仲费米子模型中的拓扑相及XY模型中耗散的研究

论文摘要

强关联量子多体系统一直是凝聚态物理领域研究的热点。凝聚态中一些重要的物理现象包括高温超导,分数量子霍尔效应以及自旋液体,都与强关联效应相关。除了极少数一些精确求解的方法（Betheansatz）,理论上一直缺少对这类模型系统求解的方法。在近三十年的发展中,比较成功的解决强关联系统的数值方法包括量子蒙特卡罗方法,动力学平均场,密度矩阵重整化群方法等,其中在处理一维格点模型时候比较有效算法当属密度矩阵重整化群。另一方面,近二十年来人们在量子系统调控技术方面取得重要进展,特别是在冷原子系统中通过Feshbach共振可以自由调节原子-原子相互作用,以及通过光晶格实现晶格系统,使得人们可以用冷原子系统模拟一些凝聚态中的多体量子系统,这为量子多体系统的研究开辟了新的道路。随着量子模拟技术的发展,一些有趣的量子多体玩具模型被提出来,这其中就包括仲费米子模型（或者钟表模型）。在强关联量子系统中,拓扑序是近些年发现的一种新的物质形态,最早发现的拓扑态是分数量子霍尔态。对拓扑序的分类超越了传统的朗道基于对称破缺理论对物相的分类。具有拓扑序的系统一般都是强关联的多体量子系统,它们可以用拓扑量子场论来描述。这些系统往往具有任意子类型的准粒子激发,以及非平庸的基态简并。量子信息可以存储在这些准粒子编码的简并量子态中,对这些准粒子编织可以实现拓扑量子计算。拓扑系统的一大特点就是它对局域微扰的稳定性,这些局域微扰一般都是针对封闭系统而言的。但是由于真实实验上的物理系统都是开放系统,将一个热库包含进整个系统往往是不现实的,因此拓扑系统对开放环境噪声的稳定性仍然是一个值得研究的问题,例如耗散对拓扑量子信息存储的影响就是一个有意义的研究方向。同时,开放量子多体系统的演化问题本身就是量子物理中一个重要问题,精确可解的主方程描述的开放量子系统仍然限于一些特殊的单个粒子,单个自旋或者谐振子模型。事实上,最近已经有研究表明一些多体量子主方程可以用单粒子方法精确求解,然而这仍然只是很少的一部分系统。我们利用密度矩阵重整化群和精确对角化方法研究了一维扩展Z3仲费米子模型的相图,这个模型可以通过Jordan-Wigner变换变成钟表模型。我们发现在大塞曼场极限下,每一个格点投影到一个单态或者一个两重态上,在后者情况下,我们看到这个模型可以光滑变化到传统的自旋1/2系统,体现了仲费米子到正则费米子的渐进行为或者Z2自旋模型在Z3模型的呈展（emergent）现象。我们通过推广自旋1/2系统的研究工具例如序参量和关联函数到Z3模型,将模型整个相图完全确定下来,丰富的相被揭示出来,包括拓扑铁磁仲费米子相（FP）,平庸的顺磁仲费米子相（PP）,自旋流体相（SF）,二聚（dimer）相,手征（chiral）相以及可公度相（C）。令人惊奇的的是,所有的相边界最终汇聚到一个超级临界点上,不同的相可以认为是在这个高对称点发生某种对称破缺。接着这个工作我们又研究了另一种交替仲费米模型,延续寻找呈展现象的研究方法,我们发现在这个模型中会出现呈展的Haldane相。为了表征这个对称保护的拓扑相,我们推广了 Z2自旋模型中的弦序参量到Z3系统,同时利用纠缠谱和基态简并进一步强化了这一结论。紧接着进行对称保护拓扑相的研究,在另外一个扩展Z3 × Z3钟表模型中,我们通过推广Jordan-Wigner变换,将模型变成两条脱耦的仲费米子链。利用这个方法我们发现了一种反常的无能隙对称保护的拓扑相。这种相的特点是,在不破坏Z3×Z3对称性的微扰下,系统的基态和低能激发态总是保持三重简并,并且基态在开边界和闭边界下具有不同的基态简并,反应了边界态的存在。另外我们还验证了这种态的纠缠谱也是三重简并的。我们的工作为研究其他在仲费米子模型中更反常的拓扑相的问题提供了一种新的思路。另一方面,我们还研究了一个具有边界耗散的XY模型的弛豫行为,这个模型可以通过Jordan-Wigner变换变成一个具有边界耗散的拓扑超导模型。这个模型具有马约拉纳零模,一般认为可以进行拓扑量子存储。研究边界耗散的XY模型就等价于研究拓扑量子态在边界耗散下的退相干行为。我们首先将模型写在马约拉纳表象下,发现不同数目的马约拉纳空间是相互脱耦的。在长时间极限下,我们发现系统的弛豫是完全由单粒子耗散决定的。通过将单粒子耗散方程映射到非厄米的薛定谔方程,我们分别用线性展开和微扰理论理解了单粒子弛豫在弱耗散和强耗散极限下的行为。我们发现了大耗散会导致长时间的弛豫这种反常的行为。另一方面我们还分析了边界态和体态在耗散中起到的作用,结果发现边界态是最容易受到耗散影响的,而体态却给出了最长时间的弛豫。我们的工作从一个新的视角研究拓扑量子存储在开放系统的耗散问题,暗示拓扑信息存储在开放环境噪音下可能并不稳定,这一问题有待进一步研究。

论文目录

• 摘要
• ABSTRACT
• 第一章 矩阵直积态和密度矩阵重整化群
•   1.1 量子纠缠与施密特分解
•     1.1.1 施密特分解与奇异值分解
•     1.1.2 量子纠缠及冯诺依曼熵
•   1.2 有能隙的局域哈密顿量中基态的面积律
•   1.3 无能隙（Gapless）态纠缠熵的标度行为
•   1.4 矩阵直积态表示
•     1.4.1 一般态的矩阵直积态分解
•     1.4.2 正则表示
•     1.4.3 矩阵直积态图表示
•   1.5 无穷链矩阵直积态
•     1.5.1 iTEBD算法
•   1.6 密度矩阵重整化群
•     1.6.1 矩阵直积算符
•     1.6.2 DMRG算法
•     1.6.3 iDMRG算法
• 第二章 一维扩展的仲费米子模型相图
•   2.0 对仲费米子一词翻译的简单介绍
•   2.1 非阿贝尔任意子与拓扑量子计算
•     2.1.1 量子统计,基本粒子的分类以及它们的几何解释
•     2.1.2 非阿贝尔任意子
•     2.1.3 贝里（Berry）相位与非阿贝尔（non-Abelian）统计
•   2.2 马约拉纳零模与拓扑量子计算
•     2.2.1 马约拉纳零模编码的多体基态
•     2.2.2 马约拉纳零模的编织统计特性
•   2.3 仲费米子模型与钟表模型
• 3仲费米子模型'>    2.3.1 Z₃仲费米子模型
•     2.3.2 对σ和τ算符的矩阵表示
• 3钟表模型基态简并'>    2.3.3 Z₃钟表模型基态简并
• 3仲费米子模型和钟表模型'>    2.3.4 周期边界的Z₃仲费米子模型和钟表模型
•     2.3.5 任意子Hubbard模型与仲费米子模型比较
•     2.3.6 Fock仲费米子算符
•     2.3.7 分数量子霍尔态中的仲费米子零模
•     2.3.8 仲费米子零模的编织性质
•     2.3.9 强零模与自由仲费米子模型
•     2.3.10 仲费米子的马约拉纳费米子的一一对应
•   2.4 扩展的一维仲费米子模型
•   2.5 特殊点的一般物理
•   2.6 相图和特征
•     2.6.1 呈展的XX模型
•     2.6.2 拓扑相和相关的相变
•     2.6.3 自旋流体相、手征相和二聚相的特征
•     2.6.4 可公度相
•   2.7 超级临界点的讨论
•   2.8 结论以及评注
•     2.8.1 评论（Ⅰ）:仲费米子和正则（canonical）费米子之区别
•     2.8.2 评论（Ⅱ）:多相边界和超级临界点
• 第三章 仲费米子模型中的对称保护的拓扑相（SPT）
•   3.0 SPT和SET相以及区别
•   3.1 矩阵直积态的对称变换
•   3.2 投影表示（Projective representation）及分类
•   3.3 三个可解模型以及构造法
•     3.3.1 Majumdar-Ghosh模型
•     3.3.2 AKLT模型
•     3.3.3 Cluster模型
•   3.4 对称分解
•     3.4.1 Cluster模型
•     3.4.2 钟表模型
•     3.4.3 Kitaev链模型
•   3.5 Haldane相（Haldane phase）
•     3.5.1 纠缠谱简并
•     3.5.2 弦序参量
•     3.5.3 弦序参量与隐藏自发对称破缺序
• N×Z_N推广'>    3.5.4 Z_N×Z_N推广
•     3.5.5 自旋1/2铁磁反铁磁交替哈森堡模型
• 3仲费米链中呈展的Haldane相'>  3.6 Z₃仲费米链中呈展的Haldane相
•     3.6.1 引言
•     3.6.2 模型
•     3.6.3 相图
•     3.6.4 呈展的Haldane相和拓扑相变
•     3.6.5 长程弦序参量
•     3.6.6 中心荷和纠缠谱
•     3.6.7 简并性的拓扑保护
•     3.6.8 小结
•   3.7 两条仲费米子链衍生的无能隙的对称保护拓扑相
•     3.7.1 引言
•     3.7.2 模型
• 3×Z₃钟表模型的相图'>    3.7.3 Z₃×Z₃钟表模型的相图
•     3.7.4 有能隙的对称保护拓扑相
•     3.7.5 无能隙对称保护的拓扑相
•     3.7.6 相互作用
•     3.7.7 小结
• 第四章 开放多体量子系统
•   4.1 Lindblad方程
•     4.1.1 密度矩阵
•     4.1.2 单个量子比特密度矩阵
•     4.1.3 超算符
•     4.1.4 主方程的推导
•     4.1.5 常见的的耗散通道
•     4.1.6 Lindblad方程的向量化
•     4.1.7 谱性质
•   4.2 多体Lindblad方程
•     4.2.1 多体系统密度矩阵
•     4.2.2 一类可以精确求解的Lindblad方程
• 第五章 具有边界耗散的XY模型的动力学
•   5.1 拓扑量子比特和拓扑量子存储
•     5.1.1 Kitaev链模型
•     5.1.2 横场伊辛模型和Kitaev模型的对应
•     5.1.3 开放系统中的Kitaev链
•   5.2 物理模型
•     5.2.1 XY模型和费米模型的对应
•     5.2.2 XY模型的奇偶效应
•     5.2.3 边界模式
•   5.3 非平衡稳态
•     5.3.1 基态的演化
•   5.4 长时间的弛豫行为
•   5.5 单粒子弛豫时间
•   5.6 单体动力学与多体动力学的关系
•   5.7 长链极限下的单粒子弛豫行为
•   5.8 微扰理论
•   5.9 拓扑比特的耗散
•   5.10 小结
•   5.11 评注:经典模型和量子模型的关联
• 第六章 总结与展望
• 附录A Jordan-Wigner变换
• 附录B 扩展的仲费米子模型附录
•   B.1 理论方法
• +的本征值和本征态'>    B.1.1 算符τ+τ⁺的本征值和本征态
•     B.1.2 时称性
•     B.1.3 基态三重简并
•     B.1.4 手征序参量
•     B.1.5 扩展XX模型的二聚相
•   B.2 数值方法
•     B.2.1 关于精确对角化和DMRG的细节
•     B.2.2 计算拓扑铁磁仲费米子相的细节
•     B.2.3 计算手征序参量的细节
• 附录C 反对称矩阵的性质
•   C.1 实反对称矩阵
•   C.2 复反对称矩阵
• 附录D Lanczos算法
•   D.1 幂算法
•   D.2 Lanczos迭代
•   D.3本征值问题的应用
• 3×Z₃钟表模型补充材料'>附录E Z₃×Z₃钟表模型补充材料
•   E.1 模型
•   E.2 对偶变换
•   E.3 另一个变换
•   E.4 相边界的确定
•   E.5 弦序参量作为隐藏的对称破缺相
• 附录F 偶数格点大耗散和小耗散极限的计算
• 附录G 三对角阵的计算方法以及和物理模型的等价关系
• 参考文献
• 致谢
• 在读期间发表的学术论文与取得的研究成果

文章来源

类型: 博士论文

作者: 张舜尧

导师: 周正威,龚明

关键词: 量子多体系统,非阿贝尔任意子,仲费米子,拓扑相,边界耗散,超级临界点

来源: 中国科学技术大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 物理学

单位: 中国科学技术大学

分类号: O469

DOI: 10.27517/d.cnki.gzkju.2019.000020

总页数: 227

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