的一个新的证明.这一章,我们首先给出Schr（?）dinger算子李雅普诺夫指数连续性的研究进展以及这一章的主要结论,然后我们给出一个关键的技术性定义和对它的一个重要估计,从而得到李雅普诺夫指数的一个渐进逼近方法,最后我们给出了李雅普诺夫指数连续性的一个新证明.第三章我们证明了在弱Liouville频率条件下,当耦合常数λ充分大时所对应的Schr（?）dinger算子有Cantor谱.这一章,我们首先给出Cantor谱的研究进展以及这一章的主要结论.接着我们给出一些重要引理,并且对这一章主要结论的证明方法做简单介绍.接着我们对文献Liang-Kung[33]做一些必要的回顾,重点对其证明方法做了详细分析.最后我们在证明一致双曲系统稠密性的基础上,得到主要结论.

论文目录

• 致谢
• 摘要
• Abstract
• 第一章 引言
•   1.1 研究背景
•   1.2 基础知识
• 第二章 Schr（?）dinger cocycle李雅普诺夫指数连续性的新证明
•   2.1 李雅普诺夫指数连续性的研究进展及本章主要结论
•   2.2 一些技术性引理
•   2.3 一个关键的定义和估计
•   2.4 定理2.1的证明
• 第三章 Schr（?）dinger cocycle的Cantor谱
•   3.1 Cantor谱的研究进展及本章主要结论
•   3.2 一些重要引理及证明方法简介
•   3.3 Liang-Kung[33]的证明方法简述和分析
•   3.4 定理3.2的证明
• 第四章 研究成果与发表论文
• 参考文献

文章来源

类型: 博士论文

作者: 付林林

导师: 王奕倩

关键词: 拟周期算子,李雅普诺夫指数,位势,一致双曲系统

来源: 南京大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 南京大学

分类号: O177

总页数: 77

文件大小: 2900K

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