几类偏微分方程解的Schauder估计

论文摘要

Schauder估计是偏微分方程的重要结果之一,它为研究非线性偏微分方程解的存在性和正则性提供了主要基础.对于椭圆型和抛物型方程的Schauder估计的证明方法有很多,往往需要很复杂的分析.汪徐家2006年发表的论文,给出了Schauder估计非常简洁优美的证明.在本文中,我们认真学习了汪徐家的论文,详细讨论了几类偏微分方程的Schauder估计.我们根据汪徐家论文中的思想方法进行讨论,写出了所有分析和证明的细节.我们在分析中充分利用了拉普拉斯方程,热方程解的性质,和椭圆型,抛物型方程的极大模原理,研究3类二阶偏微分方程:变系数椭圆型方程,常系数抛物型方程,变系数抛物型方程.当方程右端非齐次项和系数是Dini连续时,得到了解的二阶导数的连续模估计.当方程右端非齐次项和系数的光滑性提升到H?lder连续时,由得到的解的二阶导数的连续模估计可以进一步推导出与经典Schauder内估计相一致的结果.在第四章中,对于一些重要的偏微分方程,我们利用Schauder估计,证明了解的正则性.我们特别研究了3类可分解的方程:第一类是分解后的方程是一个常微分方程和一个椭圆型方程;第二类是分解后的方程是一个抛物型方程和一个椭圆型方程,第三类是分解后的方程是一个积分方程和一个抛物型方程.对于第二类可分解的方程,我们具体考虑了分解后的抛物型方程和椭圆型方程是Dirichlet边界条件或斜导数边界条件的情形,做适当变换后,对这两个方程逐次运用Schauder估计,最后得到了解的正则性和相应的估计。

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 Schauder估计的历史背景
•   1.2 本文主要结果
•   1.3 记号
• 第二章 变系数线性椭圆型方程的Schauder估计
•   2.1 本章主要结果
•   2.2 所用引理及其证明
•   2.3 定理2.1 的证明
• 第三章 常系数及变系数线性抛物型方程的Schauder估计
•   3.1 本章主要结果
•   3.2 定理3.2 所用引理及其证明.
•   3.3 定理3.2 的证明
•   3.4 定理3.1 的证明
• 第四章 一些方程的Schauder估计
•   4.1 几类可分解的方程
•   4.2 一个抛物型偏微分方程组
•   4.3 超导中的Ginzburg-Landau方程
• 附录
• 参考文献
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 王伟宇

导师: 潘兴斌

关键词: 连续模估计,估计,椭圆型方程,抛物型方程,极大模原理

来源: 华东师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 华东师范大学

分类号: O175.29

总页数: 90

文件大小: 1377K

下载量: 62