一类四阶抛物型偏微分方程的若干问题

论文摘要

四阶抛物型偏微分方程在图像分析、材料科学、工程学、生物数学中有着诸多的应用.多年来,许多作者对四阶抛物型偏微分方程进行了深入地研究.本文主要研究四阶低曲率方程、带有对数非线性项的薄膜方程以及一类退化的四阶抛物型偏微分方程.首先,我们讨论如下四阶抛物型方程初边值问题:其中Ω（?）R2是一有界开区域,其边界（?）Ω光滑,T为一正数,且p>2.我们将所研究的发展型方程利用差分的形式化为椭圆方程,先证明该椭圆问题解的存在唯一性,然后证明差分后所得椭圆方程解序列的极限即为原问题的解.其次,我们讨论一类四阶非线性抛物型方程的初边值问题其中Ω（?）RN（n≥）是一有界区域,边界（?）Ω光滑,v是（?）Ω的单位外法方向.初值u0∈H02（Ω）.我们将经典的Galerkin方法与改进的势阱方法相结合,对初始能量分三种情况进行深入研究,进而讨论该问题解的存在唯一性,爆破性以及衰减率等问题.最后,我们讨论一类基于Bose-Einstein粒子的四阶退化抛物方程的初边值问题该方程是Boltzmann-Nordheim方程的一个特例,它保留了动力系统模型的许多特征.由于方程是退化的,因此我们首先研究非退化问题经典解的存在性,再借助逼近解的一致估计证明原问题局部解的存在性.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 第一章 绪论
• 第二章 一类四阶低曲率方程弱解的存在唯一性
•   §2.1 引言
•   §2.2 弱解的定义与主要结论
•   §2.3 解的存在唯一性
• 第三章 一类四阶非线性抛物型方程解的性质
•   §3.1 引言
•   §3.2 符号与引理
• 0）  §3.3 初始能量J（u₀）
• 0）=d的情况'>  §3.4 初始能量J（u₀）=d的情况
• 0）>d的情况'>  §3.5 初始能量J（u₀）>d的情况
•   §3.6 一个新的爆破条件及爆破时间的上界
• 第四章 一类退化的四阶抛物型偏微分方程局部解的存在性
•   §4.1 引言
•   §4.2 引理
•   §4.3 逼近问题解的局部存在性
•   §4.4 主要结论的证明
• 参考文献
• 作者简介及科研成果
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 靳曼莉

导师: 刘长春

关键词: 弱解,存在唯一性,爆破,退化

来源: 吉林大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 吉林大学

分类号: O175.26

总页数: 102

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