主持人语：
中国逻辑学会会长 邹崇理 研究员
波兰逻辑学家卢卡西维茨曾建立被称为波兰表示法的符号系统，仅仅使用联结词符号就可以无歧义地表达公式。中国逻辑学家张清宇先生在20世纪90年代创建括号表示法，不用联结词而是使用括号表达命题联结词和量词的功能，这是一项可以和波兰表示法媲美的逻辑符号技术的创新性工作。《关于“不用联结词的逻辑系统”的注记》一文对张先生的这一开创性工作进行了阐发，并对相关研究做了进一步的简化，值得一读。
本期刊发的《探索语言逻辑与信息处理结合的新路径》是对2018年9月科学出版社出版的《自然语言信息处理的逻辑语义学研究》一书的评介，认为这本新著以自然语言信息处理为导向，从逻辑学、语言学和计算机科学融合的视角，展开对中文的逻辑语义学研究，为我国计算机的自然语言处理领域提供了新的理论工具。
摘要：张清宇先生在20世纪90年代创建了不用联结词的逻辑系统，在其中使用括号表达命题联结词和量词的功能，这是一项逻辑符号技术的创新性工作。波兰表示法和括号表示法是逻辑符号表示法的两个相互映衬的典范。在括号表示法中，“不用联结词”指的仅仅是语形层面上的，而不是语义层面上的。基于括号表示法的命题逻辑公理系统H和一阶逻辑系统QH都可以进一步简化。
关键词：命题联结词；波兰表示法；括号表示法；独立性；公理系统
张清宇先生从1995年开始发表文章，阐述其在形式语言中只用括号、不用联结词的基本思想，并构建了一系列逻辑系统。本文拟对先生的这一开创性工作做一些阐发，并对相关研究工作做进一步推进。张清宇先生已经离开8年了，但授课之状仍历历在目，谨以此文缅怀先师。
一、括号表示法
一个逻辑系统的形式语言基本上包括三类符号：变元符号、常元符号和结构符号。变元符号一般指的是在给定论域中表示不确定对象的符号，如命题变元p、q、r等等，个体变元x、y、z等；常元符号指的是在给定论域中表示确定对象的符号，如命题常元符号T，真值联结词符号﹁ 、∧等；结构性符号指的是确定符号之间的间隔、结合和顺序关系的符号，它发挥确定符号的结合顺序、运算层次和排除歧义的功能，如逗号、左右括号等。在一般的逻辑系统中，三类符号各司其职，协同发挥着描述所研究对象的功能。
2. (tA)
张清宇先生则创造性地建立了一套新的符号系统，这套符号系统只使用括号而不使用命题联结词和量词，使括号既表达特定联结词的逻辑功能又发挥括号本身的结构性功能。在文献[2]中，其技术处理的核心要旨是使用命题常项“t”和括号“( )”发挥命题联结词的作用。“(AB)”相当于“A∧(﹁B)”，即对于一个真值赋值v，v(t)=1；v((AB))=1当且仅当，v(A)=1且v(B)=0。在文献[3]和[4]中，使用命题常项“T”和括号“( )”发挥命题联结词的作用，并扩展为使用括号“( )”进一步发挥量词的作用。“(AxB)”相对于“∃x(A∧﹁B)”，即，给定一个模型U=(D,I)和U的一个指派α，TI,α=1；(AB)I,α=1当且仅当，AI,α=1且1I,α=0；(AxB)I,α=1当且仅当，对α的某个x-变异1，(AB)I,β=1。其他联结词均可以通过定义而引入，如：
在市政给排水工程中使用节能措施十分关键，需要庞大的能源支持。在市政给排水工程设计时，使用节能措施的目的体现在以下几方面：
A=def(TA)
同时，在全院范围内大力选树敢于担当、实干奉献典型，营造浓厚的学先进、赶先进氛围。去年6月开始，院党委通过层层选树，5名先进典型进行了事迹演讲；将13名先进典型事迹制作成系列橱窗和微信，在办公区和微信平台集中展示；编印的《研究院人物》，收录了25名勇于担责的典型事迹材料，有效鼓舞了队伍士气。
10. (AB)
A∨B=def(T((TA)B))
A→B=def(T(AB))
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14. t((tA)(AB))
∀xA=def(T(TxA))[4]25-68
这样，括号一方面发挥了结构性功能，另一方面也可同时表达命题联结词和量词的功能。准确、简洁，完全可以媲美波兰表示法！
在此，需要澄清一个问题，“不用联结词”指的是在形式语言中没有直接使用常用的命题联结词符号，并非指的是在形式语言中语义上完全没有表达联结词功能的符号。今后，我们将把在形式语言中不用联结词而只使用括号的逻辑符号表示法统称为括号表示法，以区别并比照于波兰表示法。
（1）四年正月初一日，鑽玉華院撰制玉冊訖，宣詔三官四聖，於上元節日，並赴七寶瓊臺。（《太上說玄天大聖真武本傳神呪妙經註》卷一，《中华道藏》30/530）
一个符号往往承载着不同的功能，如符号C通常作为一个英文大写字母，但是在波兰表示法中，它具体的语义功能是表示命题联结词的“蕴涵”。因此，形式语言中的符号至少存在着两个功能：一是在语法层面上的语形功能，一个是在解释层面上的语义功能。在波兰表示法中，符号N、A、K、C等一方面在语形上是命题之间的连接符号，另一方面在语义功能上承载着真值函数运算功能和结合的次序功能。同样，在括号表示法中，括号作为一个技术性符号，它语形上呈现的是结构性功能，但是在语义上，它也同时承载着真值函数的运算功能和结合的次序功能。所以，无论是不用括号的卢卡西维茨的波兰表示法还是只用括号的括号表示法，都仅仅指的是在语形上的呈现，而不是指它们在语义层面上没有排除歧义等的结构功能或表达逻辑运算的真值函数功能。所以，“不用联结词”仅仅指的是语形层面上的，而不是语义层面上的。在语义功能上，不论是波兰表示法还是括号表示法，无疑都有承载真值函数功能的“联结词”。
机器识别的首先是语形层面上的形式语言，无论是波兰表示法还是括号表示法均如此，因为其符号简单、无歧义，便于机器的实现和识别，这是其独特的应用价值。另外，探究符号的不同表达功能，可以进一步加深对符号形式处理技术的理解。可以认为，波兰表示法和括号表示法是逻辑符号表示法的两个相互映衬的典范！
二、0元联结词
逻辑联结词在语形上的作用是作用于已有公式之上形成新的公式，如一元联结词“﹁ ”作用于单个公式“p”之上可形成新公式“(﹁p)”，二元联结词“C”作用于两个公式“p”“q”之上可形成新公式“Cpq”。“T”作用于0个公式之上形成公式“T”，在此意义上，可将“T”视为0元联结词。从语义上看，在通常的语义解释中，对于一个真值赋值v，v(﹁α)=1-v(α)，“﹁ ”是一个1元函数运算；v(α∧β)=min(v(α),v(β))，v(α∨β)=max(v(α),v(β))，v(α→β)=max((βαv(α)),v(β))，“∧”“∨”“→”均是一个2元函数运算。而v(T)=1，恰是一个0元函数运算。因此，“T”可看作一个0元联结词，这正如在一阶语言中，将个体常项看成0元函数符号一样[4]26。
但如果纯粹从语形层面来看，“T”无疑是作为一个命题常项出现的。因此，在文献[2][3]和[4]等的括号表示法中，说“不用联结词”是完全可以的。
三、独立性
张清宇先生在文献[2]建立的公理系统H中，可能是出于对括号的引入和消去的考虑，有形如t(A(t((tB)(AB))))、t((AB)A)和t((AB)(tB))等公理，这增强了公理系统的直观性，也便于简化系统内定理的证明。但是，如果从公理系统的简洁性方面去考虑，这些公理并非都是必须的。
图5所示，被控对象稳定在工作点1情况下，两种控制方式的控制效果曲线。多模型DMC控制器相较于传统控制器，虽然两条曲线都能够满足常规的控制要求，但是前者响应迅速，曲线波动小，响应曲线更加平稳，验证了DMC算法的有效性，同时验证多模型DMC控制算法的优越性。
采用SPSS 20.0统计学软件对数据进行处理，计数资料采用x2检验，以P＜0.05为差异有统计学意义。
下面，我们将证明公理系统H中的公理模式(也简称为公理)并非都是必须的，即公理系统H不具有独立性。我们可以将公理系统H进行简化，删除其中的公理1、公理4和公理5，只保留其中的公理2、公理3、公理6等3条公理和推理规则t(E)，简化后的公理系统简记为QY。即公理系统QY包括如下公理(模式)和推理规则：
1. t(At(BA))
公理系统H之公理2
2. t((t(A(t(BC))))(t((t(AB))(t(BC)))))
公理系统H之公理3
3. t((t((tA)B))(t((t((tA)(tB)))A)))
公理系统H之公理6
推理规则即公理系统H之推理规则t(E)：由A和t(AB)可得出B。
15. t((t((tA)(AB)))(t((t((tA)(t(AB))))A)))
定理1QYt(AA)
1. t((t(A(t((t(AA))A))))(t((t(A(t(AA))))(t(AA)))))
公理系统QY之公理2
2. t(A(t((t(AA))A)))
公理系统QY之公理1
3. t((t(A(t(AA))))(t(AA)))
1、2，公理系统QY之推理规则t(E)
4. t(A(t(AA)))
公理系统QY之公理1
5. t(AA)
3、4，公理系统QY之推理规则t(E)
定理1即为公理系统H之公理1。在定理1的证明中，只用到了公理系统H的公理2、公理3以及推理规则t(E)。
在公理系统H中证明演绎定理时，只使用了公理系统H的公理1、公理2、公理3以及推理规则t(E)[2]。因为公理系统H的公理1可以由公理系统H的公理2、公理3以及推理规则t(E)被证明而作为系统QY的一个定理。因此，在系统QY中演绎定理显然是成立的。所以，在下面的证明中，如果需要，我们将直接使用演绎定理。
定理2QYt(A(t((tB)(AB))))
1.A
hyp
2. (tB)
hyp
3. t(AB)
hyp
4.B
1、3，公理系统QY之推理规则t(E)
5. t((t(AB))B)
3～4，公理系统QY之演绎定理
6. t((tB)(t((t(AB))(tB))))
公理系统QY之公理1
7. t((t(AB))(tB))
2、6，公理系统QY之推理规则t(E)
8. t((t((t(AB))B))(t((t((t(AB))(tB)))(AB))))
选择该院收治的T2DM并发NAFLD患者84例为观察组，其中男48例，女36例；年龄32～78岁，平均年龄（55.47±8.46）岁。选择同期就诊于该院的84例T2DM患者为对照组，其中男46例，女38例；年龄33～79岁，平均年龄（55.51±8.48）岁。纳入标准：符合《中国2型糖尿病防治指南》中关于T2DM的相关诊断标准，《非酒精性脂肪性肝病诊疗指南》中NAFLD的相关诊断标准；认知功能正常者，能配合检查且自主回答问题；自愿参与该次研究，并签署知情同意书者。排除标准：药物性肝损伤；贫血；酒精性脂肪肝；慢性肝炎；肝硬化；自身免疫性肝病；病毒性肝病；哺乳期及妊娠期妇女[3]。
公理系统QY之公理3
9. t((t((t(AB))(tB)))(AB))
5、8，公理系统QY之推理规则t(E)
A∧B=def(A(TB))
7、9，公理系统QY之推理规则t(E)
11. t((tB)(AB))
2～10，公理系统QY之演绎定理
12. t(A(t((tB)(AB))))
1～11，公理系统QY之演绎定理
定理2即为公理系统H之公理4。
赵拥军 男，1964年出生于河南封丘，博士.现为解放军信息工程大学导航与空天目标工程学院教授、博士生导师，主要研究方向为雷达信号处理和阵列信号处理.
定理3QYt((t(tA))A)
1. t((t((tA)(tA)))(t((t((tA)(t(tA))))A)))
公理系统QY之公理3
2. t((tA)(tA))
公理系统QY之定理1
3. t((t((tA)(t(tA))))A)
1、2，公理系统QY之推理规则t(E)
4. t((t((t((tA)(t(tA))))A))(t((t(tA))(t((t((tA)(t(tA))))A)))))
公理1
5. t((t(tA))(t((t((tA)(t(tA))))A)))
3、4，公理系统QY之推理规则t(E)
6. t((t((t(tA))(t((t((tA)(t(tA))))A))))(t((t((t(tA))(t((tA)(t(tA))))))(t((t(tA))A)))))
公理2
3.A
5、6，公理系统QY之推理规则t(E)
8. t(((t(tA))(t((t()(t(tA)))))
公理系统QY之公理1
9. t((t(tA))A)
7、8，公理系统QY之推理规则t(E)
此定理即为双否消去律。
定理4QYt((AB)A)
1. (AB)
hyp
波兰逻辑学家卢卡西维茨(Janukasiewicz)创造性地建立了一套符号系统，在这套符号系统中不需要使用括号，而仅仅使用联结词符号就可以无歧义地表达公式[1]97-100。其基本做法是以大写拉丁字母N、A、K、C等表示联结词否定、析取、合取和蕴涵，把联结词放在所作用的命题元之前，仅仅根据符号的排列次序就可以唯一确定公式的意义，而不再需要括号，如KCNpqp就表示((﹁p)→q)∧p。这一公式表示方法被称为波兰表示法，准确、简洁。
hyp
7. t((t((t(tA))(t((tA)(t(tA))))))(t((t(tA))A)))
hyp
4. t((tA)(t((tB)(tA)))
公理系统QY之公理1
5. t((tB)(tA)
为了构建小鼠突触体，论文作者开发出了一个他们称之为SYNMAP的流程。他们从转基因小鼠入手，这些小鼠的突触会发出不同的颜色。每个突触都富含不同种类的蛋白质，其中，PSD-95和SAP102是最为突出的两个成员。论文作者在这些突触中加入了发光的蛋白质，这些蛋白质本质上就像点燃了大脑中每一个突触的火把。
2、4，公理系统QY之推理规则t(E)
6. t((A)(t((tB)A))
公理系统QY之公理1
7. t((tB)A)
3、6，公理系统QY之推理规则t(E)
8. t((t((tB)A))(t((t((tB)(tA))B))
公理系统QY之公理3
9. t((t((tB)(tA))B)
7、8，公理系统QY之推理规则t(E)
10.B
哼！彤彤不屑地开启了白T恤的搜索功能，结果傻了眼——原来古代真的有人靠强大的精神毅力支撑着度过了冬天！
2018年高考，笔者所执教的班级又取得了理想的成绩，关键是学生的语文素养得到了明显的提升。细细想来，这与笔者一直以来挖掘文言文教学这座富矿息息相关。多年前，笔者曾就文言文教学写了一篇《以言为本，一石三鸟——文言文教学成效初探》的文章；多年后，笔者想就文言文教学成效进行再探——文言为根，开枝散叶。
5、9，公理系统QY之推理规则t(E)
11. t(AB)
面对这些问题，当地旅游管理部门责无旁贷，不仅要在事发之后进行查处，同时还要“防患于未然”，从根本上治理旅游乱象。与其后发制人，在城市名誉被损害后再行动，不如主动出击，在游客到来之前就造就一个良好的旅游环境，形成口碑效应。
3～10，公理系统QY之演绎定理
12. t((tA)(t(AB)))
2～11，公理系统QY之演绎定理
13. t((AB)(t((tA)(AB))))
公理系统QY之公理1
∃xA=def(Tx(TA))
近年来，患有肺部疾病的人数呈现逐年上升趋势。根据相关文献资料显示，胸外科患者在实施手术之后并发症的发生率为3成，与呼吸功能、排痰等因素存在必然联系。因此，这就需要护理人员在对胸外科患者快速康复护理的同时，加强对患者呼吸功能的评估及训练指导，改善患者肺部呼吸情况，提高患者术后排痰效率，达到减少患者并发症、缩短术后恢复时间的效果。对此，本院对2017年1月到2018年1月收治胸外科患者实施术前呼吸功能锻炼，取得良好临床效果，现在对其具体内容做出如下分析。
1、13，公理系统QY之推理规则t(E)
可以证明公理系统H中的公理1、公理4和公理5都是系统QY的定理。
公理系统QY之公理3
16. t((t((tA)(t(AB))))A)
14、15，公理系统QY之推理规则t(E)
17.A
12、16，公理系统QY之推理规则t(E)
18. t((AB)A)
1～17，公理系统QY之演绎定理
定理5QYt((AB)(tB))
1. (AB)
hyp
2. t((AB)(t((t(tB))(AB))))
公理系统QY之公理1
3. t((t(tB))(AB))
1、2，公理系统QY之推理规则t(E)
4. t(tB)
hyp
5.A
hyp
6. t((t(tB))B)
公理系统QY之定理3
7.B
4、6，公理系统QY之推理规则t(E)
8. t(AB)
5～7，公理系统QY之演绎定理
9. t((t(tB))(t(AB)))
4～8，公理系统QY之演绎定理
10. t((t((t(tB))(AB)))(t((t((t(tB))(t(AB))))(tB))))
公理系统QY之公理3
11. t((t((t(tB))(t(AB))))(tB))
3、10，公理系统QY之推理规则t(E)
12. (tB)
9、11，公理系统QY之推理规则t(E)
13. t((AB)(tB))
1～12，公理系统QY之演绎定理
定理4、定理5即为公理系统H之公理5。
对公理系统H的公理简化之后得到的公理系统QY和通常的命题逻辑希尔伯特系统只存在一个差异。即推理规则的差异，一个是分离规则，一个是t(E)，而根据QY中“A→B”的定义，这两者显然是定价的。
这样简化后的公理系统QY就是一个和通常的命题逻辑希尔伯特型系统相等价的系统[5]16-29。因此，该系统具有可靠性和完全性。
四、纯粹括号表示法
在文献[3]和[4]中，张清宇先生构建了不用联结词和量词的一阶逻辑公理系统QH。在通过定义引入联结词“﹁ ”“⊃”和全称量词“∀”之后，在QH中实际上包含了语形联结词“﹁ ”“⊃”和全称量词“∀”，并且其中除了括号“( )”之外，还包括方括号“[ ]”。我们可以将该系统使用括号表示法并使之纯粹化，可以在公理系统QY(原有 3条公理)的基础上增加如下公理(模式)和推理规则从而得到一阶逻辑公理系统QQY：
4. T((T(Tx(T(AB(x)))))(T(A(T(TxB(x))))))，x不在A中出现
5. T((T(TxA(x)))A(m))，A(m)是由将A(x)中的x全部替换为m而得(m是个体常元)
可以证明，一阶逻辑公理系统QQY和通常的一阶谓词逻辑系统等价[5]70-98，可参阅文献[5]。因此，该系统同样具有可靠性和完全性。
值得注意的是，在一阶逻辑公理系统QQY中，括号既有结构性功能，如“A(u)”中的括号；也有联结词功能，如“(AB)”中的括号；还有量词功能，如“(AxB)”中的括号。
参考文献：
[1] 卢卡西维茨.亚里士多德的三段论[M].李真,李先焜,译.北京：商务印书馆，1981.
[2] 张清宇.不用联结词的经典命题逻辑系统[J].哲学研究，1995(5)：40-47.
[3] 张清宇.不用联结词和量词的一阶逻辑系统[J].哲学研究，1996(5)：72-79.
[4] 张清宇.哲学逻辑研究[M].北京：社会科学文献出版社，1997.
[5] 杜国平.经典逻辑与非经典逻辑基础[M].北京：高等教育出版社，2006.
Anoteon“logicalsystemswithoutconnectives”
DU Guoping
(Institute of Philosophy, Chinese Academy of Social Sciences, Beijing 100732, China)
Abstract: In the 1990s, Mr. Zhang Qingyu created a logical system without connectives, in which parentheses were used to express the functions of propositional connectives and quantifiers, which is an innovative work of logical symbol technology. Polish notation and parenthesis notation are two mutually complementary examples of logical symbolic notation. In the parenthetical notation, “without connectives” refers only to morphological level rather than semantic level. Both the axiom system H of propositional logic and the first-order logic system QH based on parenthesis notation can all be further simplified.
Keywords: proposition connectives; Polish notation; parenthesis notation; independence; axiom system
中图分类号：B81
文献标识码：A
文章编号：1674-8425(2019)04-0007-06
收稿日期：2019-02-22
基金项目：国家社会科学基金重点项目“提高国民逻辑素质的理论和实践探索研究”(13AZX019)；国家社会科学基金重大项目“应用逻辑与逻辑应用研究”(14ZDB014)
作者简介：杜国平，教授，博士，博士生导师，主要从事应用逻辑与逻辑应用研究。
doi:10.3969/j.issn.1674-8425(s).2019.04.002
本文引用格式：杜国平.关于“不用联结词的逻辑系统”的注记[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2019(4):7-12.
Citationformat：DU Guoping.A note on “logical systems without connectives”[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2019(4):7-12.
(责任编辑张佑法)
标签：公理论文; 系统论文; 括号论文; 逻辑论文; 符号论文; 哲学论文; 宗教论文; 逻辑学(论理学)论文; 哲理逻辑(非经典逻辑)论文; 《重庆理工大学学报(社会科学)》2019年第4期论文; 国家社会科学基金重点项目“提高国民逻辑素质的理论和实践探索研究”(13AZX019)国家社会科学基金重大项目“应用逻辑与逻辑应用研究”(14ZDB014)论文; 中国社会科学院哲学研究所论文;