摘要：针对直觉模糊群决策问题，依据专家的直觉模糊评价信息，利用直觉模糊相似度和相异度构造直觉模糊相似矩阵，为了得到合理的专家聚类结果，设计风险参数并提出聚类阈值变化率分析方法，综合聚类结果和直觉模糊熵对各专家进行组合赋权。提出基于离散正态分布的位置权重确定方法，构造直觉模糊集混合加权集结算子对各专家关于方案集的直觉模糊评价信息进行综合集成。结合算例验证了方法的可行性和有效性。
关键词：直觉模糊群决策；聚类；直觉模糊熵；直觉模糊混合加权算子
1 引言
直觉模糊群决策问题是通过对各决策者给出的各方案直觉模糊评价信息进行集结，从而对备选方案进行优选与排序的过程[1,2]。目前，解决直觉模糊群决策问题的方法大致可以分为2个步骤：(1)对专家进行赋权；(2)通过信息集结方法，对各专家给出的直觉模糊判断信息进行集结，最终实现对备选方案的优选与排序。
黑格尔在《精神现象学》中分析了启蒙和信仰之间的关系，指出了启蒙(纯粹识见)和信仰在心理结构上的一致性。它们都对当时的现实世界持怀疑态度。对于它们来说，现实世界是一个颠倒的世界，充满幻象与虚伪。信仰不满于现实，它们超越现实，它们要追求绝对本质，不过这个绝对本质在遥远的彼岸。启蒙也对现实表示不满，它们也追求本质，不过对于启蒙来说，本质在于自我。它们都否定了颠倒世界提供给人们的直接观念，而确信其他更本质性的东西(自我或者绝对本质)。
在群组决策专家赋权中通常利用系统聚类分析的思想对专家先聚类再赋权，现有的直觉模糊聚类方法大都通过构建直觉模糊相似矩阵和直觉模糊等价矩阵，设定聚类阈值λ得到λ-截矩阵，最终得出分类结果，如文献[3,4]。首先，这些方法缺乏对聚类阈值λ选取过程的分析，λ的取值直接影响着聚类结果，因此取值的合理性尤为重要。其次，现有方法没有考虑专家给出的直觉模糊评价值所含信息量的大小，使直觉模糊判断信息不确定性大的专家被赋予了与其他专家相同甚至更大的权重[5,6]。
决策信息集结方法一直是群决策问题研究的主要内容之一。针对此类问题，目前已有不少学者提出了有效集结算法，如直觉模糊线性加权平均算子、直觉模糊有序加权平均IFOWA(Intuitionistic Fuzzy Ordered Weighted Average)算子[7]、逼近于理想解的排序方法TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)[8]等。但是，直觉模糊集加权集结算子仅考虑待集结直觉模糊集自身的重要程度，而直觉模糊集有序加权集结算子仅对待集结直觉模糊集所在的位置进行赋权，二者均有一定的片面性。
基于以上考虑，本文根据专家给出的直觉模糊数评价值利用直觉模糊相似度和相异度构造直觉模糊相似矩阵，通过提出阈值变化率分析方法和设计风险参数，使决策者可选择合适的聚类阈值和风险参数，得到合理的专家聚类结果，根据聚类结果中的专家人数和直觉模糊评价值的熵为各专家组合赋权，使得在整体评价中专家数目多、共识较好的类别具有更高的权重，在同一类内的专家中，为逻辑清晰、思维严密的专家赋予更高的类内权重，从而获得更加合理的专家权值；融合直觉模糊集加权集结算子反映待集结直觉模糊集自身的重要性和直觉模糊集有序加权集结算子反映待集结直觉模糊集所在位置的重要程度的特点，构造直觉模糊集混合加权算子对直觉模糊信息进行集结，最终对备选方案实现更加合理的优选与排序。
2 预备知识
定义1直觉模糊集[1]：设X是一个论域。若X上的两个映射μA:X→[0,1]和νA:X→[0,1]，使得x∈X|→μA(x)∈[0,1]和x∈X|→νA(x)∈[0,1]并满足条件：0≤μA(x)+νA(x)≤1，则称μA和νA确定了论域X上的一个直觉模糊集A，可简记为：
A={〈μA(x),νA(x)〉|x∈X}
(1)
分别称μA(x)和νA(x)为元素x属于A的隶属度和非隶属度，称πA(x)=1-μA(x)-νA(x)为A中元素x的直觉模糊指标或犹豫度。
论域X中的元素x属于A的隶属度与非隶属度所组成的有序对〈μA(x),νA(x)〉称为直觉模糊数，直觉模糊集A可以看作是全体直觉模糊数的集合，表示为：
A={〈μA(x1),νA(x1)〉,…,〈μA(xn),νA(xn)〉}
(2)
定义2直觉模糊矩阵[4]： 对于任意zij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)都是直觉模糊数，则矩阵Z=[zij]m×n称为直觉模糊矩阵。
定义3直觉模糊相似矩阵[9]：将μi(xj)表示为μij,νi(xj)表示为νij,若直觉模糊矩阵Z=[〈μij,νij〉]m×n满足以下条件：
(1)自反性：〈μij,νij〉=〈1,0〉，i=1,2,…,m。
(2)对称性：〈μij,νij〉=〈νij,μij〉，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n。
当学生的作业错误过多，为了避免学生作业质量等级太低，以及产生知识上的脱节和恶性循环，可以采取暂不评判等级的策略，等学生弄清了错误原因，补充了所欠缺的知识，将作业重新做之后，再进行评判。
则称Z为直觉模糊相似矩阵。
3 直觉模糊聚类组合赋权
3.1 问题描述
假设现有n个决策者Oj∈{O1,O2,…,On}，对m个有效方案xk∈{x1,x2,…,xm}进行评价，决策者Oj对方案xk的评价值表示为直觉模糊矩阵O=[〈μj(xk),νj(xk)〉]，其中j=1,2,…,n；k=1,2,…,m，μj(xk)、νj(xk)分别表示决策者对方案的满意度、不满意度，直觉模糊指标为πj(xk)=1-μj(xk)-νj(xk)，且0≤μj(xk)≤1,0≤νj(xk)≤1,0≤μj(xk)+νj(xk)≤1。于是，决策者Oj对方案xk的评价结果可表示为直觉模糊集决策矩阵:
O==[〈μkj,νkj〉]m×n=
直觉模糊聚类分析方法大致可分为3大类：其一是分类数不定，根据不同要求对事物进行动态聚类，此类方法基于直觉模糊等价矩阵进行聚类，称为直觉模糊等价矩阵动态聚类分析法；其二是分类数给定，寻找出对事物的最佳分类方案，此类方法基于目标函数进行聚类，称为直觉模糊C均值聚类算法FMCA(Fuzzy Mean Clustering Algorithm)或称为直觉模糊聚类分析法；其三是在摄动有意义的情况下，根据直觉模糊相似矩阵聚类，此类方法称为基于摄动的直觉模糊聚类分析方法。本文所研究的专家群组聚类赋权问题属于第1类，即分类数不定的动态聚类，传统的基于直觉模糊等价矩阵动态聚类分析法,首先要建立直觉模糊相似矩阵，然后改造相似矩阵为等价矩阵，计算量特别大。本文提出一种简便的直觉模糊聚类方法，利用直觉模糊相似度(如式(3)所示)[10]、直觉模糊相异度(如式(4)所示)[11]公式构造直觉模糊相似矩阵，通过设计风险参数，决策者可根据情况选择合适的风险参数进行聚类[12]。其中，分别表示元素xk属于A的隶属度、非隶属度、犹豫度的值。
i,j=1,2,…,n;k=1,2,…,m
(3)
d(Oi,Oj)=
i,j=1,2,…,n;k=1,2,…,m
(4)
其中，1≤p≤+∞。
设sij=s(Oi,Oj)，dij=d(Oi,Oj)，则rij=〈sij,dij〉n为满足定义2的关于n个对象{O1,O2,…,On}的直觉模糊相似矩阵的元素。
这样就可以构造出一个对象与对象之间的直觉模糊相似矩阵R=[rij]n×n，即三角矩阵：
她主持完成具有自主知识产权的《乳制品安全风险监测模型预警系统》项目，获2016年河北省科技进步二等奖，已成为乳品安全监管的创新模式和执法利器，既增强了监管针对性，又实现了质量安全问题早发现、早预警、早处置，提高了监管效率，降低了监管成本。她带领该院党员服务队发起“食安科普行”活动，打造食安社会共治。
其中，rij=〈sij,dij〉。
不同情况下，人们对风险的控制是不同的，参考文献[12]，设h∈[0,1]为风险因子，令rij=sij+h(1-sij-dij)，这样直觉模糊相似矩阵就转化为了实数矩阵。
取聚类阈值θ=θt∈[0,1]，如果:
rij≥θt,i≠j
(5)
则认为元素Ui和Uj具有相同特性。阈值θ越接近1，分类就越细。
3.2 阈值变化率分析方法
最优聚类阈值θi的选取，可以通过分析θi的变化率Ci进行确定：
(6)
其中,i为θ由大到小的聚类次数，ni和ni-1分别为第i次和第i-1次聚类的对象个数，θi和θi-1分别为第i次和第i-1次聚类时的阈值，若:
(7)
则认为第i次聚类的阈值最优。
由式(6)可知，θi的变化率Ci越大，其对应的相邻2次聚类，类间差异越大，类间边界越明显，以Ci最大时的θi作为最优聚类阈值，可以使得该次聚类的类间差异最大，边界最明显，从而最能体现聚类的目的。
3.3 基于直觉模糊熵的专家组合赋权分析
专家组合赋权，不仅要考虑专家所在类中的人数，还要同时考虑专家给出的直觉模糊评价值所蕴含的信息量。
对于人数多的类，其专家给出的评价信息符合较多专家的意见，应赋予较大的权值；相反，人数较少的类则应赋予较小的权重。
类内专家权值可以用专家给出的直觉模糊评价值所蕴含的信息量来度量，熵作为信息不确定性以及信息量的度量，如果专家给出的直觉模糊评价信息的熵越小，说明该专家的逻辑越清晰，给出的直觉模糊评价信息的不确定性小，提供的信息量大，在综合评价中所起的作用也越大，应赋予更大的权重，因此类内权重可以用直觉模糊熵进行度量。
假设现有n位专家被分为t类，第i类中专家的个数为φi(φi≤n)，专家类间权值λi为：
(8)
对于直觉模糊数a=〈μA(x),νA(x)〉，其直觉模糊熵表示为[13]：
(9)
第i个专家的类内权值αi为：
正常情况下，每条焊缝连续完成，不得中断焊接。因故中断焊接，再次施焊前按要求重新预热并对焊缝进行清理检查，确认已焊焊道的缺陷已经处理合格后方可继续施焊。
(10)
4 专家群决策信息集结
在群决策问题中，决策信息、偏好等集结方法一直是研究的主要内容之一。本文提出基于离散正态分布的位置权重确定方法，构造直觉模糊集混合加权算子对直觉模糊信息进行集结，不仅能够反映待集结直觉模糊集自身的重要性，而且还能够反映待集结直觉模糊集所在位置的重要程度。
两种方案对比分析：挡墙长度的增加，有利于水土流失的防护，加强了该区的水土保持功能。此外在植物措施方面仍采用植被恢复方案，只是树种和绿化面积有一定的调整，但不影响其功能。
定义4[14]记直觉模糊集A={〈μ,ν〉}的得分值与精确值分别为：
(11)
显然，M(A)∈[0，1]，Δ(A)∈[0，1]。
直觉模糊集的得分值与精确值类似于统计学中的期望和方差。因此，可认为得分值越大的直觉模糊集就越大；而在得分值相等的情况下，精确值越大，则相应的直觉模糊集也越大。于是，可以规定2个直觉模糊集Aj和Ak的大小关系或排序如下：
(1)如果M(Aj)>M(Ak)，则Aj>Ak。
(2)如果M(Aj)=M(Ak)，则：
由此可见，聚类阈值取θ=0.91时最优，此时的聚类结果，类间差异最大，类间边界最明显，由图2可以看出此时的聚类结果为：
②如果Δ(Aj)<Δ(Ak)，则Aj<Ak;
③如果Δ(Aj)>Δ(Ak)，则Aj>Ak。
定义5[14]设Aj={〈μ1,ν1〉,…,〈μj,νj〉,…,〈μn,νn〉}(j=1,2,…,n) 是直觉模糊集。若映射使得：
胎儿肢体畸形在产前诊断时，会受到诸多因素影响，从而导致检查结果不理想[2]。通常上肢肢芽在受精后6d开始发生，而下肢肢芽则延迟2～3d发生，因此目前通常在妊娠8周左右对胎儿的肢芽发育情况进行检查，在妊娠11～12周时对胎儿手指、关节等进行检查，故而目前有研究指出，妊娠13～14周时是胎儿肢体畸形筛查诊断的最佳时期[3]。本次研究选取孕妇均超过13周，适宜开展胎儿肢体畸形筛查。
(12)
则称为直觉模糊集混合加权算子。
式(12)中,H为直觉模糊集集合，W=(w1,w2,…,wn)T是位置权重向量,wk∈[0,1],k=1,2,…,n且位置权重只与集结过程中第k个位置有关，可根据实际管理决策问题特点与需要选择合适的方法确决策过程中，某些决策者可能会感情用事，对他所偏好或者憎恶的候选人往往给出不合理的评分。因此，在对决策数据进行集结的过程中,要尽量削弱这样的感情因素所造成的不公平现象，使得决策的结果尽量体现出公平。位置权重很好地削弱了感情因素在决策过程中的不良影响，无论决策者对候选人出于偏好给出的高分，还是出于憎恶给出的低分，都被排到权重值相对比较小的位置，使得决策的结果更加公平。本文提出基于离散正态分布的位置权重确定方法：
(13)
步骤4确定专家总权重。将类间专家权重
基于以上对于供给侧结构性改革驱动的外贸发展可行性分析可知，强调供给侧改革是可以起到促使区域产业结构转型升级的功用；同时也将全面提升区域外贸产品和服务（Goods&Services）的竞争力与附加值，这表明了这一路径的选择正是供给侧结构性改革驱动的外贸发展可行性的一个具体体现。广州对外贸易转型发展亟需从供给侧发力，提高产业项目质量，提高广州贸易和进出口产品附加值，获得在“微笑曲线”中的有利地位和竞争优势，以此来带动整个广州贸易优化升级。
(14)
其中，是n个直觉模糊集中按照定义4的排序方法确定的第k个最大元素。
(15)
考虑到wk∈[0,1]和对式(13)给出的结果做单位化处理：
(16)
是对Aj(j=1,2,…,n)进行nωj加权得到的直觉模糊集，即：
(17)
其中,ω=[ω1,ω2,…,ωn]T是专家权重向量，可由第3节中提出的直觉模糊聚类组合赋权法确定。
定理1[1]设Aj={〈μ1,ν1〉,…,〈μj,νj〉,…,〈μn,νn〉}(j=1,2,…,n) 是直觉模糊集是n个直觉模糊集中按照某种排序方法确定的第k个最大元素，则由直觉模糊集混合加权集结算子即式(13)运算得到的结果仍为直觉模糊集，且
(18)
5 算例分析
[0.05 0.1 0.12 0.15 0.16 0.15 0.12 0.1 0.05]
算例分析的步骤如下。
步骤1计算直觉模糊相似矩阵。运用式(3)和式(4)计算2个专家评估信息之间的直觉模糊相似度和直觉模糊相异度作为直觉模糊相似矩阵R的隶属度和非隶属度，为简化计算取p=1，直觉模糊相似矩阵R如图1所示。
Table1Expertevaluationinformationontheprogram
表1专家对方案的评估信息
专家x1x2x3x4O1〈0.56,0.34〉〈0.40,0.50〉〈0.30,0.40〉〈0.71,0.10〉O2〈0.41,0.40〉〈0.28,0.60〉〈0.55,0.35〉〈0.30,0.55〉O3〈0.38,0.52〉〈0.72,0.21〉〈0.68,0.22〉〈0.61,0.30〉O4〈0.70,0.20〉〈0.58,0.32〉〈0.52,0.40〉〈0.20,0.70〉O5〈0.31,0.60〉〈0.70,0.20〉〈0.75,0.20〉〈0.60,0.30〉O6〈0.44,0.45〉〈0.31,0.60〉〈0.56,0.40〉〈0.31,0.52〉O7〈0.31,0.61〉〈0.74,0.22〉〈0.70,0.25〉〈0.50,0.40〉O8〈0.58,0.30〉〈0.37,0.52〉〈0.30,0.50〉〈0.55,0.35〉O9〈0.43,0.45〉〈0.24,0.70〉〈057,0.40〉〈0.29,0.55〉
选择风险因子k=0.5，即中度风险，得到实数矩阵F为：
对前面所述的各试验结果与模拟结果进行比较可知，试验与模拟得到的轴向压力均先增大后减小。轴压圆柱壳具有很强的非线性，从而导致圆柱壳在达到峰值荷载后承载力急剧下降，轴压圆柱壳的后屈曲性质是不稳定的，且很小的几何缺陷就会极大地降低其承载力[2]。不同壳体屈曲临界载荷值如表1所示。试验与模拟均是临界载荷值开孔圆柱壳最小，含补强件圆柱壳次之，圆柱壳最大。说明开孔降低了圆柱壳屈曲临界载荷，通过补强可以提高其屈曲临界载荷。
步骤2确定类间专家权重。根据2.2节中提出的阈值变化率分析方法绘制动态聚类图，得到最优聚类阈值，确定类间权重。
根据式(6)可得：
步骤3确定类内专家权重。根据专家给出的直觉模糊熵确定专家的类内权重。
C5=max(C1,C2,C3,C4,C5)
①如果Δ(Aj)=Δ(Ak)，则Aj=Ak;
λi和类内专家权重αik线性加权，得到专家总权重向量ω为：
Figure 2 Dynamic clustering diagram
图2 动态聚类图
根据式(8)得出类间权重为：
由于所有专家归为一类没有实际意义，所以不考虑C6，则有：
按照SA指数的25%、50%、75%分位数，将公司面临的融资约束分为4个等级。统计所有公司在观测年度内的等级变化情况，计算每个企业最高等级与最低等级的跨度。跨度为0级的企业占企业总数的44.37%，跨度为1级的企业占比50.29%，跨度超过1级的企业占比5.34%。统计结果显示噪音较少，企业融资约束程度并没有发生频繁变化，SA指数分类结果稳定。
由式(9)得到专家直觉模糊熵向量H为：
[0.5934 0.6498 0.6232 0.5871 0.5588 0.7020 0.5740 0.6343 0.6325]
由式(10)得到的类内专家权重如表2所示。
Table2Expertinter-classweights
表2专家类内权重
类别类内权重第1类α13=0.3029,α15=0.3547,α17=0.3424第2类α26=0.2934,α29=0.3618,α22=0.3448第3类α31=0.5265,α38=0.4735第4类α44=1
其中，μn是由(1,2,…,n)赋以权重得出的数学期望，σn是根据μn及权重得出的标准差，μn和σn分别由式(14)和式(15)给出：
这样的事情对马国新来说并不新鲜。他说：“干我们稽查工作的，必须意志坚定，不然一不留神就‘栽’进去了。我也缺钱，但是我不能缺德、缺良心。”
Figure 1 Intuitionistic fuzzy similarity matrix R
图1 直觉模糊相似度矩阵R
细菌基因组DNA提取试剂盒、病毒RNA/DNA小量提取试剂盒，购自广州美基生物科技有限公司；AceQ qPCR Probe Master Mix，HiScript II Q RT SuperMix for qPCR（+g DNA wiper），购自南京诺维赞生物技术有限公司；ddPCR Supermix for Probes (No dUTP)、Droplet Generation Oil for Probes，购自美国Bio-Rad公司。
[0.0915 0.1349 0.1185 0.0434 0.1388 0.1148 0.1340 0.0823 0.1416]
步骤5专家直觉模糊群决策信息集结。首先，利用式(13)～式(16)，由基于正态分布的赋权法可以确定位置权重W为：
假设现有9个专家Oi(i=1,2,…,9)组成一个决策群体，对某新型飞机的4个备件保障方案xj(j=1,2,3，4)进行选优。采用专家咨询的方法，可以得到各个专家Oi(i=1,2,…,9)对于方案xj(j=1,2,3，4)给出的满意度不满意度其中k为风险因子，具体数据见表1。
然后，由步骤4得到的专家总权重ω，利用式(17)对各专家的直觉模糊评价信息Aij进行权重加权得到直觉模糊集然后利用式(11)，得到专家Oi(i=1,2,…,9)关于方案xj(j=1,2,3，4)的评价信息的得分值M(Aij)，如表3所示。
Table3Expertscoresontheevaluationvalueoftheprogram
表3专家关于方案评价值的得分值
专家x1x2x3x4O10.080 1-0.221 7-0.215 70.489 1O20.144 3-0.208 90.041 2-0.132 4O3-0.098 50.563 00.504 50.356 8O4-0.158 1-0.353 4-0.449 8-0.786 5O5-0.157 40.643 90.689 10.459 5O60.012 5-0.271 50.183 8-0.190 4O7-0.190 10.641 90.577 80.235 3O80.064 2-0.326 3-0.366 2-0.013 0O90.150 0-0.339 60.347 8-0.113 1
最后，由定义4中得分值M(Aij)的排序方法确定根据所确定的位置权重W，利用式(18)，可得到备件保障方案xj(j=1,2,3，4)的综合评价结果为：
围产期产妇紧张和应激反应可以使母体儿茶酚胺浓度急剧上升，产生新生儿酸中毒，进而导致新生儿Apgar评分降低甚至发生神经损伤。高浓度的全身麻醉药可加重新生儿呼吸抑制。本研究中，新生儿Apgar评分、新生儿脐动脉血气指标、新生儿分娩时间在各组间差异均无统计学意义，新生儿脐动脉血液pH值均大于7.25，提示全麻下择期剖宫产时Schnider模型下丙泊酚的ECe设为4.0～6.5 μg/mL是安全的。
因此，可确定4个备件保障方案的优劣排序为x3≻x4≻x2≻x1，最优方案为x3。
通过上述分析过程可以看出，相对于文献[3,4]在对专家聚类赋权时，凭主观直接设定聚类阈值λ得到λ-截矩阵，本文提出阈值变化率分析方法得到最优聚类阈值λ；相对于文献[5,6]未考虑专家给出的直觉模糊评价值所蕴含的信息量，本文运用直觉模糊熵为类内专家赋权，使评价精确的专家被赋予更大的权重；相对于文献[7,8]仅反映待集结直觉模糊集自身的重要性和待集结直觉模糊集所在位置的重要程度，本文融合直觉模糊集加权集结算子和直觉模糊集有序加权集结算子的特点，提出基于离散正态分布的位置权重确定方法，构造直觉模糊集混合加权算子对直觉模糊信息进行集结，提高了直觉模糊群决策精度。
6 结束语
根据对现有直觉模糊群决策方法的研究总结，本文提出一种基于直觉模糊集的专家聚类组合赋权决策方法，利用直觉模糊相似度和直觉模糊相异度构造直觉模糊相似矩阵，通过设计风险参数和提出阈值变化率分析方法，决策者可选择合适的风险参数和阈值得到合理的专家聚类结果，综合聚类结果和直觉模糊判断信息的熵对各专家进行组合赋权。构造直觉模糊集混合加权集结算子对各专家关于方案集的直觉模糊评价信息进行综合集成。经算例表明，该方法可行有效。
⑩蝴蝶效应也叫拓扑学连锁反应，是指在一个动力系统中，初始条件下微小的变化能带动整个系统的长期的巨大的连锁反应.
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Agroupdecision-makingmethodbasedonintuitionisticfuzzyentropy
ZHANG Bing1,DONG Xiao-xiong2,LI Wen1,MENG Xiang-fei1,LI Chao1
(1.College of Equipment Management & UAV Engineering,Air Force Engineering University,Xi’an 710051;2.Air Force Surplus Aircraft Storage Center,Pingdingshan 467300，China)
Abstract:Aiming at intutionistic fuzzy group decision-making problem, according to experts’ intuitionistic fuzzy evaluation information, we use intuitionistic fuzzy similarity and dissimilarity to construct the intutionistic fuzzy similarity matrix. In order to obtain reasonable expert clustering results, we design risk parameters and a clustering threshold rate analysis method. The weights of expert combinations are determined according to the classification result and the entropy of intuitionistic fuzzy vectors. We also propose a method for determining position weight based on discrete normal distribution. We construct intuitionistic fuzzy sets and mix them with weighted aggregation operators to integrate intutionistic fuzzy evaluation information of each expert on the solution set. The feasibility and effectiveness of this method is verified through examples.
Keywords:intuitionistic fuzzy group decision-making;clustering;intuitionistic fuzzy entropy;intuitionistic fuzzy set mixed with weighted aggregation operator
中图分类号：C93
文献标志码：A
doi:10.3969/j.issn.1007-130X.2019.04.016
文章编号：1007-130X(2019)04-0692-07
*收稿日期：2018-02-27;
修回日期：2018-07-03
基金项目：国家自然科学基金(71601183)
通信地址：710051 陕西省西安市空军工程大学装备管理与无人机工程学院
Address:College of Equipment Management & UAV Engineering,Air Force Engineering University,Xi’an 710051，Shaanxi,P.R.China
作者简介:
张冰(1985-),男，山东青岛人，博士，讲师，研究方向为装备维修保障。E-mail:840368757@qq.com
ZHANGBing,born in 1985,PhD,lecturer,his research interest includes materi- el maintenance support.
董骁雄(1990-),男，陕西西安人，博士生，研究方向为装备维修保障和装备发展论证。E-mail:zzz_699699@126.com
DONGXiao-xiong,born in 1990,PhD candidate,his research interests include materiel maintenance support, and materiel development & demonstration.
李文(1981-),女，河南信阳人，博士，研究方向为装备管理决策、装备维修保障和装备发展论证。E-mail:Liwen9376@126.com
LIWen,born in 1981,PhD,her research interests include materiel management decision-making, materiel maintenance support, and materiel development & demonstration.
孟祥飞(1989-),男，河北邢台人，博士生，研究方向为不确定多目标决策和空中交通管理。E-mail:mengxiangfeikgd@163.com
MENGXiang-fei,born in 1989,PhD candidate,his research interests include uncertain multi-objective decision, and air traffic management.
李超(1984-),男，陕西西安人，博士，讲师，研究方向为不确定多目标决策和整数编程。E-mail:leecharle@sina.com
LIChao,born in 1984,PhD,lecturer,his research interests include uncertainty multi-objective decision-making, and integer programming.
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