若干函数型模型的参数估计

论文摘要

以函数形式呈现的数据称为函数型数据,比如曲线,曲面或在连续区间上的其他形式,不同于标量形式,这时每一个样本被看成是一个函数.对函数型回归模型的分析,现有文献常假设误差独立同分布,但实际中也常有一些数据集含有诸如:观测之间具有相依性,或由于客观或人为原因收集到的函数型样本在观测区间的某些子区间上缺失,样本含有异常值等结构特征.本论文主要目的是,系统研究能够捕捉到数据集所具有结构特征的若干函数型回归模型的估计问题.研究模型包括:函数型线性模型,部分函数型线性模型,响应为函数的变系数模型.四种结构特征:误差是α混合序列,误差服从ARCH（p）模型,数据集含有异常值以及函数型观测值在某些子区间上缺失.α混合作为适用最广的混合条件常被采用.对于部分函数型线性模型,在误差序列是α混合序列时,采用函数型主成分分析的方法给出参数和斜率函数的估计.借助Bernstein大小块技术给出参数部分估计量的渐近分布.用实际数据分析说明了与独立误差结构相比,相依误差结构对参数部分估计量渐近协方差的影响.同时证明了斜率函数估计量达到最优收敛速度.数值分析表明估计量的有限样本性质符合预期.鉴于自回归条件异方差模型能够反映数据集的波动性特征,对于部分函数型线性模型,继续讨论了误差序列为ARCH（p）结构时,模型的估计问题.主要采用了两步估计方法给出模型估计量.体现在先给出主模型参数部分和斜率函数的估计量,并进一步得到估计量的渐近性质.然后用一种稳健的估计方法即最小绝对偏差方法,给出ARCH（p）模型系数的估计,并进一步得到ARCH（p）模型参数估计量的渐近分布.考虑到数据结构有时不仅仅不是独立同分布的,时常也会观测到函数型观测值有缺失数据.在误差结构是AR（p）模型且函数型观测是不完全样本时,对于函数型线性模型,首先利用观测到的信息,在均方预测误差意义下给出缺失部分得分的估计.然后在最小二乘损失函数下利用经典的函数型主成分分析的方法给出模型系数的估计.并证明了估计量的收敛速度达到了最小最大意义下的收敛速度.对于函数型响应的变系数模型,目标是给出一种对异常值和厚尾分布具有稳健性的估计方法.首先给出了属于再生核希尔伯特空间的协变量效应的M-估计量.接着给出了估计误差的上界和下界,并进一步证明了所给M-估计量在最小最大意义下是最优的.采用ADMM算法来克服现有一些算法对目标函数计算时的不可实现性和复杂性,并证明了算法的相合性.最后通过模拟研究和对弥散张量影像数据的分析说明了所给估计量的有限样本性质和方法的稳健性,且证实了算法的可实现性.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 符号表
• 第1章 绪论
•   1.1 函数型数据
•   1.2 研究进展
•   1.3 预备知识
•     1.3.1 基本概念
•     1.3.2 函数型主成分分析
•     1.3.3 再生核希尔伯特空间
•   1.4 本文内容及结构
• 第2章 α混合误差结构下部分函数型线性模型的估计
•   2.1 引言
•     2.1.1 部分函数型线性模型
•     2.1.2 问题陈述
•     2.1.3 混合相依
•   2.2 估计方法
•   2.3 渐近性质
•   2.4 数值分析
•     2.4.1 模拟研究
•     2.4.2 实际数据分析
•   2.5 定理的证明
•     2.5.1 定理2.1的证明
•     2.5.2 定理2.2的证明
•   2.6 本章小结与讨论
• 第3章 ARCH误差结构下部分函数型线性模型的估计
•   3.1 引言
•     3.1.1 问题陈述
•     3.1.2 ARCH（p）模型
•   3.2 估计方法
•     3.2.1 参数和函数系数的估计
•     3.2.2 ARCH（p）模型参数的估计
•   3.3 理论性质
•   3.4 模拟研究
•   3.5 定理的证明
•     3.5.1 定理3.1的证明
•     3.5.2 定理3.2的证明
•     3.5.3 定理3.3的证明
•   3.6 本章小结与讨论
• 第4章 AR误差结构且协变量含有缺失时函数型线性模型的估计
•   4.1 引言
•     4.1.1 函数型线性模型
•     4.1.2 相关工作及问题陈述
•   4.2 估计方法和理论性质
•   4.3 数值分析
•     4.3.1 模拟研究
•     4.3.2 实际数据分析
•   4.4 理论证明
•   4.5 本章小结与讨论
• 第5章 再生核希尔伯特空间中函数型响应的变系数模型的M-估计
•   5.1 引言
•     5.1.1 函数型响应的变系数模型
•     5.1.2 相关工作及问题陈述
•   5.2 M-估计
•   5.3 计算方法及算法收敛性
•   5.4 最优收敛速度
•   5.5 数值分析
•     5.5.1 模拟研究
•     5.5.2 实际数据分析
•   5.6 定理的证明
•     5.6.1 定理5.2的证明
•     5.6.2 定理5.3的证明
•     5.6.3 定理5.4的证明
•   5.7 本章小结与讨论
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间所发表的学术论文
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 王亚飞

导师: 张忠占

关键词: 函数型线性模型,部分函数型线性模型,函数型响应的变系数模型,混合,误差,部分观测到的函数型数据,函数型主成分分析

来源: 北京工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 北京工业大学

分类号: O212.1

DOI: 10.26935/d.cnki.gbjgu.2019.000881

总页数: 121

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