一、y=αx~2+bx+c在物理中的应用（论文文献综述）
李雯[1]（2021）在《几类可积Hamilton系统的Eisenhart提升》文中指出
周勇[2]（2021）在《倏逝场在原子介质中非线性传播特性研究》文中认为光与物质相互作用的研究一直是备受人们关注的领域。近年来,随着人们对微纳光子器件应用的迫切需求和微纳加工技术的日益成熟,微纳波导体系中光与相干介质相互作用的研究逐渐发展成为微纳光学中最活跃的分支之一。微纳波导中的电磁场模式分布通常为倏逝波,即电场强度在垂直波导表面方向随远离界面的距离呈指数形式衰减,如金属微纳波导中的表面等离激元（Surface Plasmon Polaritons,简称为SPPs）、纳米光纤表面倏逝波等,其具有局域场增强等优异特性,可以显着增强光场与介质的相互作用,从而实现两者的强耦合相互作用并促进非线性光学现象的产生,这就为研究非线性和量子干涉效应提供了新的平台与课题,同时也带来了获得有关科学发现与应用的新契机。本文的主要目的是通过对金属-电介质-金属波导和纳米光纤中倏逝波与相干介质的量子干涉及非线性效应的研究,深入发展处理微纳波导体系中倏逝波与原子介质共振相互作用的基本理论和计算方法,并探索其在微纳集成全光信息处理中的潜在应用。本文的主要研究内容和结果包括以下几个方面:1、金属-电介质-金属波导中SPPs俘获及轨迹相干操控的研究。研究了MDM（Metal-Dielectric-Metal,简称为MDM）波导中反对称横磁模式与倒Y型四能级热原子气体的共振相互作用,基于双电磁感应透明（Double Electromagnetically Induced Transparency,简称为DEIT）机制和交叉相位调制（cross-phase modulation,简称为CPM）,我们提出了一种实现低损耗SPPs俘获及操控的非线性磁光调控方案。首先,利用非相干泵浦机制极大地抑制了波导中SPPs的欧姆损耗,实现了慢光SPPs的线性长距离稳定传播。其次,利用波导中SPPs与倒Y型能级激发构型热原子气体的DEIT所提供的巨克尔效应和SPPs的衍射效应相平衡,实现了SPPs孤子的产生,并利用SPPs孤子和CPM实现了对弱光水平SPPs的俘获,进一步通过对被俘获SPPs的调控,实现了散焦SPPs的再聚焦。最后,利用外加梯度磁场,实现了SPPs的类斯特恩-盖拉赫效应,即SPPs在梯度磁场中可以发生偏转,通过调整外加梯度磁场的空间分布和时间,我们实现了对SPPs轨迹的操控。该研究所得到的结果在未来全光芯片上光集成、光信息处理等领域均具有潜在应用价值。2、纳米光纤表面慢光孤子存储及读取的研究。研究了纳米光纤表面基模与三能级Ladder型里德堡原子气体的共振相互作用,并在理论上实现了非线性区间纳米光纤系统中基于电磁感应透明机制（electromagnetically induced transparency,简称为EIT）的光存储效应。由于光被紧束缚在纳米光纤表面,光与原子的相互作用变强,EIT效应也得到增强。由于模式的非均匀分布,EIT的色散也具有空间分布不均匀的特征。我们发展了一套系统地处理体系中非均匀效应的平均场理论,发现了纳米光纤表面孤子的存在,并基于EIT机制实现了纳米光纤表面孤子的高效率、高保真度的存储与读取。同时,提供了优化纳米光纤表面孤子存储的理论方案。该工作在光互联、全光信息处理等领域具有重要应用价值。3、掺杂稀土离子晶体材料中量子干涉效应的研究。我们选取了两种典型的能级激发构型,包括Λ型和V型,考虑了能级的非均匀展宽,系统地研究了光与多能级掺杂稀土离子晶体材料共振相互作用过程中量子干涉效应的特性。研究发现,在弱控制光条件下,Λ型系统中存在相消量子干涉,导致了探测光的吸收谱在共振频率附近出现EIT效应,随着控制光的强度逐渐增强,吸收谱中量子干涉效应的贡献逐渐减少。对于双峰结构的吸收谱随着控制光强逐渐增强,发生了EIT-Autler-Townes分裂渡越效应。而在V型系统中,探测光吸收谱中透明窗口的出现主要是由于饱和吸收效应,其量子干涉为相长干涉。该工作发展了一套处理非均匀展宽介质中光谱分解的方法,所得到的结果在固态全光信息处理等领域具有应用价值。本论文共由六章组成:第一章为综述,主要介绍了在微纳波导结构中倏逝波与相干介质的相互作用,并介绍了表面等离激元的非线性效应和磁光调控,以及光孤子及非线性光脉冲的存储及读取的研究进展。第二章主要介绍了文章所研究的微纳波导的电磁场模式分析的理论方法,并介绍了研究光与物质相互作用的一般理论方法。第三章到第五章是基于理论方法开展的研究工作。第三章对金属-电介质-金属波导结构弱光场信号的俘获及轨迹操控进行了研究。第四章研究了纳米光纤中基于电磁感应透明机制的光存储及读取。第五章研究了掺杂稀土元素晶体材料量子干涉效应。第六章是对所做工作的总结,并展望未来的研究工作。
王雪婷[3]（2021）在《合金化与杂质掺杂对半导体材料光电性能调控的理论研究》文中指出半导体功能材料是光电子信息和能源等多领域的基础材料。本征半导体材料通常具有一些固有缺陷,例如较差的稳定性、较低的能量转换效率和部分组成元素有毒等。因此,结合半导体材料的本征性质,探索有效的方法对材料的光电性能进行调控优化是功能材料研究领域的重要课题。本论文运用合金化和杂质掺杂两种调控手段,通过基于密度泛函理论的材料模拟和实验结合的方法,对三种具有代表性的半导体材料体系,进行了系统的光电性能调控优化研究,取得了如下创新性成果:（1）通过范德华SnSe2（1-x）S2x合金实现SnX2（X=S,Se）层状晶体的物性调控。随着电子器件微型化的发展,二维半导体材料受到了极大关注。二硫化锡（SnS2）和二硒化锡（SnSe2）属于同构型范德华层状晶体,具有低成本和无污染等优良特性,在电子、光电子和热电子等领域具有潜在的应用价值。少层SnS2和SnSe2可以通过简单地机械剥离法获得。然而,SnS2和SnSe2的面内晶格常数和层间结合能等物理性质与层厚度相关性很小。我们通过第一性原理计算和实验相结合的方法,研究了范德华SnSe2（1-x）S2x合金的一些重要物理性质。SnSe2（1-x）S2x合金具有良好的室温混溶性,倾向于形成无序固溶体。SnSe2（1-x）S2x合金的带隙值随着S浓度增大而增大,且具有较大的带隙弯曲系数,归因于Se和S原子的半径和轨道能存在较大差异。随着S浓度增大,SnSe2（1-x）S2x合金的电-声耦合作用增大,源于Sn-S共价键合强于Sn-Se。SnX2（X=S,Se）的电子有效质量沿平面内方向较轻,而空穴有效质量沿平面外方向较轻,这会使得SnSe2（1-x）S2x合金中空穴具有准一维特性和电子具有准二维特性。（2）采用Ba元素掺杂全无机CsPbX3（X=Cl,Br,I）钙钛矿体系,调控体系毒性、热力学稳定性和光电特性。有机-无机杂化卤化物钙钛矿（ABX3;A=MA,FA;B=Pb;X=Cl,Br,I）因其优异的光电性质广泛应用于光电器件领域。然而,此类钙钛矿材料稳定性差且含有毒性元素Pb,限制了其商业化的大规模应用。全无机卤化物钙钛矿（CsPbX3,X=Cl,Br,I）呈现出优异的光电性质且稳定性增强,但毒性问题依然未得到有效解决。通过基于第一性原理计算的无序合金结构搜索方法,系统研究了Ba掺杂CsPbX3（X=Cl,Br,I）钙钛矿体系的稳定性和光电特性。低Ba掺杂浓度时,Ba不易于掺进钙钛矿晶格中;高Ba掺杂浓度时,形成室温下稳定的无序固溶体。随着Ba浓度升高,CsPb1-xBaxX3体系的带隙值单调递增且拥有较宽的调控区间（1.74～5.12 eV）,同时载流子有效质量增大,归因于Ba与Pb相比具有较大的离子半径和较小的电负性。CsPb1-xBaxX3体系中,大量空穴和电子局域在Pb周围,形成了类似于量子阱的局部势阱,有利于增大量子产率。高Ba掺杂浓度的CsPb1-xBaxX3钙钛矿体系稳定性大幅度提升且毒性降低,因其拥有的带隙值比较大（>2.8 eV）,将在短波段（如紫外或近紫外光）发光二极管或辐射探测器等领域具有潜在的应用价值。（3）引入过渡金属氧化物和有机分子,分别实现了p型和n型表面电荷转移掺杂金刚石,并研究了影响掺杂效果的潜在因素。金刚石是一种典型的超宽禁带（～5.47 eV）半导体材料,具有高硬度、高热导率、高击穿电场和低介电常数等优异特性,是业界公认的“终极半导体材料”。但是,已知的体掺杂剂具有较高的激活能或较低的载流子浓度,限制了金刚石基电子器件的发展。基于第一性原理计算,通过表面电荷转移掺杂方法,实现了金刚石的高效掺杂。过渡金属氧化物诱发氢终端金刚石（diamond（100）:H）产生p型表面电导率。随着MoO3分子密度增加,空穴面密度先迅速增加,然后达到饱和值(6.26×1013 cm-2)。MoO3单层诱发的最大空穴面密度为5.23×1013 cm-2,略低于MoO3分子所诱发的空穴面密度的饱和值,源于MoO3单层中的每个MoO3分子单元相互连接在一起,它们之间的相互作用削弱了MoO3分子从diamond（100）:H中提取电子的能力。因此,零维MoO3分子更适合作为表面受主。CrO3双链和V2O5单层诱发的最大空穴面密度分别为8.00×1013 cm-2和5.24×1013 cm-2。二维过渡金属氧化物的导带底（CBM）与diamond（100）:H的价带顶之间的能级差、二维过渡金属氧化物与diamond（100）:H之间的相互作用和二维过渡金属氧化物的厚度等越大,空穴面密度越大。利用有机分子实现了氧或氟终端的金刚石（diamond（100）:O/F）的n型表面电荷转移掺杂。筛选出21种有机分子适用于diamond（100）:O,其中有9种适用于diamond（100）:F。单个有机分子所诱发diamond（100）:O和diamond（100）:F的最大电子面密度分别为～2.60×1013 cm-2和9.20×1012 cm-2。以Co Cp2（Co（C5H5）2）为例,研究了有机分子密度和厚度对掺杂效果的影响。随着有机分子密度和厚度的增加,电子面密度先迅速增加,然后达到饱和值(4.06×1013 cm-2)。有机分子的最高占据轨道与diamond（100）:O/F的CBM之间的能级差、有机分子与diamond（100）:O/F的相互作用、分子密度和厚度等越大,电子面密度越大。综上,掺杂效果受表面掺杂剂的维度、厚度和分子密度,以及表面掺杂剂与金刚石表面的能级差和相互作用等因素的影响。我们通过合金化与杂质掺杂,实现了三种具有代表性的半导体材料体系的光电性能优化,推动了其在高性能微型光电子器件中的实际应用,并为调控半导体材料光电性能提供了重要思路。
刘丽亚[4]（2021）在《面向若干凸可行性问题的数值算法研究》文中研究指明管理科学,自动化控制和力学上的大量问题都可以转化为求两个或两个以上闭凸集的交集中点的问题,这类问题通常被称为凸可行性问题。随着交叉学科的不断发展,凸可行性问题在计算机科学,交通,工程技术和信号处理等诸多领域中扮演着越来越重要的角色。变分不等式、单调包含和公共不动点问题是凸可行性问题中的重要组成部分,且三者之间有着密切的联系,可以彼此之间相互转化。另外,变分不等式、单调包含和公共不动点问题有着广泛的应用背景。本论文在不同的空间框架下提出了一些有效逼近算法及其在具体问题中的应用。主要从算法设计、收敛性分析和数值效果等三个方面进行了研究。所得的结论推广和改进了一些现有的结果。全文共分八章,具体内容如下:第一章,绪论部分介绍了凸可行性问题在国内外的研究现状,给出了本文的主要工作和结构安排。最后,给出了求解凸可行性问题需要用到的预备知识。第二章,提出了一种求解变分不等式的修正的惯性次-超梯度算法。在算子满足序列弱连续性,伪单调性,且Lipschitz连续性的前提条件下,由该算法迭代产生的序列具有弱收敛性。数值实验结果表明新构造的算法相比于已有的某些算法有更快的收敛速度和更好的逼近效果。第三章,在惯性Tseng算法的基础上加以改进,给出了求解伪单调变分不等式问题的两类迭代算法,分别为惯性Tseng-Mann算法和惯性Tseng-粘滞迭代算法。并在适当的条件下,建立了强收敛定理。两类算法在每一步迭代过程中只需要计算一次投影算子,具有计算量小的优越性。进一步地,通过结合Armijo步长搜索准则,使得算法对Lipschitz常数没有限制,在这种条件下,给定的算法依然具有强收敛性。最后,分析了算法在求解模糊凸规划问题中的应用,并给出数值例子来说明理论结果的有效性。第四章,提出一个三步混合迭代算法,用于寻找一个双层变分不等式问题的近似解,并对算法的强收敛性进行了分析。所谓的双层变分不等式问题是指在一个变分不等式解集的基础上定义另一个变分不等式问题。基于该算法,给出了相应的动力系统模型。新构造的算法适合求解基于效用函数的网络宽带分配问题。数值结果验证了,与已有的算法相比,所提出的算法有更快的收敛速度。第五章,结合向前向后分裂算法、Tseng算法的思想与惯性技术,我们建立了多步混合迭代算法用来求解多集合极大单调包含问题。在满足一定的条件下,建立了一个强收敛定理。实验结果表明了算法适合求解信号恢复问题。第六章,在Banach空间框架下,结合Harlpern方法和Bregman投影方法,我们建立了一个Harlpern型-投影迭代算法用来逼近Bregman拟非扩张算子半群的公共不动点问题的近似解。在要求解集非空的前提下,证明了该算法是强收敛的。数值试验验证了理论结果的有效可行性。第七章,在误差允许的范围内,提出了一种改进的可变距离的向前向后分裂算法,用于寻找单调包含问题的解集和逆强单调算子的零点集之交集的一个公共元素。另一方面,我们还提出了一个带误差项的混合显式和隐式迭代算法,用于寻找一族非扩张算子的公共不动点问题和零点问题的公共解。在满足不同的前提条件下,分别对给定的两个算法的弱收敛性和强收敛性进行了分析。第八章总结本文的主要研究内容,并对未来的研究进行了展望。
强晓斌,卢海舟[5]（2021）在《磁场中拓扑物态的量子输运》文中指出拓扑物态包括拓扑绝缘体、拓扑半金属以及拓扑超导体.拓扑物态奇异的能带结构以及受拓扑保护的新奇表面态,使其具有了独特的输运性质.拓扑半金属作为物质的一种三维拓扑态具有无能隙的准粒子激发,根据导带和价带的接触类型分为外尔半金属、狄拉克半金属和节线半金属.本文以拓扑半金属为主回顾了在磁场下拓扑物态中量子输运的最新工作,在不同的磁场范围内分别给出了描述拓扑物态输运行为的主要理论.
李灿[6]（2020）在《彩虹折射二维测量方法及含杂液滴/瞬态蒸发液滴串测量研究》文中研究说明准确地测量流场中雾化液滴的多种关键参数,对提高燃烧效率、减少污染物排放和精细优化控制等具有重要的指导优化作用。微小颗粒分散到不混溶的液体形成的含杂液滴广泛存在,却因表征测量难度大受到较少关注。液滴串瞬态蒸发研究能很好地数学模型化液滴群蒸发中的液滴间相互作用,同样缺乏这方面的高精度实验研究。上述研究的难点在于面向含杂液滴和瞬态蒸发液滴串的先进测试手段缺乏。作为一种先进光学测量技术,彩虹折射技术能同时测量热力学参数（折射率、温度和组分等）和几何学参数（粒径）,极具解决上述难点的潜力。同时对复杂多相流的测量要求,也促使测量技术朝着高维度等方向发展。提升待测场空间维度,极大利于雾化场液滴关键参数的演变测量,这促使了彩虹折射技术从1D“线”到2D“面”测量的研究。目前没有算法能同时处理标准和全场彩虹信号的反演,同时还缺乏对基于不同迭代方法的彩虹信号反演算法在精度和速度上表现的评估。针对上述问题,本文通过理论分析、模拟和实验验证结合等手段,开展了彩虹折射技术的二维化、含杂液滴表征、液滴串瞬态蒸发测量及彩虹信号反演算法的研究。基于理论分析提出了二维彩虹折射测量方法,包括设计配置简单可靠的二维彩虹测量系统,提出一种二维散射角面标定方法和标定系数高精度反演算法,搭建了液滴发生系统和二维彩虹测量系统。对测量系统进行了二维散射角标定和在室温为8°C下测试了平面视场为130.5 mm×81.5 mm的去离子水气动喷雾。对一张典型二维彩虹实验图像进行图像识别和定位等处理,通过彩虹信号轮廓获得了两个待测液滴的平面位置信息。结合二维散射角的标定,成功实现了二维彩虹折射法对二维平面雾化液滴的在线测量。来自算法和图像识别的误差综合导致折射率最大测量误差估算为7×10-4,粒径相对误差为1.4%。基于彩虹二阶折射信号的拟合反演和消光作用分别表征液相参数（宿主液滴折射率和粒径）和固相参数（内含物体积浓度和尺寸）的思路,提出二阶与零阶折射信号强度比方法消除强度随机的影响,并理论推导出计算公式。基于蒙特卡洛的光线追踪方法模拟分析了多种因素对含杂液滴几何彩虹角附近光散射信号的影响。搭建单/双波长的标准彩虹测量系统和液滴发生系统,分别开展内含物尺寸已知和未知的系列实验。实验验证了消光彩虹折射法表征测量含纳米颗粒物液滴的可行性和有效性。采用相位彩虹折射法PRR和高速显微阴影法相结合的方法,对喷射到空气中的微米级运动乙醇液滴串的瞬态蒸发进行了定量研究。搭建带温控的液滴串发生和高速显微阴影成像系统,生成粒径、速度、间距参数和温度可控的乙醇液滴串。搭建简单紧凑的改进性PRR测量系统,记录不同激励频率、流量和初始加热温度下液滴串的PRR图像。实现了测量线范围内100～180 nm量级粒径减小的分辨和乙醇液滴串蒸发速率测量为（0.7～4.4）×10-8（m2/s）。通过测量的液滴串蒸发速率与由Abramzon&Sirignano模型预测的单液滴蒸发速率之比来量化液滴串中液滴间相互作用的影响,统计大量实验测量数据归纳出了一种改进的经验关联式。针对标准/全场彩虹信号的反演处理,提出了一种基于局部最小的通用性反演算法。该算法基于带修正系数的CAM理论建立带不等式约束的非线性最优化目标函数,并采用不同迭代方法进行迭代求解。对于标准彩虹信号,Active-set法在精度(折射率误差<2×10-4,粒径相对误差<1.3%)和速度（平均耗时0.45 s）上表现最佳;对于全场彩虹信号,采用Active-set方法作为对反演精度要求高且对速度不关注的反演迭代方法,折射率反演误差小于1×10-4,平均粒径相对误差小于2.0%,平均耗时13.2 s;反之采用Brent方法,其反演的折射率最大误差在3.5×10-4左右,粒径相对误差绝大部分小于10%,但平均耗时不到1 s。
金婷[7]（2020）在《不确定（分数阶）动力系统的首达时间问题》文中研究指明首达时间是历史上首先被考虑的一类非决定时间,可用于投资组合、排队论、破产问题、以及系统的可靠性、维护和质量控制等问题的研究,而基于首达时间的首达目标准则是一种系统首次达到目标状态集前的某种性能指标的准则,选其作为优化指标所得到的最优控制问题,是无限时间准则下最优控制理论的一个重要拓展,是研究如何在一个动态系统中正确决策从而优化决策者的时间的控制问题。此外,实际动力系统运行时会受到不同种类噪声的干扰,样本数据缺乏或不多的噪声需要用主观不确定性来描述。另一方面,分数阶微分方程被认为是描述系统的记忆性和遗传特征的一种有效方法。因此,对受到这种噪声干扰的动力系统,我们将其建模为不确定（分数阶）微分方程。本论文针对这样的不确定系统,在已有的不确定理论研究基础上,研究了不确定（分数阶）系统的首达时间问题,并应用在金融和物理领域之中。本论文的主要研究内容如下:与传统的无限时间段上的期望折扣准则不同,将首达时间的乐观值作为目标函数,提出了一个首达时间乐观值准则下不确定最优控制模型。通过α-轨道的定义将其转化为确定型最优控制问题,并证明不确定最优控制乐观值模型与一无约束的常微分模型等价。同时,求出了该模型的最优解,以优化首达时间的乐观值。基于首达时间,将达到指标作为目标函数,提出了一个不确定最优控制达到指标模型,其优化目的是最大化系统首达目标状态集的时间不超过给定阈值的信度。通过α-轨道的定义将其转化为确定型最优控制问题,并证明不确定最优控制达到指标模型与一无约束的常微分模型等价。同时,求出了该模型的最优解,以优化达到指标。研究了Caputo型的不确定分数阶微分方程解的极值,证明了极值所服从的两类不同的不确定逆分布函数。在此基础上,提出了计算极值的不确定逆分布的数值算法,并提供了一个有极值解析表达式的数值算例,通过比较极值的解析和数值结果,验证了数值算法的有效性和准确性。研究了Caputo型的不确定分数阶微分方程解的首达时间。基于不确定分数阶微分方程解的极值定理,证明了首达时间所服从的两类不同的不确定分布函数。进一步,利用向前-校正算法设计了求解首达时间的不确定分布函数的数值算法,并给出了相应的数值算例,以验证数值算法的有效性。将首达时间最优控制问题应用到了金融领域中的投资组合、物理中的一阶电路等实际问题中。并对投资组合模型,提供了敏感性分析和选择参数的指南。对一阶电路模型,给出了不确定的时间响应。将不确定分数阶微分方程解的极值问题应用到不确定金融市场中,导出不确定股票模型的美式期权定价公式。此外,将不确定分数阶微分方程解的首达时间问题应用到不确定金融市场中,并导出不确定分数阶均指回归模型的风险指标。
纪晓君[8]（2019）在《非线性期望下的随即场理论及相关问题研究》文中研究说明1933年,Kolmogorov[55]创立了以概率测度P为核心的概率论公理体系（Ω,F,P）,成为研究随机事件的一个重要数学框架.然而,在大多数现实情形中,概率P都是未知的.在1921年,着名经济学家Knight[54]就已指出在经济学中,概率统计模型本身带有不可预知的不确定性,并且是不可消除的.这种概率不确定性也被称为Knightian不确定性.如何分析带有Knightian不确定性的模型和经济问题成为困扰数学家和经济学家的一个难题.在概率论框架（Ω,P）下,概率测度P和线性数学期望EP一一对应.因此,我们无法用现有的线性期望来解决概率不确定的问题,而需要考虑可以描述一族概率的非线性期望.1953年,Choquet[6]通过讨论非可加测度提出了着名的容度理论,并定义了一个非线性期望——Choquet期望,成为研究概率不确定问题的重要工具,在经济金融领域被广泛应用.例如,Schmeidler[87]提出了 Choquet期望效用理论;Chateauneuf等[3],Chen和Kulperger[5]等人利用Choquet期望研究了金融和保险中产品的定价问题.但是Choquet期望的一个弊端是无法定义动态相容的条件期望.2004年,Peng[72,73,74,75]从期望的角度出发,创立了具有动态相容性的非线性期望理论（Ω,H,E）,这里Ω表示样本空间,H表示随机变量空间,E表示非线性期望.在非线性期望空间（Ω,H.E）中,Peng定义了 G-正态分布,最大分布,随机变量的独立以及同分布等概念,获得了大数定律和中心极限定理等一系列结果.非线性期望空间（Ω,H,E）成为可以和概率空间（Ω,F,P）相媲美的理论体系,相比于线性期望,非线性期望理论的一个优势是考虑到了 Knightian不确定性,可以解决更多模型不确定情形下的实际问题.非线性期望的一个典型例子是由非线性偏微分方程（G-热方程）引入的G-期望EG,其可以被表示为一族概率测度{Pθ}θ∈（?）对应的线性期望的上确界,即（?）从而能够被应用于研究概率不确定情形下的各种问题.例如,Epstein和Ji[20,21]基于非线性期望得到了波动率不确定情形下的资产定价公式与效用模型.Eberlein等[22]利用G-期望下定义的动态相容的条件期望将两价（买入价和卖出价）经济理论推广到连续时间情形.Hu和Ji[37,38]得到了波动率不确定情形下随机最优控制问题的最大值原理和动态规划原理.进一步地,为了研究非线性期望下的随机过程,Peng[75,76,78]通过G-热方程引入了 G-布朗运动,并建立了相应的G-Ito随机积分理论.之后,众多学者基于G-布朗运动进行了广泛研究.Gao[28],Lin[63],Lin[64]以及Luo和Wang[67]等人研究了 G-布朗运动驱动的随机微分方程（G-SDE）.Hu等[39,40]研究了 G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（G-BSDE）解的性质.通过G-SDE和G-BSDE,我们还可以构造其他丰富的随机过程,如G-OU过程,几何G-布朗运动等.另外,Hu和Peng[45]通过非线性期望下的Levy-Khintchine表示引入了 G-Levy过程和G-Poisson过程.以上定义的随机过程都是非线性期望框架下概率不确定的时间随机场,可以被应用于刻画波动率不确定情形下金融市场中的各种模型.除了经济学中具有模型不确定性之外,在现实世界的各个领域其实都蕴含着不确定性.例如,在生物物理中,人们经常通过假设随机扰动是一个高斯白噪声或者经验性的颜色噪声来进行分子动力学模拟,但真实的问题并不总是能被这些简化模型所描述.在这类问题中引入模型不确定的白噪声理论或许会提供新的解决方法.因此,我们想将Peng建立的非线性期望理论推广至物理等领域,建立非线性噪声理论,用于研究模型不确定的各种实际问题.为了引入非线性白噪声或者更一般的非线性时空白噪声,我们首先需要在非线性期望空间中建立随机场理论体系,包括空间随机场以及时间—空间随机场.而时间随机场则对应于我们己引入的随机过程.在非线性期望框架下,时间和空间是两个完全不同的参数,我们无法用已有的随机过程,如G-布朗运动等,去描述空间随机场.这主要是由于非线性期望下的独立性是有方向的,即随机变量X独立于Y并不能推出Y独立于X.而随机场的空间增量是没有方向的,所以无法定义空间增量的独立性.由于G-布朗运动和G-Levy过程均是独立增量过程,所以它们只适用于刻画时间随机场,而不能用来刻画空间随机场.基于此,Peng[80]引入了非线性G-高斯过程,即有限维分布为G-正态分布的随机过程,用于研究空间参数为R的随机场.值得注意的是,不同于经典概率论,G-布朗运动不再是一个G-高斯过程.对于定义在Rd或者更一般指标集上的随机场,在非线性G-高斯过程的基础上,本文建立了非线性期望下的G-高斯随机场和G-白噪声理论体系,可以用于刻画模型不确定情形下的空间随机场.对于时间一空间随机场,本文将时间参数和空间参数分开处理,引入了时空G-白噪声的概念,其在时间上是一个G-布朗运动,在空间上是一个G-白噪声.进一步地,论文将关于G-布朗运动的G-Ito随机积分推广到空间G-白噪声和时空G-白噪声上,建立了相应的随机积分理论.在此基础上,本文证明了时空G-白噪声驱动的随机热方程弱解的存在唯一性以及解的估计.值得注意的是,如果非线性期望退化为线性期望,那么相应的G-高斯随机场和G-白噪声就退化为经典的高斯随机场和白噪声.除了讨论空间随机场之外,本文还对非线性期望框架下的典型的时间随机场——G-布朗运动进行了深入研究.不同于经典情形,在G-期望下,G-布朗运动的二次变差过程不再是t,而是增量服从最大分布的一个平稳独立增量过程.基于此,Xu和Zhang[98,99],Lin[62]和Song[92]等人在非退化假设条件下得到了 1-维对称G-鞅的Levy鞅刻画定理.在不假设非退化条件下,本文证明了一般次线性期望空间中多维对称鞅的鞅刻画定理.在鞅刻画的基础上,本文进而得到了 G-布朗运动和非线性G-布朗运动的反射原理,可以被应用于模型不确定时障碍期权的定价研究.本文共分为五章,主要内容和结构如下:论文的第一章首先回顾了非线性期望理论的基本知识,给出了 正态分布,G-期望以及G-布朗运动的定义和相关性质,为之后几章的内容打下基础.论文的第二章建立了次线性期望框架下的G-高斯随机场和G-白噪声理论.我们首先通过推广Kolmogorov存在性定理,在次线性期望空间中引入了 G-高斯随机场.G-高斯随机场是一个定义在任意指标集上的随机场,其有限维分布即为G-正态分布,可以有效地定量研究模型不确定情形下的随机场.进一步地,通过构造一族特殊的满足相容性的次线性生成函数,我们建立了空间G-白噪声理论,并定义了 L2（Rd）中函数关于空间白噪声的随机积分.此随机积分的集合也是一个G-高斯随机场.不同于经典情形,由于次线性期望下的独立性是有方向的,G-白噪声的空间增量不再具有独立性.之后,我们引入了时空G-白噪声的概念,其在时间上是一个G-布朗运动,在空间上是一个空间G-白噪声.类似于G-Ito随机积分,我们同样得到了关于时空白噪声的随机积分及相关性质.本章最后以空间G-白噪声为例,介绍了容度理论,并给出了 白噪声的轨道刻画.论文的第三章在G-白噪声理论的基础上,研究了次线性期望空间中时空G-白噪声驱动的随机热方程解的性质.首先,我们对上一章构造的Bochner积分和关于时空白噪声的随机积分进行扩张,并在扩张空间上证明了随机Fubini定理.这保证了我们在之后证明弱解的过程中可以将Bochner积分和关于时空白噪声的随机积分交换积分顺序.之后,我们给出了时空G-白噪声驱动的线性随机热方程弱解的定义以及显示表达式,并得到了弱解的唯一性和解的估计.受时空G-白噪声随机积分空间的限制,我们考虑有界空间上满足Lipschitz条件的随机热方程弱解的性质.通过Green函数和Picard迭代的方法,我们得到了随机热方程弱解的存在唯一性定理以及估计.论文的第四章主要讨论了在不假设非退化条件的情形下,G-布朗运动的Levy鞅刻画定理和反射原理.为了研究一般次线性期望空间中的对称鞅,我们首先引入了完备的相容次线性期望空间的概念,并将G-Ito随机积分推广到相容次线性期望空间中的一类对称鞅上.之后,我们考虑其上多维对称鞅的Levy鞅刻画.由于在退化情形中,G-热方程的解不一定满足正则性,我们不能直接应用偏微分方程的方法进行证明.为克服此困难,我们首先引入一类离散的乘积空间,并构造了非退化的Gε算子和Gε--热方程.接着通过Tavlor展开和逼近的方法证明了一般的多维对称鞅是G-布朗运动的等价条件.特别地,对于G-期望空间中的对称G-鞅,我们应用lto公式更加简洁地证明了鞅刻画定理.在此基础上,我们通过Skorohord引理和Ito-Tanaka公式得到了 G-布朗运动的反射原理.对于非线性G-布朗运动,由于没有相应的鞅刻画定理.我们通过构造过程（sgn（Bt））t≤T的离散逼近和Krylov估计证明了其反射原理.论文的第五章对本论文内容进行总结,并对下一阶段研究工作进行展望.下面我们给出本文获得的主要结果.1.次线性期望下的高斯随机场及时空白噪声本章主要建立了次线性期望下G-高斯随机场和G-白噪声的理论框架,并将关于G-布朗运动的G-Ito随机积分推广到G-白噪声上.首先,我们给出G-高斯随机场的定义和存在性定理.定义 1.设（Ω,H,E）为非线性期望空间,Γ为任给的指标集.一族随机向量W=（Wγ）γ∈Γ称为（Ω,H,E）上的m-维随机场,如果对任意γ∈Γ,Wγ∈Hm.记所有有限维指标所构成的集合为JΓ,即JΓ:={γ=（γ1,...,γn.）:（?）n∈N,γ1.…,γn∈Γ,且对i≠j,1≤i,j≤n,i≠γj}.定义 2.设（Wγ）γ∈Γ为次线性期望空间（Ω,H,E）中的一个m-维随机场.如果对任意γ=（γ1,…,γn）∈JΓ,（n × m）-维随机向量Wγ=（Wγ1,…Wγn）服从G-正态分布,那么W=（Wγ）γ∈Γ就称为一个m-维G-高斯随机场.对任给的有限维指标γ=（γ1,…,γn）∈JΓ,定义单调次线性函数GWγ（Q）=1/2E[〈QWγ,Wγ〉],Q∈S（n×m）,其中,S（n × m）代表所有（n × m）×（n × m）阶对称矩阵所构成的集合.那么,（GWγ）γ∈JΓ满足以下形式的相容性:（1）兼容性:对任意（γ1,…γn,γn+1）∈JΓ和Q=（qij）i,j=1n×m∈S（n×m）,GWγ1,…,Wγn,Wγn+1（Q）=GWγ1,…，Wγn（Q）,（1）其中矩阵（?）（2）对称性:对{1,…,n}的任意一个置换π和Q＝（qij）i,j=1n×m∈S（n×m）.GWγπ（1）,…,Wγπ（n）（Q）=GWγ1,….Wγn（π-1（Q））,（?）其中映射π-1:S（n×m）→S（n×m）定义为（π-1（Q）ij=（qπ-1（1）π-1（j））,i,j=1.….（n × m）.定理 3.设对任意γ=（γ1,…,γn）∈JΓ,实值函数集合（Gγ）γ∈JΓΓ中的映射Gγ:S（n×m）→R满足次线性和单调性,并且（Gγ）γ∈JΓ还满足兼容性条件（1）和对称性条件（2）.那么,存在一个定义在次线性期望空间（Ω,H,E）上的m-维G-高斯随机场（Wγ）γ∈Γ使得对任意γ=（γ1,…,γn）∈ JΓ,W2=（Wγ1,…,Wγn）服从G-正态分布,并且对所有Q∈S（n × m）,GWγ（Q）=1/2E[<QWγ,Wγ>]=Gγ（Q）.进一步地,若存在另一个定义在次线性期望空间（Ω,H,E）上的高斯随机场（Wγ）γ∈Γ,满足对任意γ=（γ1,...,γn）∈JΓ,Wγ 为具有相同生成函数的G-正态分布随机向量,即对所有 Q ∈ S（n×m）,GWγ（Q）=1/2E[（QWγ,Wγ]=Gγ（Q）,那么,W=W.在G-高斯随机场的基础上我们给出空间G-白噪声的定义.定义 4.设（Ω,H,E）为次线性期望空间,指标集为r=B0（Rd）={A∈B（Rd）:λA<∞},其中λA表示集合,A ∈ B（Rd）的Lebesgue测度.1-维G-高斯随机场W=（WA）A∈Γ称为一个1-维G-白噪声如果满足以下条件:（1）对所有A∈Γ,E[WA2]=σ2λA,-E[-WA2]=σ2λA;（2）对任意A1,A2∈Γ,A1n A2=（?）,有E[WA1WA2]=E[-WA1WA2]=0,E[（W.41（?）A2-WA1-WA2）2]=0,其中0<σ2≤σ2为任意给定的常数.为证明G-白噪声（或者称为空间G-白噪声）的存在性,由定理3可知,我们只须定义一族合适的单调次线性函数（Gγ）γ∈JΓΓ使得由（Gγ）γ∈JΓ生成的G-高斯随机场满足定义4中的假设条件（1）和（2）.因此,对任意有限维指标γ=（A1,…,An）∈ Jr,定义映射G（·）:S（n）→R为:（?）（3）其中,1-维单调次线性函数G的定义为G（a）=1/2σ2a+-1/2σ2a-for a∈R.通过（3）式定义的这族特殊的生成函数,我们即得G-白噪声的存在性.定理5.对任给的单调次线性函数G（a）=1/2（σ2a+-σ2a-）,a∈R,令生成函数集合{Gγ（·）:γ∈JΓ}按表达式（3）定义.那么,存在定义在次线性期望空间（Ω,H,E）上的1-维空间G-白噪声（Wγ）γ∈Γ使得对任意γ=（A1,…,An）∈JΓ,随机向量Wγ=（WA1,…,WAn）服从G-正态分布并且对任意Q=（qij）i,j=1n∈S（n）,（?）另外,若存在另一个G-白噪声（Wγ）γ∈Γ,其生成函数形式为（3）且具有同一个次线性函数G,那么W兰W.对任意P≥ 1.我们记随机变量空间H在范数‖·‖p:=（E[|·|P]）1/P下的完备化空间为LGP（W）,则（Ω,LGp（W）,E）构成一个完备的次线性期望空间.以下均假设（Wγ）γ∈Γ是定义在（Ω,LG2（W）,E）上的一个1-维G-白噪声.空间G-白噪声的一个重要性质是分布具有旋转和平移不变性.命题 6.对任意p ∈Rd和O∈（?）（d）:={O∈Rd×d,OT=O-1},我们令那么,对任意A1,…,An∈B0（Rd）,有也就是说,W的任意有限维分布具有旋转和平移不变性.记空间 L2（Rd）={f:‖f‖L22=∫Rd|f（x）2dx<∞}.我们可以定义 L2（Rd）中函数关于G-白噪声的随机积分.首先,对任意简单函数f（x）=∑i=1nai1Ai（x）,n∈N,a1.…,anR,A1,…,An∈Γ,定义关于G-白噪声的随机积分如下:（?）那么,利用以下引理我们可以将随机积分扩张到空间L2（Rd）上.并且随机积分所构成的集合也是一个G-高斯随机场.引理7.若f:Rd→R是L2（Rd）中一个简单函数,那么,E[|∫Rdf（x）W（dx）|2]≤σ2‖f‖L22.定理 8.设r=B0（Rd）,W=（WA）A∈r为完备次线性期望空间（Ω,LG2（W）,E）上的1-维G-白噪声,则随机积分集合{∫Rd f（x）W（dx）:f∈L2{Rd）}是一个G-高斯随机场.接下来,我们研究定义在指标集Γ={[s,t）×A:0≤s≤t<∞,A ∈ B0（Rd）}上的时空随机场.特别地,我们有以下时空白噪声的定义:定义9.次线性期望空间（Ω,H,E）上的随机场{W（s,t）× A)}（[s,t）×A)∈Γ称为一个1-维时空G-白噪声,如果它满足以下条件：（1）对任意固定的时间区间[s,t),随机场{W（[s,t）×A)}A∈B0（Rd）的是一个1-维空间白噪声并且与（（?WA）A∈B0（Rd）具有相同的有限维分布:（2）对任意 r ≤ s ≤ f,A ∈ B0（Rdd）,W（[r.s）× A）+W（[s,f）× A)=W（[r,t）×A);（3）对任意ti≤s≤t和A,Ai∈B0（Rd）,i=1,…,n,随机变量W（[s,t）×A)独立于（W（[s1,t1）×A1）,…,W（[sn,tn）×An)),这里（WA）A∈B0（Rd）是一个1-维空间G-白噪声.对任意p ≥ 1,T>0,类似于G-布朗运动和G-期望的构造过程,我们可以构造相应的典则随机场{W（s,t）×A):0≤s<t≤T,A∈B0（Rd）},随机变量空间LGp（W[0,T]）（相应地:LGp（W））和次线性期望危使得W在E下为时空G-白噪声.下面我们定义关于时空G-白噪声W的随机积分.首先,记Mp,0（[0,T]×Rd为具有以下形式的所有简单随机场构成的集合:（?）（4）其中Xij∈LGp-（W[0,ti）,i=0,…,n-1,j=1,…,m;0=t0<t1<…<tn=T;并且{Aj}j=1m,[B0（Rd）为互不相交集合序列.那么,形式为（4）的简单随机场f∈Mp,0（[0.T]×Rd）的 Bochner 积分可以定义为（?）显然,映射IB:MP,0（[0,T]×Rd）→ LGp（W[0,T]）是线性映射.对任意给定的p ≥ 1,将MP,0（[0,T]×Rd）在范数‖·‖MP:=（E[∫0T∫Rd|·|pdsdx]1/p下的完备化空间记为MGp（[0.T]× Rd）.关于时空白噪声W的随机积分可以定义为从M2,0（[0.T]×Rd）到LG2（W[0.T]）上的线性映射:（?）那么,我们有如下引理.引理10.对任意简单随机场f∈M2,0（[0.T]×Rd）,E[∫0T∫Rdf（s,x）W（ds,dx）]=0,E[|∫0T∫Rdf（s,x）W（dx,dx）|2]≤σ2E[∫0T∫Rd|f（s,x）|,dsdx].因此,我们可以将随机积分（5）从M2,0（[0,T）× Rd）连续扩张到完备空间MG2（[0,T]xRd））上.事实上,对任意f∈MG2（[0,T]×Rd）,存在一列简单随机场fn ∈ M2,0（[0,T]×Rd）使得（?）‖fn-f‖M2＝0,则（?）2.时空G-白噪声驱动的随机热方程本章主要研究时空G-白噪声驱动的随机热方程弱解的性质.首先我们给出次线性期望下随机Fubini定理的形式.对任意T>0,记M2,0（[0,T]2×R2）是由以下形式简单随机场所构成的线性空间:（?）其中{t0,…,tn}和{sO,…,sn}是时间区间[0.T]上的任意两个分划Aj}j=1m和{BK}k=1m分别是B0（R）上互不相交集合的序列;并且对i,l=0,…,n-1 和 j.k＝1,…,n.Xijlk∈LG2（W[0,ti]）.记 MG2（[0.T]2×R2）在范数‖f‖M2=（∫0T∫R∫0T∫RE[|f（t,x,s,y）|2]dxdtdyds1/2下的完备化空间为MG2（[0.T]2×R2）.那么,我们有以下积分交换公式.定理11（随机Fubini定理）.对任意T>0,设简单随机场f（t.x.s.y）∈M2.0（[0.T]2 ×R2）,则∫0T∫R[∫0T∫Rf（t,x,s,y）W（dt,dx）]dyds=∫0T∫R[∫0T∫Rf（t,x,s,y）dyds]W（dt,dx）.进一步地,若f（t.x,s,y）∈MG2（[0,T]2 x R2）,则在任意集合K∈B0（R）上,∫0T∫K[∫0T∫Rf（t,x,s,y）W（dt,dx）]dyds=∫0T∫R[∫0T∫Kf（t,x,s,y）dyds]W（dt,dx）.特别地,容易验证以下推论.推论 12.对任意f ∈ MG2（[0.T]2×R2）,K∈B0（R）,我们有∫0T∫K[∫0s∫Rf（t,x,s,y）W（dt,dx）]dyds=∫0T∫R[∫tT∫Kf（t,x,s,y）dyds]W（dt,dx）.给定任意时间T>0.我们考虑以Γ=[0.T]×R为指标集的时空G-白噪声{W（t,x）W（[0.t）×[x∧0.0∨x）:t∈[0.T],x×∈R}.在不引起混淆的情况下,我们仍将其记为W＝{W（t,x）:t∈[0.T].x∈R}.显然W（t,x）关于（t,x）几乎处处不可微,但是在广义函数Schwartz分布意义下,它的导数是存在的,定义W（t,x）:=（?）2W（t,x）/（?）t（?）x,t∈[0,T],x∈R,指对任给的测试函数φ∈Cc∞（R2）,∫0T∫RW（t,x）φ（t,x）dxdt=∫0T∫RW（t,x）（?）φ（t,x）/（?）t（?）x（dt,dx）.（6）其中Cc∞（R2）代表R2上具有紧支集的无穷次可微函数所构成的空间.那么我们有以下命题.命题 13.设{W（t,x）:t ∈[0,T]·×R}是时空白噪声{W（t,x）:t∈[0,T],x ∈=R}按（6）式定义的广义导数,则对任意φ ∈ Cc∞（R2）,有∫0T∫RW（t,x）φ（t,x）dxdt=∫0T∫Rφ（t,x）W（dt,dx）.根据上述命题,我们就可以给出随机热方程弱解的定义.下面考虑次线性期望空间下时空G-白噪声驱动的线性随机偏微分方程（?）]u（0,x）=u0（x）,x ∈ R,其中初始函数u0:R → R是非随机的Borel可测函数.定义 14.设初始函数 u0（x）∈S2（R）,即supx∈R|u0（x）|2<∞.时空随机场{u（t,x）:（t,x）∈[0,∞)×R]称为随机热方程（7）的一个弱解,如果其满足以下条件:（1）对任意 T ≥ 0,以及 K ∈ B0（R）,都有(u（t,x）0<t<T.x∈K ∈SG2（[0.T]× K）:（2）对任意T≥ 0,φ（t,x）∈Cc∞（R2）,(u（t,x）0＜t＜T,x∈R满足方程∫Ru（T,x）φ（T,x）dx-∫Ru0（x）φ（0,x）dx=∫0T∫Ru（t,x）（（?）φ（t,x）/（?）t+（?）2φ（t,x）/（?）x2）dxdt+∫0T∫Rφ（t,x）W（dt,dx）,其中SG2([0,T]× 表示 M2,0([0,T]× K 在范数‖·‖s2=supt∈[0,T]supx∈K（E（|·|2]）1/2下的完备化空间.容易验证,线性随机热方程（7）存在唯一的弱解.定理 15.设u0（x）∈S2（R）,则时空G-白噪声驱动的线性随机热方程（7）存在唯一的弱解,其表达式为:u（t,x）=∫Ru0（y）p（t,x-y）dy+∫0t∫Rp（t-x,x-y）W（ds,dy）,（?）t>0,x∈R,其中p（t,x）=1/（?）e-x2/4t,（?）t>0,x∈R.命题 16.设 u0（.x）∈ S2（R）,并且{u（t,x）:（t,x）E[0.∞）x R}是线性随机热方程（7）的弱解,那么,对任意0<α<1,（t,x）∈（0,∞）x R,存在一个常数C使得对任意h>0,下列不等式成立:（1）E[|u（t,x+h）-u（t,x）|2]≤Chα;（2）E[lu（t+h,x）-u（t,x）|2]≤C（?）.对任意常数T>0,K>0,我们考虑以下可乘时空G-白噪声驱动的随机热方程:（?）其中a（x）∈Cb,Lip（R）,u0（x）∈S2（[0,K}）.定义17.给定任意常数T>0,K>0.设初始函数u0（x）∈ S2（[0,K]）,a（x）∈Cb.Lip（R）.对任取的函数φ（t,x）∈ Cc∞（R2）满足（?）/（?）xφ（t,0）=（?）/（?）xφ（t,K）=0,t≤T,如果时空随机场（u（t,x））0≤t≤T,0≤x≤K∈SG2（[0,T]×[0,K]）满足方程（?）那么,{u（t,x）:（t,x）∈[0,T]×[0,K]}就称为随机热方程（8）的一个弱解.通过Green函数和Picard迭代的方法,我们得到时空（G-白噪声驱动的随机热方程（8）弱解的存在唯一性.定理 18.u0（x）∈S2（[0,K]）以及a（x）∈ Cb,Lip（R）,那么次线性期望空间中时空G-白噪声驱动的随机热方程（8）存在唯一的弱解{u（t,x）:（t,x）∈[0.T]×[0,K]}使得u ∈SG2（[0,T]×[0.K]）并且满足方程（9）.进一步地,我们有以下解的估计.命题 19.设 u0（x）∈ S2（[0,K]）,a（x）∈ Cb.Lip（R）并且{u（t,x）:（t,x）∈[0,T]×[0,K]}∈SG2（[0,T]×[0,K」）是随机热方程（8）的弱解.那么,对任意0<a<1,存在一个常数C使得对x,y ∈[0,K],t,s ∈[0.T],有（1）E[|u（t,x）-u（t,y）[2]≤C|x-y|α;（2）E[|u（t.x）-u（s,x）|2]≤C|t-s|1/2.3.G-布朗运动的Levy鞅刻画和反射原理在本章中,我们研究了相容次线性期望空间上多维对称鞅的Levy鞅刻画以及G-布朗运动和非线性G-布朗运动的反射原理.在次线性期望框架下,论文首先引入了相容次线性期望空间的定义.设Ω为给定样本空间,（Ht）t≥0和H是Ω上实值函数组成的一族线性空间且满足下列条件:（H1）对任意的0 ≤S≤t,Hs（?）Ht（?）H并且H0=R;（H2）若X ∈Ht（相应地:H）,则|X| ∈Ht（相应地:H）;（H3）对任意的φ∈Cb.Lip（Rn）,若X1,...,Xn∈Ht（相应地:H）,则φ（Xi,...,Xn）∈Ht（相应地:H）.定义 20.一族映射Et:H →Ht,t ≥0,称为（Ht）t≥0上的相容次线性期望,如果其满足下列条件:对任给的随机变量X,Y∈H,（1）单调性:若 X ≥ Y,则E[X]≥Et[Y];（2）保常性:若η∈Ht,则Et[η]=η;（3）次可加:E[X+Y]≤Et[X]+Et[Y];（4）正齐性:对任意有界非负随机变量η ∈Ht,有Et[ηX]＝ηEt[X];（5）相容性:若s ≤t,则Es[Et[X]]=Es[X].四元组（Ω,H,（Ht）t≥0,（Et）t≥0）就称为相容次线性期望空间,成称为次线性条件期望.对任给的常数p ≥ 1,Ht（相应地:H）在‖·‖p:=（E[|·|P]）1/P下的完备化记为Lp（Ωt）（相应地:Lp（Ω））.那么,（Ω,L1（Ω）,（L1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）也构成一个相容的次线性期望空间,称为完备的相容次线性期望空间.在完备空间上.我们有以下在次线性分析中非常重要的命题.命题 21.设（Ω,L1（Ω）.（L1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）为完备的相容次线性期望空间.对任给的n-维随机向量X∈（L1（Ωt））n,m-维随机向量Y∈（L1（Ω））m,以及φ∈Cb.Lip（Rn+m）,我们有Et[φ（X,Y）]=Et[φ（x,Y）]x=X.特别地，对任一有界随机变量η∈L1（Ωt）,有Et[ηZ]=η+Et[Z]+η-Et[-Z],（?）Z∈L1（Ω）.下面我们给出相容次线性期望空间中对称鞅的定义.定义 22.设（Ω,L1（Ω））t≥0,（Et）t≥0）为完备的相容次线性期望空间,一族随机向量的集合（Xt）t≥0称为d-维适应随机过程,如果对任意的2>0,Xt∈(L1（Ωt）d.定义 23.完备相容次线性期望空间（Ω,L1（Ω）.（L1（Ωt）t≥0,（Et）t≥0）中的d-维适应过程Mt=（Mt1,...,Mtd）,t≥0,称为一个鞅,如果对任意s≤t,i≤d都有Es[Mti]=Msi.进一步地,如果对t ≥ 0,i ≤ d,d-维鞅M满足E[Mti]=-E[-Mti],则M称为对称鞅.通过引入一类离散的乘积空间,我们得到了相容次线性期望空间中G-布朗运动的Levy鞅刻画定理.定理24.设（Ω.L1（Ω）,（L1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）为完备的相容次线性期望空间,G:S（d）→R为任意给定的单调次线性函数.假设d-维对称鞅（Mt）t≥0满足M0=0;对任意t≥0,Mt ∈（L3（Ωt））d;以及对任意固定的时间T>0,当δ↓0时,sup{E[|Mt+δ-Mt|3]:t≤T}=o（δ）,那么下列结论等价:·（1）（Mt）t≥0是一个G-布朗运动;（2）对任意t,s≥0,AS（d）,存在常数C>0使得Et[|Mt+s-Mt|2]≤Cs,并且过程1/2tr[At]-G（A）t,t≥0,是一个鞅;（3）对任意A ∈S（d）,过程1/2<AMt,Mt>-G（A）t,t≥0,为鞅.特别地,对于G-期望空间中的对称G-鞅,我们可以对上面定理中的条件进行弱化.在对称G-鞅的刻画定理中,我们将不再要求定理24中的假设条件Mt∈（L3（Ωt））d以及当δ↓0时,sup{E[|Mt+δ-Mt|3]:t≤T}=o（δ）.定理 25.设G:S（d’）→R和G:S（d）→ R是两个给定的单调次线性函数,并且（Ω,LG1（Ω）,（LG1（Ωt））t≥0,（Et）t≥0）为相应的G-期望空间.假设d-维对称鞅（Mt）t≥0满足M0＝0,以及对任意t≥0,Mt∈（LG2（Qt））d,那么以下结论等价:（1）（Mt）t≥0为G-布朗运动;（2）对任意A∈S（d）,随机过程1/2<AMt,Mt>-G（A）t,t≥0.是一个鞅;（3）对任意t,s≥0,A∈S（d）,存在常数C>0使得Et[|Mt+s-Mt|2]≤Cs,并且随机过程1/2tr[At]—G（A）t,t≥0,是一个鞅.基于鞅刻画定理,下面我们考虑G-布朗运动的反射原理.令Ω＝C0（[0,∞））,（Bt）t≥0为Ω上典则过程.对任意的t ≥ 0,定义随机变量空间为Lip（Ωt）={φ（Bt1,Bt2-Bt1,…,Btn-Btn-1）:n ∈ N.0≤t1<…<tn≤t,φ∈Cb.Lip（Rn）},并且（?）对任意给定的参数0≤σ2≤σ2满足σ2>0,令G（a）:1/2（σ2a+-σ2a-）for a ∈ R,Peng在[78]中构造了 Lip（Ω）上的次线性G-期望EG[·],使得典则过程（Bt）t≥0在EG下是一个1-维G-布朗运动.根据G-期望表示定理,我们有以下Ito-Tanaka公式|Bt-a|=|a|+∫0t sgn（Bs-a）dBs+Lt（a）,q.s.,这里Lt（a）称为G-期望EG[·]下G-布朗运动B在a点的局部时.再由以下引理以及Skorokhod引理.我们即得G-布朗运动的反射原理.引理26.设（Bt）t≥0为1-维G-布朗运动,则随机积分∫0t sgn（Bs）dBs,t≥0,仍为G-布朗运动.定理27.设（Bt）t>0为1-维G-布朗运动,,（Lt（0））t≥0为布朗运动B在G-期望EG[.]下的局部时.那么,在EG[·]下,我们有（St-Bt,St）t≥0=（|Bt|,Lt（0））t≥0其中对t≥0,St=sups≤t Bs.类似地,假设G:R → 1R是被G控制的非线性函数,Peng构造了一个Lip（Ω）上的非线性G-期望EG[·]使得典则过程（Bt）t≥0 在EG[·]下是一个独立平稳增量过程,我们称其为1-维G-布朗运动.进而,以下G-布朗运动的反射原理成立.定理28.设（Bt）t≥0为1-维G-布朗运动,（Lt（0））t≥0为EG[·]下布朗运动B的局部时.那么,在G-期望EG下,（St-Bt,St）t≥0=（|Bt|.Lt（0））t≥0,其中St=sups≤t Bs,t≥0.
张卫锋[9]（2019）在《拓扑布洛赫振荡和若干特殊拓扑态的研究》文中研究说明近年来,拓扑绝缘体引起了物理学研究者广泛的兴趣。电子在发生拓扑相变的拓扑绝缘体的界面上具有单向传输的稳定性,这使得其在实现新型的电子器件方面具有诱人应用的前景。因此拓扑绝缘体成为近年来凝聚态物理研究的热点,并且该概念也很快渗透到了光学、电磁学、玻色-爱因斯坦凝聚体等物理学的其他学科方向。本博士论文研究了拓扑系统对传统的布洛赫振荡的影响,并研究和发现了若干特殊的线性和非线性拓扑本征态。主要研究工作和取得的成果如下:（1）在一维和二维周期螺旋波导阵列中,我们研究了光在横向折射率梯度下的传输行为。在波导纵向螺旋调制下,系统由于打破了时间反演对称性而成为拓扑体系,我们发现波包的演化依然表现出布洛赫振荡现象,其振荡的振幅和方向强烈依赖于波导的螺旋半径。通过调节螺旋半径,可以改变体系的能带结构,进而控制布洛赫振荡的振幅和方向。在特定的螺旋半径下,能带完全成为一个平带,这时任何光束在波导阵列中都是无衍射传输。（2）我们研究了拓扑边缘态的布洛赫振荡。我们发现,一个完整的布洛赫振荡经历了从某侧边缘态、逐渐转化为扩展的体态、耦合到另外一侧的边缘态、再反向耦合回来最终回到初始一侧的边缘态的过程。由于波包要穿过布里渊区两次才能完成一个布洛赫振荡,因此拓扑态的布洛赫振荡周期是普通体系的两倍。（3）我们研究了纵向调制的纳米金属线阵列中的光传输行为,并提出表面等离子体拓扑绝缘体（PTIs）的概念。利用金属纳米线的纵向调制,使得体系的时间反演对称性破缺,来获得非平庸的SPPs拓扑边缘态。该拓扑态具备了SPP模式和拓扑绝缘体的各自优势:既突破了光的衍射极限,又能在传输过程中免疫结构自身的缺陷而不发生后向散射。（4）在半导体微腔阵列中,我们详细地研究了自旋轨道耦合作用下的拓扑态。微腔中光子的TE和TM偏振模式的能级分裂,形成了人造的自旋轨道耦合系统,进而打破体系时间反演对称性。在一维SSH排列的微腔波导阵列中,我们研究了局域在能谱中央的拓扑零能模,并分析了时间反演对称性的破缺程度对零能模能级的调节作用。在二维微腔波导阵列中,研究了能沿着晶格边缘移动的拓扑零能模,并提出了一维零能模的概念。时间反演对称性的破缺,使得一维拓扑零能模解除了在相反传输方向上的能级简并,从而在传输过程中表现出一定的绕异性。另外,在有限大小的六边形石墨烯型晶格中,我们研究了环形边缘态的拓扑单向性。进一步地,在非线性响应、泵浦光和损耗的共同作用下,我们发现了拓扑带隙中的拓扑双稳态现象。（5）在玻色-爱因斯坦凝聚态体系中,我们系统地研究了塞曼晶格中拓扑态的布拉格散射现象。利用塞曼晶格自身的塞曼势场和自旋轨道耦合效应,打破了体系的时间反演对称性,获得了两种不同手性的拓扑边缘态（Rashba-SOC和Dresselhau-SOC）。再将这两种拓扑态进行耦合,形成局域在晶格界面上的拓扑态。通过在晶格界面上引入周期性微扰调制,实现了拓扑态的布拉格散射。当体系同时满足能量守恒定律和动量匹配条件时,两拓扑态模式之间能够高效率的相互转化。最后,在体系中引入非线性响应后,我们考虑两拓扑模之间的交叉位相调制和自位相调制,获得了稳定传输的布拉格拓扑孤子。
张清梅[10]（2019）在《含导数Non-Kerr项的NLSE和高阶色散Cubic-Quintic NLSE的精确解》文中提出非线性偏微分方程是数学领域中的一个重要分支,在实际生活中,它是被广泛用于描述流体力学、等离子体物理、光生物学、固体物理学、大气现象、工程及医学等问题中的一类重要模型.当我们想要理解这些物理现象原理时,必须对非线性偏微分方程的精确解进行求解,进而研究其非线性偏微分方程所描述的性质.因此,寻找求解非线性偏微分方程精确解的方法是极为重要的.一直以来,许多方法被用来求解非线性偏微分方程的精确解,但仍有许多具有重要物理意义的非线性偏微分方程未得出其精确解,故对许多非线性偏微分方程仍需深入的研究和分析,对其解空间需要不断的进行扩充及丰富.在本文中,分别应用首次积分法、特殊型（G’/G）-展开法及新映射法,求解含导数Non-Kerr项的高阶非线性薛定谔方程（NLSE）和高阶色散Cubic-Quintic非线性薛定谔方程的精确行波解.首先,引入适当的行波变换,将偏微分方程转化为常微分方程.其次,根据首次积分法、特殊型（G’/G）—展开法、新映射方法求解的基本概念及原理,借助Maple计算软件进行详细求解,从而得到方程的精确行波解.最后,给出了三种求解方法的适用形式,并通过与前人用不同方法所得的解进行比较,表明本文所得的精确解扩充和丰富了其己有的解空间.通过求解,本文得到了可由指数函数、三角函数和双曲函数表示的周期波解、孤立波解、明、暗孤子解及奇异孤子解等形式的解.从求解过程及所得结果来看,首次积分法、特殊型（G’/G）—展开法及新映射法都是求解非线性偏微分方程精确行波解的一种直接、简单、有效的方法,即通过借助Maple软件,可避免大量复杂繁琐的计算,从而得到更精确、更丰富的行波解.因此,这些方法可以推广到求解多系统的非线性偏微分方程中.
二、y=αx~2+bx+c在物理中的应用（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、y=αx~2+bx+c在物理中的应用（论文提纲范文）
（2）倏逝场在原子介质中非线性传播特性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 微纳波导中倏逝波与原子介质的相互作用及其研究进展 |
| 1.2.1 表面等离激元 |
| 1.2.2 金属-电介质波导 |
| 1.2.3 金属-电介质-金属波导 |
| 1.2.4 纳米光纤 |
| 1.3 表面等离激元非线性效应及其研究进展 |
| 1.4 表面等离激元的磁光调控及其研究进展 |
| 1.5 光孤子及非线性光脉冲的存储及读取研究进展 |
| 1.6 论文结构 |
| 第二章 理论方法 |
| 2.1 波导中电磁模式的分析方法 |
| 2.1.1 平面双层波导 |
| 2.1.2 平面三层波导 |
| 2.1.3 纳米光纤波导 |
| 2.2 光与相干介质相互作用的半经典理论 |
| 2.2.1 Maxwell-Bloch方程 |
| 2.3 微纳波导体系中处理光于相干介质相互作用的平均场近似方法 |
| 第三章 金属-电介质-金属波导结构中弱光场信号的俘获及轨迹操控 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 模型简介 |
| 3.3 表面等离激元的增益辅助传播及其线性传播性质 |
| 3.4 SPPs孤子的非线性演化方程 |
| 3.5 通过交叉相位调制用探测场 SPPs 孤子控制信号场 SPPs 孤子 |
| 3.5.1 在没有外磁场下控制信号场SPPs |
| 3.5.2 有外磁场下控制信号场SPPs |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 纳米光纤中基于电磁感应透明机制的光存储及读取的理论研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型 |
| 4.3 纳米光纤波导体系的EIT特性 |
| 4.3.1 初态 |
| 4.3.2 线性色散和慢光效应 |
| 4.4 纳米光纤界面上的超慢孤子 |
| 4.4.1 EIT存储的非线性理论 |
| 4.4.2 超慢孤子的存储与读取 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 掺杂稀土元素晶体材料量子干涉效应的理论分析 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 理论模型 |
| 5.3 线性性质 |
| 5.3.1 基态 |
| 5.3.2 线性色散关系 |
| 5.4 量子干涉性质分析 |
| 5.4.1 Λ型系统 |
| 5.4.2 V型系统 |
| 5.5 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 研究工作总结 |
| 6.2 拟开展的进一步研究工作 |
| 附录A 第三章中一些方程和系数的具体表达式 |
| 附录B 第四章中一些方程和系数的具体表达式 |
| B.1 纳米光纤的电场模式 |
| B.2 Bloch方程的各阶解的形式 |
| B.2.1 Bloch方程 |
| B.2.2 MB方程一阶解的具体形式 |
| B.3 有效MB方程 |
| 附录C 第五章中一些方程和系数的具体表达式 |
| C.1 Λ型和V型能级系统的光学Bloch方程及其一阶解 |
| C.2 两个系统中光谱分解的细节 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间发表的学术论文与研究成果 |
| 致谢 |
（3）合金化与杂质掺杂对半导体材料光电性能调控的理论研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 半导体材料及其基本性质简介 |
| 1.2 半导体的合金化及其对性质的影响 |
| 1.2.1 金属合金化及其特点 |
| 1.2.2 半导体合金化及其特点 |
| 1.2.3 合金化在半导体材料中的实际应用 |
| 1.3 半导体的杂质掺杂及其对性质的影响 |
| 1.3.1 半导体中的点缺陷及其掺杂作用 |
| 1.3.2 表面化学修饰诱导表面电荷转移掺杂 |
| 1.3.3 杂质掺杂在半导体材料中的实际应用 |
| 1.4 本论文的选题目的和意义 |
| 第二章 理论基础和计算方法 |
| 2.1 密度泛函理论基础 |
| 2.1.1 Born-Oppenheimer近似 |
| 2.1.2 Hartree-Fock近似 |
| 2.1.3 Hohenberg-Kohn定理 |
| 2.1.4 Kohn-Sham方程 |
| 2.1.5 交换关联泛函 |
| 2.2 计算方法 |
| 2.2.1 合金结构搜索 |
| 2.2.2 电-声相互作用 |
| 2.2.3 载流子有效质量 |
| 2.2.4 吸收系数 |
| 2.2.5 能级对齐 |
| 第三章 范德华SnSe_(2(1-x))S_(2x)合金的物性调控研究 |
| 3.1 范德华SnSe_(2(1-x))S_(2x)合金的带隙弯曲系数和电-声相互作用研究 |
| 3.1.1 引言 |
| 3.1.2 计算细节 |
| 3.1.3 结果与讨论 |
| 3.1.4 小结 |
| 3.2 范德华SnSe_(2(1-x))S_(2x)合金的载流子有效质量及各向异性研究 |
| 3.2.1 引言 |
| 3.2.2 计算细节 |
| 3.2.3 结果与讨论 |
| 3.2.4 小结 |
| 3.3 SnS_2中S原子空位有序化对光电性质的调控研究 |
| 3.3.1 引言 |
| 3.3.2 计算细节 |
| 3.3.3 结果与讨论 |
| 3.3.4 小结 |
| 第四章 钡作为掺杂元素调控铅基钙钛矿材料的毒性和光电特性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 计算细节 |
| 4.3 结果与讨论 |
| 4.4 小结 |
| 第五章 金刚石的表面电荷转移掺杂 |
| 5.1 过渡金属氧化物p型表面电荷转移掺杂氢终端金刚石 |
| 5.1.1 引言 |
| 5.1.2 计算细节 |
| 5.1.3 结果与讨论 |
| 5.1.4 小结 |
| 5.2 有机分子n型表面电荷转移掺杂氧/氟终端金刚石 |
| 5.2.1 引言 |
| 5.2.2 计算细节 |
| 5.2.3 结果与讨论 |
| 5.2.4 小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 作者简介 |
| 攻读博士学位期间公开发表的学术论文 |
| 致谢 |
（4）面向若干凸可行性问题的数值算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 选题的背景和意义 |
| 1.1.1 系统科学的发展历史 |
| 1.1.2 可行性问题的由来 |
| 1.1.3 凸可行性问题的介绍 |
| 1.2 凸可行性问题的一般类型 |
| 1.2.1 单调包含问题的研究进展 |
| 1.2.2 变分不等式问题的研究进展 |
| 1.2.3 不动点问题的研究进展 |
| 1.3 本文的主要内容和结构安排 |
| 1.4 基本概念和若干引理 |
| 第二章 变分不等式问题的弱收敛性算法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 修正惯性次-超梯度算法及其收敛性 |
| 2.3 数值实验 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 变分不等式问题的两种强收敛算法 |
| 3.1 算法提出思路 |
| 3.2 惯性Tseng-Mann型算法及其收敛性 |
| 3.3 惯性Tseng-粘滞迭代算法及其收敛性 |
| 3.4 Armijo步长准则下的收敛性分析 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第四章 关于双层变分不等式问题的强收敛算法 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 算法与收敛性分析 |
| 4.3 动力系统模型 |
| 4.4 网络宽带分配问题 |
| 4.4.1 数值算法 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 多集合极大单调包含问题的强收敛算法 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 算法与收敛性分析 |
| 5.3 数值实验 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 包含问题、不动点问题与零点问题之间的凸可行性研究 |
| 6.1 包含问题和零点问题之公共解 |
| 6.1.1 基本概念和若干引理 |
| 6.1.2 可变距离的分裂可行性算法与强弱收敛性分析 |
| 6.2 不动点问题和零点问题之公共解 |
| 6.2.1 混合显式与隐式的迭代算法与强弱收敛性分析 |
| 6.3 本章小结 |
| 第七章 Banach空间中的不动点问题及其强收敛算法 |
| 7.1 引言 |
| 7.2 Banach空间的相关内容 |
| 7.3 基本概念和若干引理 |
| 7.4 算法与收敛性分析 |
| 7.5 数值实验 |
| 7.6 本章小结 |
| 第八章 总结和展望 |
| 8.1 工作总结 |
| 8.2 未来工作展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的成果 |
（6）彩虹折射二维测量方法及含杂液滴/瞬态蒸发液滴串测量研究（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 研究背景及国内外研究现状 |
| 1.2.1 含杂液滴研究 |
| 1.2.2 液滴串瞬态蒸发研究 |
| 1.2.3 液滴测量技术简述 |
| 1.2.4 彩虹折射技术 |
| 1.3 本文研究思路与内容 |
| 第2章 二维彩虹折射测量方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 单点彩虹与一维彩虹简介 |
| 2.2.1 测量系统 |
| 2.2.2 散射角标定 |
| 2.3 二维彩虹折射法 |
| 2.3.1 测量系统 |
| 2.3.2 二维彩虹信号特征 |
| 2.3.3 散射角面标定方法 |
| 2.3.4 喷雾实验验证 |
| 2.3.5 误差分析 |
| 2.3.6 特点难点和应用展望 |
| 2.4 本章小结 |
| 第3章 含杂液滴表征测量 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 测量原理 |
| 3.2.1 二阶折射信号衰减的测量原理 |
| 3.2.2 内含物参数的测量原理 |
| 3.3 含杂液滴光散射信号模拟 |
| 3.3.1 模拟程序 |
| 3.3.2 模拟结果 |
| 3.4 含杂液滴表征实验 |
| 3.4.1 单波长测量实验 |
| 3.4.2 双波长测量实验 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 液滴串瞬态蒸发测量研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 单组分单液滴蒸发模型 |
| 4.2.1 Maxwell& Stefan–Fuchs模型 |
| 4.2.2 Abramzon& Sirignano模型 |
| 4.2.3 Yao,Abdel–Khalik& Ghiaasiaan模型 |
| 4.2.4 经验关联式 |
| 4.2.5 物性参数计算 |
| 4.3 相位彩虹折射法测量原理 |
| 4.4 实验装置 |
| 4.4.1 液滴串发生和成像系统 |
| 4.4.2 PRR测量系统 |
| 4.4.3 标定 |
| 4.5 结果和讨论 |
| 4.5.1 液滴串的PRR信号特性 |
| 4.5.2 反演的粒径、粒径变化和温度变化 |
| 4.5.3 液滴串速的测定 |
| 4.5.4 液滴间的相互作用的影响 |
| 4.5.5 其它问题 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 基于局部最小的彩虹信号反演算法研究 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 算法介绍 |
| 5.2.1 CAM理论 |
| 5.2.2 目标函数的建立 |
| 5.2.3 迭代方法 |
| 5.2.4 信号预处理 |
| 5.2.5 反演算法流程 |
| 5.3 数值验证 |
| 5.3.1 高精度迭代方法对比 |
| 5.3.2 快速迭代方法对比 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 全文总结与展望 |
| 6.1 全文总结 |
| 6.2 创新点 |
| 6.3 工作展望 |
| 附录 液滴串发生原理及装置 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
（7）不确定（分数阶）动力系统的首达时间问题（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 引言 |
| 1.1 选题背景及研究意义 |
| 1.2 国内外研究现状及动态 |
| 1.3 本文结构安排与创新点 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 不确定理论 |
| 2.2 不确定过程的首达时间 |
| 2.3 不确定分数阶微分方程 |
| 3 首达时间乐观值准则下不确定最优控制问题 |
| 3.1 首达时间乐观值准则下不确定最优控制模型 |
| 3.2 最优控制模型的等价转换 |
| 3.3 首达时间乐观值准则下投资组合模型 |
| 3.3.1 模型背景 |
| 3.3.2 投资组合模型的首达时间的分布函数 |
| 3.3.3 最优解及灵敏性分析 |
| 3.4 首达时间乐观值准则下一阶电路模型 |
| 3.4.1 模型背景 |
| 3.4.2 一阶电路模型的首达时间的分布函数 |
| 3.4.3 最优解及时间响应 |
| 3.5 本章小结 |
| 4 达到指标准则下不确定最优控制问题 |
| 4.1 达到指标准则下不确定最优控制模型 |
| 4.2 最优控制模型的等价转换 |
| 4.3 数值实例:达到指标准则下投资组合和一阶电路模型 |
| 4.4 本章小结 |
| 5 不确定分数阶系统的极值问题 |
| 5.1 不确定分数阶微分方程解的极值定理 |
| 5.2 极值的不确定逆分布的数值算法 |
| 5.3 不确定分数阶系统的美式期权定价 |
| 5.4 本章小结 |
| 6 不确定分数阶系统的首达时间问题 |
| 6.1 不确定分数阶微分方程解的首达时间定理 |
| 6.2 首达时间的不确定分布的数值算法 |
| 6.3 不确定分数阶系统的风险指标 |
| 6.4 本章小结 |
| 7 结论及展望 |
| 7.1 论文的工作总结 |
| 7.2 今后的研究方向 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
（8）非线性期望下的随即场理论及相关问题研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 非线性期望理论预备知识 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 非线性期望理论 |
| 1.3 G-正态分布 |
| 1.4 G-布朗运动 |
| 第二章 次线性期望下的高斯随机场及时空白噪声 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 次线性期望下的G-高斯随机场 |
| 2.2.1 非线性期望空间中的随机场 |
| 2.2.2 次线性期望空间中的高斯随机场 |
| 2.3 次线性期望下的空间G-白噪声 |
| 2.3.1 空间G-白噪声存在性定理 |
| 2.3.2 关于空间G-白噪声的随机积分 |
| 2.3.3 空间G-白噪声的另一种构造方法 |
| 2.4 次线性期望下的时空G-白噪声 |
| 2.4.1 基本定义和相关性质 |
| 2.4.2 关于时空G-白噪声的随机积分 |
| 2.5 空间G-白噪声的轨道刻画 |
| 2.5.1 次线性期望的概率表示 |
| 2.5.2 空间G-白噪声的连续性 |
| 2.5.3 空间G-白噪声的轨道刻画 |
| 2.6 本章小结 |
| 第三章 时空G-白噪声驱动的随机热方程 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 随机积分扩张 |
| 3.2.1 Bochner积分扩张 |
| 3.2.2 随机积分扩张 |
| 3.3 随机Fubini定理 |
| 3.4 时空G-白噪声驱动的随机热方程 |
| 3.4.1 线性随机热方程 |
| 3.4.2 随机热方程 |
| 3.5 本章小结 |
| 第四章 G-布朗运动的Levy鞅刻画和反射原理 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 相容次线性期望空间 |
| 4.3 G-布朗运动的Levy鞅刻画 |
| 4.4 G-布朗运动和非线性G-布朗运动的反射原理 |
| 4.4.1 G-布朗运动的反射原理 |
| 4.4.2 非线性G-布朗运动的反射原理 |
| 4.5 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（9）拓扑布洛赫振荡和若干特殊拓扑态的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 光学晶格 |
| 1.2.1 周期性光学晶格 |
| 1.2.2 光学晶格的实验实现 |
| 1.3 耦合模理论 |
| 1.3.1 介质波导阵列中的耦合波方程 |
| 1.3.2 金属纳米线阵列中的耦合波方程 |
| 1.4 光子拓扑绝缘体 |
| 1.4.1 拓扑相变和陈数 |
| 1.4.2 纵向螺旋调制体系中的拓扑态 |
| 1.4.3 时间驱动调制体系中的拓扑态 |
| 1.4.4 自旋轨道耦合(SOC)体系中的拓扑态 |
| 1.5 本论文的主要研究内容及创新点 |
| 第二章 拓扑体系中的布洛赫振荡 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 螺旋波导阵列中的布洛赫振荡 |
| 2.2.1 理论模型 |
| 2.2.2 计算结果与讨论 |
| 2.3 自旋轨道耦合体系中拓扑态的布洛赫振荡 |
| 2.3.1 理论模型 |
| 2.3.2 计算结果与讨论 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 等离子体拓扑绝缘体 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 单根金属纳米线模式分析 |
| 3.3 纵向调制波导阵列中的等离子体拓扑态 |
| 3.3.1 理论模型 |
| 3.3.2 计算结果与讨论 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 半导体光学微腔阵列中的拓扑零能模和双稳态 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 时间反演对称性破缺系统中的拓扑零能模 |
| 4.2.1 理论模型 |
| 4.2.2 零维拓扑零能模的能级可调性 |
| 4.2.3 一维拓扑零能模的空间移动性 |
| 4.3 拓扑绝缘体中的双稳态 |
| 4.3.1 理论模型 |
| 4.3.2 平面波型泵浦光激发的拓扑双稳态 |
| 4.3.3 涡旋型泵浦光激发的拓扑双稳态 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 塞曼晶格中的布拉格散射和拓扑孤子 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 玻色-爱因斯坦凝聚态中的自旋轨道耦合 |
| 5.3 塞曼晶格中拓扑态 |
| 5.3.1 二维周期能带和陈数 |
| 5.3.2 一维周期能带和模式 |
| 5.4 拓扑边缘态的布拉格散射 |
| 5.4.1 理论模型 |
| 5.4.2 拓扑态的绕异性 |
| 5.4.3 拓扑态的布拉格散射 |
| 5.5 布拉格拓扑孤子 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 总结与展望 |
| 6.1 主要工作 |
| 6.2 今后的工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表的学术论文 |
（10）含导数Non-Kerr项的NLSE和高阶色散Cubic-Quintic NLSE的精确解（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外的研究现状 |
| 1.3 研究内容及创新之处 |
| 第2章 基本方法 |
| 2.1 首次积分法 |
| 2.1.1 概念及原理 |
| 2.1.2 基本方法 |
| 2.2 特殊型(G'/G)-展开法 |
| 2.2.1 概念及原理 |
| 2.2.2 基本方法 |
| 2.3 新映射法 |
| 2.3.1 概念及原理 |
| 2.3.2 基本方法 |
| 2.4 三种求解方法的比较 |
| 第3章 含导数Non-Kerr项的高阶非线性薛定谔方程的精确解 |
| 3.1 化简方程 |
| 3.2 首次积分法求其精确解 |
| 3.3 特殊型(G'/G)-展开法求其精确解 |
| 3.4 新映射法求其精确解 |
| 3.5 小结 |
| 第4章 高阶色散Cubic-Quintic非线性薛定谔方程的精确解 |
| 4.1 化简方程 |
| 4.2 首次积分法求其精确解 |
| 4.3 特殊型(G'/G)-展开法求其精确解 |
| 4.4 新映射法求其精确解 |
| 4.5 小结 |
| 第5章 三种求解方法的适用形式及其所得解的比较 |
| 5.1 适用形式 |
| 5.1.1 首次积分法的适用形式 |
| 5.1.2 特殊型(G'/G)-展开法的适用形式 |
| 5.1.3 新映射法的适用形式 |
| 5.2 所得解的比较 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 在读期间完成的研究成果 |
四、y=αx~2+bx+c在物理中的应用（论文参考文献）
- [1]几类可积Hamilton系统的Eisenhart提升[D]. 李雯. 安庆师范大学, 2021
- [2]倏逝场在原子介质中非线性传播特性研究[D]. 周勇. 山东师范大学, 2021
- [3]合金化与杂质掺杂对半导体材料光电性能调控的理论研究[D]. 王雪婷. 吉林大学, 2021(01)
- [4]面向若干凸可行性问题的数值算法研究[D]. 刘丽亚. 电子科技大学, 2021(01)
- [5]磁场中拓扑物态的量子输运[J]. 强晓斌,卢海舟. 物理学报, 2021(02)
- [6]彩虹折射二维测量方法及含杂液滴/瞬态蒸发液滴串测量研究[D]. 李灿. 浙江大学, 2020(03)
- [7]不确定（分数阶）动力系统的首达时间问题[D]. 金婷. 南京理工大学, 2020(01)
- [8]非线性期望下的随即场理论及相关问题研究[D]. 纪晓君. 山东大学, 2019(02)
- [9]拓扑布洛赫振荡和若干特殊拓扑态的研究[D]. 张卫锋. 上海交通大学, 2019(06)
- [10]含导数Non-Kerr项的NLSE和高阶色散Cubic-Quintic NLSE的精确解[D]. 张清梅. 云南财经大学, 2019(02)