Liouville函数与非线性指数和的振荡问题

论文摘要

在解析数论中,研究等分布理论,L-函数的零点分布等问题,自然会涉及到非线性指数函数的振荡问题.我们通常考虑一般的非线性指数和,其形如这里,n～X 表示 X ≤ n ≤ 2X,且e（z）=e2πiz.当β=1/2,Vinogradov[12]研究了关于von Mangoldt函数an=A（n）的非线性指数和S（X,α）的振荡问题.对于an=A（n）和an=p（n）（μ为莫比乌斯函数）的情形已经被Iwaniec,Luo和Sarnak[3]所研究,他们发现这些指数和与GL2上的L-函数密切相关.假设/是上半平面权为偶数的全纯尖形式,他们也证明了S（X,α）的一个更好的上界,这意味着对于L（s,f）[3]的拟黎曼猜想成立.Ren和Ye[7]研究了当β是变量,an是自同构形式的傅里叶系数的情形,并得到以下结论:令 0<β<1,0≠α∈R.（i）对于β≠1/2和所有α≠0,我们有（ii）对于|α|≤ 1或者|α|≥X1/2,我们有（iii）对于1<|α|<X1/2,如果存在一个正整数q满足||α|-2（?）q<X-1/2（q是唯一的）,那么其中,如果不存在这样一个q,那么上式在没有前导项的情况下成立.（iv）具体来说,如果α=±2（?）q,其中,q是大于等于1小于X/4的整数,那么上式变成其中,c0可以写成c0=±（-1）k+12/3（x 3/4-1）（1+i）.对于素数阶pk,Liouville函数λ（n）=∑d2|nμ（n/d2）,λ（pk）=（-1）k.在本文中,我们考虑非线性指数和Murty 和 Sankaranarayanan[4]指出猜想,对于 θ<1,它包含了拟黎曼猜想.黎曼猜想跟上述估计对于θ>1/2成立是等价的.Iwaniec,Luo和Sarnak[3]还考虑了非线性指数和其中,对于任意ε>0,有an<<nε,这里的φ在R+上是紧的稳定的光滑函数.在一定条件下,Iwaniec,Luo 和 Sarnak[3]建立.Sq（X）<<q1/4X34+ε.（1.2）对于β=1/2,Sun[9]无条件的建立了S（X,α）=∑n～X λ（n）e（αnβ）的一个上界.在 Sankaranarayanan[8]中,Sankaranarayanan 给出了一个上界并且得到本文的主要目的是考虑β是变量的情况,并推广Sankaranarayanan[8]和Sun[9]间中的结果.本文的主要结果是以下两个定理.定理1.1.令A（n）是Liouville函数.对于任意0≠α∈R和O<β≤11,对于任意ε>0,我们有其中包含的常数只依赖于ε.注1.为了证明定理1.1,我们将应用Sankaranarayanan[8]和Sun[9]的方法.我们主要使用的技术是Vaughan恒等式和Perron公式.由于β是变量,为了计算出β的依赖性,我们必须小心处理分母上有β的项,尤其是误差项.另外,我们必须在某些地方选择新的参数以确保该方法可行.当β=1/2时,我们的结果与Sankaranarayanan[8]一致,并且改进了 Surn[9]的结果.定理1.2.令μ（n）是莫比乌斯函数.对于任意0≠α∈R和0<β≤1,对于任意ε>0,我们有其中包含的常数只依赖于ε.注2.当β=1/2时,我们得到非线性指数和的上界估计是|α|1/2X3/4.对于任意的正整数q,我们取α=-2（?）q,an=λ（n）或者μ（n）,这跟（1.2）式是一致的.当X的指数是1/2+ε时,该结果是迄今为止最好的结果.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 符号说明
• §1 引言
• §2 Vaughan恒等式在λ（n）中的应用
• §3 基本引理
• 1,1（X,α）的估计'>§4 S_1,1（X,α）的估计
• 1,2（X,α）,S_3,1（X,α）,S_3,2（X,α）的估计'>§5 S_1,2（X,α）,S_3,1（X,α）,S_3,2（X,α）的估计
• 1,1²（X,α）的估计和定理1.1的证明'>§6 S_1,1²（X,α）的估计和定理1.1的证明
• §7 定理1.2的证明
• 参考文献
• 攻读学位期间发表学术论文目录
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 黄敬

导师: 张德瑜

关键词: 非线性指数和,函数,恒等式

来源: 山东师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 山东师范大学

分类号: O156

DOI: 10.27280/d.cnki.gsdsu.2019.000023

总页数: 35

文件大小: 1229K

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