一类非线性Schr?dinger方程分裂步紧致差分算法的研究

论文摘要

本文采用分裂步紧致有限差分方法对带五次项的非线性Schrodinger方程及耦合Gross-Pitaevskii方程进行了研究。首先,利用分裂步紧致有限差分方法求解带五次项的非线性Schrodinger方程。主要是将问题分裂为非线性和线性两部分,并将分裂后的方程依次求解。通常情况下,非线性部分可以通过数值积分直接求解,但当非线性部分不能精确积分求解时,在保证误差不降阶的情况下,可利用中矩形公式或梯形公式近似求解。对于线性部分,分裂步方法又可将高维问题分裂为一维问题,进而可直接构造紧致差分格式,降低了高维问题的复杂度和计算量,从根本上使高维问题的求解得到了简化。此格式具有时间二阶和空间四阶的精度。其次,将分裂步紧致有限差分方法推广到求解更为复杂的耦合Gross-Pitaevskii方程。与带五次项的非线性Schrodinger方程分裂步紧致差分格式的构造相比,多了两个细节的处理,一方面是由于耦合Gross-Pitaevskii方程中角动量的存在,对紧致差分格式的构造增加了难度,为了解决这一问题,将引进一个正交旋转变换直接消去角动量项。事实上,经过变换后的方程形式上与耦合的非线性Schrodinger方程完全一致,因此本文所构造的格式也完全适用于耦合的非线性Schrodinger方程。另一方面,耦合Gross-Pitaevskii方程分裂后的线性部分仍为耦合方程,因此将引进一个线性变换进行解耦,便可以直接对单个线性方程构造紧致差分格式。文中将给出若干关于带五次项的非线性Schrodinger方程、耦合Gross-Pitaevskii方程及耦合Schrodinger方程的数值实验,这些数值实验很好的验证了格式的守恒性和可靠性。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 绪论
•   1.1 引言
•   1.2 本文的内容安排
•   1.3 预备知识
•     1.3.1 分裂步方法的介绍
•     1.3.2 紧致差分格式的介绍
• 第二章 带五次项的非线性Schr?dinger方程分裂步紧致差分格式
•   2.1 分裂步方法
•   2.2 非线性部分的数值方法
•   2.3 线性部分紧致差分格式的构造
•   2.4 数值实验
• 第三章 耦合Gross-Pitaevskii方程分裂步紧致差分格式
•   3.1 分裂步方法
•   3.2 非线性部分的数值方法
•   3.3 线性部分紧致差分格式的构造
•   3.4 数值实验及应用
• 第四章 总结与展望
•   4.1 总结
•   4.2 展望
• 参考文献
• 致谢
• 在学期间的研究成果及发表的学术论文

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 魏新新

导师: 张鲁明

关键词: 分裂步紧致有限差分方法,带五次项的非线性方程,耦合方程,耦合非线性方程,中矩形公式,梯形公式

来源: 南京航空航天大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 南京航空航天大学

分类号: O241.3

DOI: 10.27239/d.cnki.gnhhu.2019.001974

总页数: 42

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