逻辑矩阵方程及其在布尔网络中的应用

论文摘要

利用矩阵半张量积,布尔网络及其推广形式,布尔控制网络和切换布尔网络,可以转化为代数表达形式.基于它们的新形式,布尔网络中的大量问题可以被系统地解决.为处理一些设计类的问题,本文提出了一种基于矩阵方程的方法.通过这个构造性的方法,块分解中的坐标变换,可逆性分析中的逆系统,以及实现稳定性的切换信号等,都可以被设计出来.论文的第一章首先介绍了几类常用矩阵方程的历史由来与发展现状,其次介绍布尔网络的起源与发展,尤其是基于半张量积,布尔网络在能控能观性,分解与解耦,可逆性与稳定性等方面的背景.第二章是一些关于半张量积的预备知识.除此之外,本章也详细地演示了将布尔控制网络和切换布尔网络等价地转化为其代数表示的过程.在第三章中,三类逻辑矩阵方程从一些实际问题被提炼出来,并分别计算了它们的逻辑解集.由于逻辑矩阵的特殊形式,逻辑解集可以以一种简洁的方式进行呈现.这些结果将被应用于随后的章节,用以分解系统,设计逆系统,以及切换信号.通过逻辑矩阵方程,布尔控制网络的块分解问题在第四章进行了研究.首先,块分解的概念被提出.其次,布尔控制网络的块分解问题被等价地转化为一族逻辑矩阵方程的求解问题.据此,合适的坐标变换可以被设计出来.最后通过一个例子来展示结果的有效性.本文的第五章致力于更加一般形式的布尔控制网络的输出能观性(也被称为非奇异性和左可逆性).首先,利用图论方法,将全局非奇异性转化为有限步的逐点非奇异性.进而,给出一些矩阵形式的判据用以确定非奇异性.在这些判据的基础上,所需的逆布尔控制网络可以被计算和设计出来.章末,通过一个数值算例来显示所得结果的可行性与有效性.在第六章,本文分析了切换布尔网络的三类稳定性,分别是任意切换下的稳定性,逐点切换稳定性以及一致切换稳定性.在一个改进方法的框架下,任意切换下的稳定性和逐点切换稳定性被讨论.基于切换信号的类型,伴随逻辑网络被构造出来用以研究一致切换稳定性和时变输出反馈下的(逐点切换)稳定性.利用这些方法,可以给出一些矩阵判据.相比已有结果,本章结果具有较小的计算复杂度.基于矩阵半张量积,第七章进一步研究了切换布尔网络的切换信号设计问题.首先,提出了一个构造性的方法来获取实现稳定性的全部的状态反馈切换信号.接着,本文发现全局一致切换稳定性等价于伴随逻辑网络中的局部(单点)逐点切换稳定性,进而在有限时间可稳的意义下,所需的全部一致切换信号可以被确定.随之,该方法被推广到时变输出反馈的情况.此外,利用逻辑矩阵方程,本文还分析了切换布尔网络的反馈能力问题.最后,结合一个生物例子和一个数字电路的例子,本文讨论了该章结果的有效性.第八章从研究中存在的问题和布尔网络未来展望两个方面对全文进行了总结.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 符号说明
• 第一章 绪论
•   1.1 矩阵方程的背景及研究现状
•   1.2 布尔网络的背景及研究现状
•   1.3 布尔控制网络与切换布尔网络的背景及研究现状
•     1.3.1 能控性与能观性
•     1.3.2 分解与解耦问题
•     1.3.3 可逆性问题
•     1.3.4 稳定性问题
•     1.3.5 辨识问题
•     1.3.6 最优控制问题
•   1.4 研究的动机
•   1.5 本文主要内容
• 第二章 预备知识
•   2.1 矩阵的半张量积
•   2.2 布尔网络的代数表示
•   2.3 小结
• 第三章 逻辑矩阵方程的逻辑解
•   3.1 AX=B的逻辑解
•   3.2 半张量积下AX=B的逻辑解
•   3.3 ZB=C和AXB=C的逻辑解
•   3.4 小结
• 第四章 布尔控制网络的块分解
•   4.1 引言
•   4.2 问题描述与转化
•   4.3 向量化变换
•   4.4 坐标变换设计
•   4.5 算例
•   4.6 小结
• 第五章 布尔控制网络的左可逆性
•   5.1 引言
•   5.2 问题描述与转化
•   5.3 左可逆性分析与逆系统设计
•     5.3.1 m=p的情形
•     5.3.2 m
•   5.4 算例
•   5.5 小结
• 第六章 切换布尔网络的稳定性分析
•   6.1 引言
•   6.2 任意切换下的稳定性
•   6.3 逐点切换稳定性
•   6.4 一致切换下的稳定性
•   6.5 时变输出反馈下的镇定性分析
•   6.6 小结
• 第七章 切换布尔网络的切换信号设计
•   7.1 引言
•   7.2 状态反馈切换信号
•   7.3 一致切换信号
•   7.4 时变输出反馈切换信号
•   7.5 反馈能力
•   7.6 数字电路中的应用
•   7.7 生物系统中的应用
•   7.8 小结
• 第八章 结论与展望
•   8.1 论文总结
•   8.2 研究展望
• 参考文献
• 致谢
• 作者简介
• 攻读博士学位期间完成论文情况
• 学位论文评阅及答辩情况表

文章来源

类型: 博士论文

作者: 于永渊

导师: 冯俊娥

关键词: 布尔网络,矩阵半张量积,矩阵方程,输入输出分解,可逆性,可稳定性

来源: 山东大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 山东大学

分类号: O157.5;O151.21

总页数: 149

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