时滞依赖状态变量非线性发展方程的稳定性问题研究

论文摘要

时滞依赖状态变量发展方程是一类非常重要的泛函微分方程,因其能更精确地刻画现实世界的某些问题,近些年关于此类方程的研究引起了众多学者的广泛关注,但是同时也由于此类时滞的复杂性,给研究带来了挑战,相关的基础理论亟待完善。本文主要研究时滞依赖状态变量非线性发展方程的稳定性问题,分别从两个不同的角度考虑系统稳定性问题,即建立两类时滞依赖状态变量非线性发展方程的线性稳定性准则,并应用Lyapunov第二方法研究一类具双时滞依赖状态变量的病毒细胞扩散系统的稳定性问题,主要工作如下:（一）对如下滞量依赖状态变量变化的有限时滞非线性发展方程（?）建立线性稳定性理论,方程中A:D（A）（?）X→X是Banach空间X上的有界线性算子半群{T（t）}t≥0的无穷小生成元,时滞项包含了离散时滞依赖状态变量和分布时滞依赖状态变量。我们首先应用Arzela-Ascoli定理,Schauder不动点定理,Banach不动点定理结合强连续半群理论给出了方程适度解（mild solution）存在性。其次利用扇形算子理论得到方程的经典解的存在性、唯一性。进而先给出误差估计,再应用强连续半群理论,常数变易公式,Gronwall-Bellman不等式,证明线性稳定性定理,继而应用扇形算子理论,在两种不同假设条件下,构造性地证明线性不稳定性定理。最后,应用以上的理论结果分析一类血液循环系统的稳定性。（二）对如下具无穷时滞依赖状态变量的非线性发展方程（?）建立线性稳定性理论,其中激为满足某些公理的抽象相空间,时滞项不仅包括离散时滞依赖状态变量、分布时滞依赖状态变量,还包括无穷时滞作为其特殊情况,而且时滞量的无穷性将导致理论应用于实际问题时相空间的选择工作是非平凡的,一方面需要严格地满足某些公理,另一方面又需要密切结合研究问题的特性,更关键地,还导致解半群缺乏紧性,这意味着在无穷维空间中开展研究将面临更多的困难。我们首先应用Banach不动点定理结合强连续半群理论得到方程适度解存在性。其次利用扇形算子理论给出方程的经典解的存在性、唯一性。进而先给出一个误差估计,再利用强连续半群理论,常数变易公式,证明线性稳定性定理,继而应用扇形算子理论,在两种不同假设条件下,构造性的证明线性不稳定性定理。最后,应用以上的理论研究具有遗传效应单种群扩散系统的稳定性问题。（三）利用动力系统理论结合Lyapunov泛函方法研究如下具双时滞依赖状态变量的病毒细胞扩散系统的稳定性问题:（?）首先应用前面关于经典解的理论得到系统解的存在性、唯一性。然后在一个非线性空间上赋予适当的一致收敛拓扑使其完备,进而将系统描述为一个动力系统,再结合构建的Lyapunov泛函和LaSalle不变性原理,研究系统内部平衡点的稳定性。同时还将构建的Lyapunov泛函,拓展应用到当靶细胞具有Logistic增长率和强Allee效应增长率时系统稳定性问题的分析中。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第1章 绪论
•   1.1 时滞依赖状态变量非线性发展方程的研究背景和现状
•     1.1.1 时滞依赖状态变量非线性发展方程的背景
•     1.1.2 时滞依赖状态变量发展方程研究现状
•   1.2 本文的主要工作
• 第2章 预备知识
• 第3章 有限时滞依赖状态变量非线性发展方程线性稳定性准则
•   3.1 前言
•   3.2 解的存在性
•   3.3 线性稳定性准则
•     3.3.1 线性稳定
•     3.3.2 线性不稳定
•   3.4 具时滞依赖状态变量的反应扩散方程
•   3.5 应用例子
• 第4章 无穷时滞依赖状态变量非线性发展方程线性稳定性准则
•   4.1 前言
•   4.2 主要结果
•     4.2.1 解的存在性
•     4.2.2 线性稳定性准则
•   4.3 应用例子
• 第5章 时滞依赖状态变量的病毒扩散系统稳定性
•   5.1 引言
•   5.2 准备工作
•   5.3 主要结果
•     5.3.1 解的正性与有界性
•     5.3.2 稳态解
•     5.3.3 内部平衡点稳定性
•   5.4 讨论
•     5.4.1 Logistic增长率
•     5.4.2 强Allee效应增长率
•   5.5 本章总结
• 结论
• 参考文献
• 攻读博士学位期间发表的论文及其他
• 致谢
• 个人简历

文章来源

类型: 博士论文

作者: 梁吉泰

导师: 魏俊杰

关键词: 时滞依赖状态,非线性发展方程,线性稳定性准则,泛函,反应扩散

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: O175

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.000244

总页数: 124

文件大小: 2467K

下载量: 75