导数在高中数学中的应用

导数在高中数学中的应用

四川大中学刘崇智

在本文中,我将对“导数在高中数学中的应用”作一些初步的探讨.

一、在代数中的应用

1.对导数几何意义的考查

分析:这是考察求导法则,函数图象与轴交点情况和方程实根的关系等基础知识,考察导数的意义.由图象可知,,所以在处有平行与轴的切线,故选C.

2.判断函数的单调性

函数的单调性是函数最基本的性质之一,是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的,其思维方法有:一、利用增(减)函数的定义判断单调性;二、导数法.利用在内可导的函数在上递增(或递减)的充要条件是(或),恒成立(但在的任意子区间内都不恒等于0).方法一化简较为繁琐,比较适合解决抽象函数的单调性问题,而用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.,特别是对于具体函数更加适用.

3.求函数极值或最值

最值问题是高中数学的一个重点,也是一个难点.它涉及到了高中数学知识的各个方面,要解决这类问题往往需要各种技能,并且需要选择合理的解题途径.用导数解决这类问题可以使解题过程简化,步骤清晰,学生也好掌握[1].应注意函数的极值与最值的区别与联系,极值是一个局部性概念,最值是某个区间的整体性概念.

分析:这类题目解决的关键在于深刻理解并灵活运用导数的知识,第1小题根据极值点处导数为零,可确定与的关系;第2小题求函数的单调区间可根据求导法得到,列出表格,答案一目了然;第3小题根据导数的几何意义结合一元二次函数的性质即可得到结论..

4.证明不等式

5.证明组合恒等式

7.讨论方程解的个数

例7,讨论关于的方程的解的个数.

分析这道题是属于超越方程的问题,直接求出有一定的困难,因此可以利用导数的知识,用数形结合的方法来做.先作一条与曲线相切的直线,求出的值;再根据的取值范围,讨论方程的解的个数.

二、解决几何问题

1.解决解析几何中的问题

2.解决立体几何中的问题

例9设是球面上的两点,弧是过两点的大圆的劣弧,弧是过两点的任意小圆的弧.设小圆的半径为,圆心为;大圆的半径为,圆心为,大圆面与小圆面交于,求证:弧弧.

分析:这道题把导数和立体几何的知识结合在了一起,再根据球面距离的定义,最终得证.

三、解决应用问题

点拨:先明确日产量、次品数、正品数,再建立利润的目标函数,进而确定日产量.

导数的应用问题涉及到很多内容,以上仅仅讨论了三个方面.现在我们在高中阶段学习导数的有关知识,可以开阔学生的视野,接触到极限等新的数学思想和方法,对数学的新发展将会有进一步的了解.同时,导数是我们研究中学数学的一个有力工具,可以解决许多问题,使我们更加牢固的掌握中学数学的内容,为我们进一步的学习打下了坚实的基础.

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