——《函数与方程》知识梳理教学案例
◆岂振华山西省左权中学校032600
要以概念图为工具，进行知识梳理。对于关系清晰的简单数学知识点，教师可以让学生独立构造概念图。学生在构造概念图过程中，经常出现节点与连接语混乱，不能区分什么是节点、什么是连接语，这就需要给学生讲概念图的结构，使学生明白概念图由节点、连接语、实例三部分组成。要让学生注重知识点之间的关系，即连接语，要求所有连线全部加上连接语；不仅让学生知道这一大节有哪些知识点，而且要知道这些知识点之间有什么关系，规范学生构造的概念图。
一、课堂教学片段
生YXY:零点的含义是：对于函数y=f(x)，我们把使方程f(x)=0的根叫做函数y=f(x)的零点。零点与方程的关系：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。方程f(x)=0有实数根，等价于函数y=f(x)的图象与x轴有交点，等价于函数y=f(x)有零点。
师：“函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根”，这个是零点与方程之间的关系，“零点是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标”，这个是不是零点与方程的关系？
生（众）：不是。
师：所以把它单独拿出来。零点与函数图象与x轴交点的关系（板书连接语）。这两个分开，一个是零点与方程的关系，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根；另一个是零点与函数图象与x轴交点的关系，零点是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
生YXY:函数y=f(x)在区间[a,b]内零点的图象：这个图象（手指图象）有一个零点，这个图象有两个零点，这个图象有三个零点，这个图象有无数个零点。
师：“函数y=f(x)在区间[a,b]内零点的图象”，图象是指函数图象，零点没有图象，应该是零点个数。这是（手指零点）一个零点、两个零点、三个零点、无数个零点。这里有前提条件，前提条件就是函数零点存在性定理的条件：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续，并且f(a)·f(b)<0。只有在前提条件下零点个数才是这几个，否则还有其它，比如没有零点。注意有前提条件：连续，并且乘积小于0。
生YXY:常见函数零点的个数：一次函数有一个零点。二次函数分情况，当b2-4ac>0时，有两个零点；当b2-4ac=0时，有一个零点；当b2-4ac<0时，没有零点。常数函数y=a（a是常数），当a=0时有无数个零点，当a≠0时没有零点。反比例函数y=（k≠0）没有零点。函数零点存在性定理，如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并有f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。求零点的近似值用二分法。二分法的含义：把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。
师：在第三章第一大节《函数与方程》，核心概念有两个：零点和二分法。以这两个核心概念为中心，进行联想、发散。看概念图的时候，首先看核心概念对不对。如果核心概念错，那么概念图就没办法修改。零点的实例，注意实例一定要画上，概念图评分时实例占1/3。节点大家都会，书上有，很简单，关键是连接语。二分法与零点的关系：二分法是求零点近似值的方法。注意箭头，往哪儿指？（停顿）念的时候，二分法求零点近似值，箭头指向零点。
二、规范概念图后学生的变化
自习时学生构造概念图过程中，教师对发现的问题要加以强调，及时纠正；课堂上对学生展示中出现的问题进行点评；课后让学生对概念图中不规范的地方进行修改。修改后的学生概念图，可以做到所有连线上都有连接语，大部分连接语正确地反映了知识点之间的关系，有实例。
三、案例分析
本节课主要从连接语即知识点之间关系的角度出发，规范学生构造的概念图，让学生明确本大节的知识点之间有什么关系。在课堂上，通过小组交流、学生展示，发现概念图中连接语不恰当的地方，引导学生找出知识点之间的正确关系。有的节点之间没有合适的连接语，这时需要对节点进行调整，然后加上恰当的连接语。如有的学生的概念图中，“零点”与“函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标”之间，连接语是“零点与方程的关系”。这里除了有零点与方程的关系外，还有零点与函数图象的关系，因此将节点进行分解。“零点”与“函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根”之间，连接语是“零点与方程的关系”；“零点”与“函数y=f(x)的零点是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标”之间，连接语是“零点与函数图象的关系”。对于概念图中存在的一些细节问题，如节点没有加方框、连接语没有写在箭头上、箭头方向反、概念没有实例等，要进行规范。对于概念图中常犯的一些错误，要在课堂上加以强调，引起学生的足够重视。
概念图以核心概念为中心，对知识点进行联想、发散。核心概念位于知识点的中心位置，是概念图的中心。学生往往认为核心概念就是标题，如认为《函数与方程》这一大节的核心概念是“函数与方程”，其实核心概念应该是零点与二分法，与零点、二分法有关的知识点分别摆放在零点、二分法的周围。如果核心概念出了问题，那么整个概念图就没办法修改，需要重新构造。为了避免这样的问题出现，在自习辅导时，要及时发现学生概念图中存在的核心概念的问题，在问题刚萌芽的时候及时纠正，加强构造概念图过程的指导。