非线性弱阻尼波方程的长时间动力学行为研究

论文摘要

本文主要研究弱耗散波方程解的整体适定性及其长时间动力学行为.首先,本文在局部一致空间中讨论了R3上自治超三次弱阻尼波方程（1）的初值问题,利用有界域上线性波方程的Strichartz估计证明了方程Shatah-Struwe解的整体存在性和唯一性.由于区域的无界性、非线性项的超临界增长以及方程本身的特性带来的困难,我们发展了[32,48,73]中“收缩函数”的思想方法来证明方程（1）的渐近紧性.进一步,我们建立了其对应系统的（Hlu1（R3）×Llu2（R3）,Hρ1（R3）×Lρ2（R3））全局吸引子的存在性.同时,我们在局部一致空间中建立了方程（1）的Strichartz型估计,进一步丰富和发展了波方程的Strichartz型估计的理论内容.其次,在非自治情形下,本文对有界域上的带有非平移紧外力的超临界弱阻尼波方程（1）解的适定性及其动力学行为进行了研究.主要包括:1)借助于外力函数g的平移有界性以及有界域上波方程的Strichartz估计,建立非自治5次增长弱阻尼波方程的Shatah-Struwe解在自然能量空间中的全局适定性.2)证明了系统（1）的Shatah-Struwe解过程具有一定的弱连续性.3)建立了带有非平移紧外力的超临界弱阻尼波方程强一致吸引子的存在性及其结构的刻画.考虑到非线性项超3次增长、外力项非平移紧以及波方程本身的特性带来的影响,我们结合已建立的时间正则外力g相关的收敛性关系（见定理4.3.1）,运用非自治情形下双曲型发展方程的收缩函数方法证明了该系统的一致渐近紧性.同时,我们利用S.V.Zelik[85]处理非平移紧外力而发展的能量方法,给出了超3次情形下该系统一致渐近紧性的另一种证明.最后,本文研究了R3上非自治超三次弱阻尼波方程（1）在局部一致空间中解的长时间行为.对依赖时间的外力g∈Lb2（R;Llu2（R3））,建立了超3次弱耗散波方程的Shatah-Struwe解的全局适定性.由于区域的无界性以及非线性项的超临界增长使得通常意义下的紧性缺失,我们构造出了方程Shatah-Struwe解的能量不等式,并运用收缩函数的方法建立了系统的Shatah-Struwe解过程的（Hlu1（R3）×Llu2（R3）,Hρ1（R3）×Lρ2（R3））-拉回渐近紧性,进而利用非自治系统吸引子的判别定理证明了系统的（Hlu1（R3）×Llu2（R3）,Hρ1（R3）×Lρ2（R3））-拉回吸引子的存在性.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 第一章 前言
•   1.1 研究背景及研究进展
•   1.2 研究内容
• 3上的超三次弱阻尼波方程'>    1.2.1 在R³上的超三次弱阻尼波方程
•     1.2.2 带有非平移紧外力的超临界弱阻尼波方程
•   1.3 论文结构
• 第二章 预备知识
•   2.1 函数空间
•     2.1.1 Sobolev空间
•     2.1.2 局部一致空间
•   2.2 吸引子
•     2.2.1 全局吸引子与一致吸引子
•     2.2.2 拉回吸引子及拉回D-吸引子
•   2.3 预备性引理
• 3上超三次弱阻尼波方程全局吸引子的存在性'>第三章 R³上超三次弱阻尼波方程全局吸引子的存在性
•   3.1 Shatah-Struwe解的局部存在性
•   3.2 Shatah-Struwe解的整体适定性
•   3.3 全局吸引子
• lu¹（R³）×L_lu²（R³）中有界吸收集'>    3.3.1 H_lu¹（R³）×L_lu²（R³）中有界吸收集
• lu¹（R³）×L_lu²（R³）,H_ρ¹（R³）×L_ρ²（R³）)-渐近紧性'>    3.3.2 (H_lu¹（R³）×L_lu²（R³）,H_ρ¹（R³）×L_ρ²（R³）)-渐近紧性
• lu¹（R³）×L_lu²（R³）,H_ρ¹（R³）×L_ρ²（R³）)-全局吸引子'>    3.3.3 (H_lu¹（R³）×L_lu²（R³）,H_ρ¹（R³）×L_ρ²（R³）)-全局吸引子
•   3.4 注记
• 第四章 非平移紧外力下超临界弱阻尼波方程的动力学行为
•   4.1 Shatah-Struwe解的全局存在性与唯一性
•   4.2 解过程U（·,·）的弱连续性
•   4.3 一致吸引子
•     4.3.1 能量不等式
•     4.3.2 一致渐近紧性
•   4.4 附录:能量方法
• 3上非自治弱耗散波方程解的长时间行为'>第五章 R³上非自治弱耗散波方程解的长时间行为
•   5.1 Shatah-Struwe解的局部适定性
•     5.1.1 Shatah-Struwe解的局部存在性
•     5.1.2 Shatah-Struwe解的唯一性
•   5.2 Shatah-Struwe解的整体存在性
•   5.3 拉回吸引子
•     5.3.1 Shatah-Struwe解生成的过程U（·,·）
•     5.3.2 拉回渐近紧性
• 第六章 总结与展望
• 参考文献
• 在学期间的研究成果
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 梅鑫钰

导师: 孙春友

关键词: 弱阻尼波方程,超临界非线性,吸引子,局部一致空间,非平移紧外力

来源: 兰州大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 兰州大学

分类号: O175.2

DOI: 10.27204/d.cnki.glzhu.2019.000242

总页数: 103

文件大小: 3590K

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