组合矩阵的解析性质

论文摘要

组合矩阵是组合数学中的基本研究对象,本文研究了只具有实特征值的组合矩阵的若干解析性质,如矩阵的全正性、矩阵作为双指标序列的渐近正态性、矩阵的（p,q）-交替性等.主要研究内容分为以下三个部分.第一部分研究Delannoy三角的解析性质.Delannoy三角与经典的组合矩阵Pascal三角具有很多共性,它们的元素都具有丰富的组合解释.本部分首先研究了 Delannoy多项式的零点,证明了 Delannoy多项式的实零点性,从而说明了 Delannoy三角的行序列具有Polya frequency性质.其次,借助Delannoy多项式的零点,得到了 Delannoy三角作为双指标序列的渐近正态性.最后,研究了 Delannoy-like三角的全正性,从而得到了 Pascal三角、Fibonacci三角、Delannoy三角等一些组合三角的全正性.第二部分研究图矩阵的（p,q）-交替性.图矩阵包括邻接矩阵、Laplacian矩阵、正规Laplacian矩阵等.本部分利用矩阵的惯性指标刻画了特征值的不等式关系.作为应用,首先得到了一些经典的特征值交替不等式,如Cauchy交替定理、包容原理、Weyl不等式等.其次给出了判断矩阵（p,q）-交替性的充要条件,从而得到了图矩阵在一些变换下的（p,q）-交替性.第三部分研究Hermite矩阵的（p,q）-交替性.为了研究有向图的性质,人们借助Hermite矩阵引入Heramite Laplacian矩阵、Hermite正规Laplacian矩阵等.本部分首先研究了有向图在去边扰动下,Hermite Laplacian矩阵的交替性和Hermite正规Laplacian矩阵的相容性.其次,Weyl不等式描述了 Hermite矩阵在Hermite加性扰动下的（p,q）-交替性.通过研究多项式的（p,q）-交替性,证明了 Weyl不等式的逆命题是成立的.

论文目录

• 摘要
• Abstract
• 1 绪论
•   1.1 基本概念
•   1.2 研究背景
•     1.2.1 全正性
•     1.2.2 渐近正态性
•     1.2.3 （p,q）-交替性
•   1.3 组合矩阵
•     1.3.1 Delannoy三角
•     1.3.2 图矩阵
•     1.3.3 Hermite矩阵
•   1.4 本文主要研究思路与内容
• 2 Delannoy三角的解析性质
•   2.1 Delannoy三角
•   2.2 Delannoy多项式及其零点
•   2.3 Delannoy三角的渐近正态性
•   2.4 Delannoy-like三角的全正性
•     2.4.1 Delannoy-like三角及其逆
•     2.4.2 Delannoy-like三角的全正性
•   2.5 本章小结
• 3 图矩阵的（p,q）-交替性
•   3.1 图矩阵
•   3.2 主要结论
•   3.3 图矩阵的相容性
•   3.4 图矩阵的k-相容性
•   3.5 本章小结
• 4 Hermite矩阵的（p,q）-交替性
•   4.1 Hermite矩阵的交替性
•   4.2 Hermite矩阵的（p,q）-交替性
•   4.3 Weyl不等式及其逆
•   4.4 本章小结
• 5 结论与展望
•   5.1 结论
•   5.2 展望
• 参考文献
• 攻读博士学位期间科研项目及科研成果
• 致谢
• 作者简介

文章来源

类型: 博士论文

作者: 郑赛男

导师: 王毅

关键词: 三角,正规矩阵,矩阵,零点交替性,渐近正态性,全正性

来源: 大连理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 大连理工大学

分类号: O157

DOI: 10.26991/d.cnki.gdllu.2019.003572

总页数: 84

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