摘 要:讨论一类具有限制联盟结构的合作对策，其中局中人通过优先联盟整体参与大联盟的合作，同时优先联盟内部有合取权限结构限制，利用两阶段Shapley值的分配思想并考虑到权限结构对优先联盟内合作的限制，给出了此类合作对策的解。 该解可看做具有联盟结构的合作对策的两阶段Shapley值的推广。 证明了该解满足的公理化条件，并验证了这些条件的独立性。
关键词：合作对策; 联盟结构; 权限结构; 两阶段Shapley值
0 引言
在合作对策中，联盟结构是指局中人集合的一个划分,划分中的每个子集表示局中人结成的一个优先联盟。 优先联盟内的局中人或者同时参与合作，或者同时不参与合作，即以整体的姿态参与大联盟的合作。 很多学者对具有联盟结构的合作对策进行研究，给出了解的概念，如Owen值[1]，Banzhaf-Owen值[2],对称联盟Banzhaf值[3]等。 2009年，Kamijo[4]从不同角度定义了具有联盟结构的合作对策的一个解，因在优先联盟之间和优先联盟内部分别计算Shapley值，称之为两阶段Shapley值(two-step Shapley value)。
在经典的具有联盟结构的合作对策中，通常假设优先联盟作为一个整体互相之间可以任意结盟，优先联盟内部的局中人也可以任意结盟。 然而在现实生活的合作实践中，经常会出现优先联盟之间或内部结盟有限制的情形。 基于此，学者们讨论了具有限制联盟结构的合作对策。 例如，Kongo[5]，van den Brink等[6]，Béal等[7]研究了优先联盟之间和内部具有交流结构限制的合作对策，Meng等[8,9]研究了凸几何上的具有联盟结构的合作对策、扩张系统上的具有联盟结构的合作对策，孙红霞等[10]研究了优先联盟之间具有格结构的合作对策。
在文献中被广泛研究的另外一类具有合作限制的合作对策是具有权限结构的合作对策[11,12]。 在这类合作对策中，局中人需要其上级的许可才可以参与合作并发挥作用。 本文讨论局中人结成优先联盟参与合作且优先联盟内有权限结构限制的合作对策。 利用两阶段Shapley值的分配思想给出这类合作对策的一个解，证明其满足的公理体系，并通过例子验证了公理的独立性。
1 预备知识
1.1合作对策
用N={1,2,…,n}记局中人集合，v:2N→R满足v(Ø)=0，则称(N,v)为一个合作对策。∀E⊆N，v(E)表示联盟E内局中人通过合作获得的收益。 在不致引起混淆的情况下，合作对策(N,v)也用其特征函数v来表示。N上的所有合作对策记为GN。
设N′⊆N，称(N′,v|N′)是(N,v)的一个子对策，其中v|N′是v限制在N′上得到的函数，即v|N′(E)=v(E)，∀E⊆N′。 如果v∈GN满足v(E)≤v(F)，∀E⊆F⊆N，称v是单调的。 如果i∈N满足v(E∪{i})=v(E)，∀E⊆N\{i}，则称i是v中的零元。 如果i∈N满足v(E∪{i})=v(E)+v({i})，∀E⊆N\{i}，则称i是v中的哑元。如果i∈N满足v(E)=0，∀E⊆N\{i}，则称i是v中的必要元。 如果i,j∈N满足v(E∪{i})=v(E∪{j})，∀E⊆N\{i,j},则称i和j在v中对称。
在传统的小学语文教学中，大多教师局限于“书本”二字，使学生的视野被限制于语文教材当中，学生只能通过课堂教学获取一定的信息和资源。再加上语文教材更新的周期长，许多深受学生喜爱的、紧跟时代发展的童话被排斥在语文教材之外，导致教材中的童话对学生逐渐丧失了吸引力。因此，为充分发挥童话的审美功能，教师应当适当拓展教学内容，通过课下进行互联网阅读、构建图书角、组织阅读课的形式，适时拓展一些课外童话读物，增加学生的阅读容量，进而开阔学生的视野，充分发挥童话的审美功能，让学生在学习过程中逐渐提高童话鉴赏能力。
映射ξ:GN→Rn称为合作对策的一个单值解(简称解)，其中ξi(v)表示分给局中人i∈N的收益分配值。Shapley值[13]是被广泛应用的一个单值解，定义如下:
Shi(v)=
(v(E)-v(E)\{i}),∀i∈N
1.2具有联盟结构的合作对策
映射ξ:GN×CN→Rn称为具有联盟结构的合作对策的一个解。 Kamijo[4]定义的具有联盟结构的合作对策的两阶段Shapley值如下：
1.3具有权限结构的合作对策
设局中人集合为N={1,2,…,n}，Γ={C1,C2,…,Cm}∈CN为N中局中人结成的联盟结构，每个优先联盟Ck内的局中人之间有权限结构限制，用Sk表示，∀k∈M。用ΓS={Sk}k∈M来表示这类优先联盟内部具有权限结构限制的联盟结构，N上的这类限制联盟结构的全体记为用三元组(N,v,ΓS)表示此类合作对策，其中映射称为此类合作对策的一个解。 基于Kamijo的两阶段Shapley值的收益分配思想，并考虑到优先联盟内部权限结构对合作的影响，给出优先联盟内部有权限结构限制的合作对策的一个解，我们称之为联盟内部限制两阶段Shapley值(简称为限制TS值)。
称三元组(N,v,S)为一个具有权限结构的合作对策，其中v∈GN，S∈SN。 映射ξ:GN×SN→Rn称为具有权限结构的合作对策的一个解。 这类对策的解与权限结构对局中人合作的限制有关，本文讨论合取权限结构，即局中人需要所有上级的许可才能参与合作[11]。∀E⊆N，称集合⊆E}是联盟E的自主集，集合Ø}是E的授权集。合取Shapley权限值φ:GN×SN→Rn定义为:φi(v,S)=Shi(vS),∀i∈N,其中vS(E)=v(σ(E))，∀E⊆N，为对策v关于权限结构S的限制对策。
van den Brink等[12]对合取Shapley权限值进行了公理刻画。 下面给出解ξ:GN×SN→Rn需要满足的一些性质。
通过计算得到，(N,v,ΓS)的限制TS值KaS(v,ΓS)为：
可加性 对任意v1，v2∈GN，S∈SN,有ξ(v1+v2,S)=ξ(v1,S)+ξ(v2,S)。
根据印度尼西亚标准化机构网站介绍，截至2015年6月，共发布地理空间信息标准68项，其中地理空间数据获取标准25项，地理空间数据与信息处理标准33项，地理空间数据与信息存储和安全标准1项，地理空间数据与信息分发标准7项，地理空间数据与信息使用标准2项，这些标准没有一项是SNI。
非本质元性 对任意v∈GN，S∈SN，若局中人i满足所有的是v中的零元，则ξi(v,S)=0。
结构单调性 设v∈GN是单调的，S∈SN，i∈N且S(i)≠Ø，则ξi(v,S)≥
必要元性 设v∈GN是单调的，S∈SN，i是合作对策v中的必要元，则ξi(v,S)≥ξj(v,S)，∀j∈N。
定理1[12]合取Shapley权限值φ是满足有效性，可加性，非本质元性，必要元性和结构单调性的唯一解。
2 联盟内部限制两阶段Shapley值
若映射S:N→2N满足i∉S(i)，∀i∈N,则称S为N上的一个权限结构。 对任意i∈N，j∈S(i)称为i的直接下级。N上的权限结构的全体记为SN。映射称为权限结构S的传递闭包，如果对任意∃(i1,i2,…,im),s.t.i1=i,ik+1∈S(ik)(1≤k≤m-1),im=j}。 对任意表示i的所有下级(直接和间接)，用集合表示i的所有上级。
仔猪副伤寒由沙门氏菌感染引起。主要多发于1～2月龄仔猪无明显的季节性，一年四季均可发病，但多发于寒冷、气温多变、阴雨连绵季节，环境卫生差、仔猪抵抗力降低等是本病的诱发因素。急性型常呈败血症变化，皮肤上有紫红色斑点；亚急性或慢性型表现为肠炎、消瘦和顽固性下痢，粪便恶臭，有时带血。
v({1,2})=3,v({3,4})=3,v({3,5})=4,v({4,5})=3，其余v({i,j})=0;
从图2可以看出,生理盐水组、高剂量组、中剂量组和低剂量组大鼠的体长均在持续增长。通过单因素方差分析或Kruskal-Wallis检验,可以得出,与生理盐水组比较,高、中、低剂量组无论是雄性大鼠还是雌性大鼠的体长增长率均无显著性差异(P>0.05),可以认为润光养生美容酒对大鼠的体长没有明显的影响。
注如果Sk(Ck)=Ø,∀k∈M，则限制TS值KaS就是两阶段Shapley值[4];如果Γ={N}，则KaS就是合取Shapley权限值[11];如果Γ={{1},{2},…,{n}}，则KaS就是Shapley值[12]。
限制TS值KaS可以看作通过下面的两阶段分配得到的。
嫁鸡随鸡，嫁狗随狗，爱伟翔，除了选择跟他在一起，还有什么别的办法。所以，我当着母亲的面，转头对伟翔说：“听到没，你要给我一辈子的幸福。”伟翔忙不迭地向母亲保证。
第一步，将大联盟的收益根据商对策u的Shapley值分配给各个优先联盟，即每个优先联盟Ct获得的分配为Sht(u)。
第二步，将每个优先联盟Ct在第一步获得的收益Sht(u)分配给内部各个局中人：v(Ct)部分根据具有权限结构的对策(v|Ct,St)的合取Shapley权限值分配给Ct内各局中人，优先联盟在第一步获得的合作增益Sht(u)-v(Ct)以平均分配的方式分给Ct内各局中人。
例设N={1,2,3,4,5}，N上的合作对策定义为:v({i})=0,∀i∈N;
定义限制TS值定义为:∀i∈Ct∈Γ,其中Sht(u)是优先联盟Ct在商对策u=v/Γ中的Shapley值，φi(v|Ct,St)是局中人i在具有权限结构的对策(v|Ct,St)中的合取Shapley权限值。
2.国内产业关联效应。该效应对日本增加值出口产生了消极的影响，而且影响效果较为强烈，例如在2003～2005年期间，该效应导致日本增加值出口下降了19.55%，接近五分之一。这符合理论上的假设，即国内经济部门的联系越紧密，就会将更多的增加值留在国内，对外出口的增加值必然减少。日本的国内生产体系相对封闭，生产中所使用的中间产品零部件均来自于国内，因此会造成增加值出口的下降。
v(S)=2|S|，∀S⊆N且|S|=3或4;
二语报纸专栏评论写作互动元话语使用考察 ……………………………………………………… 鞠玉梅（4.37）
v({1,2,3,4,5})=15。
N上的限制联盟结构ΓS为:Γ={C1,C2}，其中C1={1,2},C2={3,4,5};S1(1)={2},S1(2)=Ø;S2(3) ={4,5},S2(4)=Ø,S2(5)=Ø。
有效性∀v∈GN,∀S∈SN。
(3)(联盟对称性)对任意如果h,l∈M在商对策u=v/Γ中是对称的，则
下面给出限制TS值的公理刻画结论，并通过一些解的例子说明这些公理是相互独立的。
至于“空腹喝凉开水，会克火抑阳，损坏体质”的说法是有道理的，这是因为早上是阳气升发的开始，如果喝凉水，脏腑的阳气会产生一种不良刺激，时间久了对健康不利。
定理2限制TS值是满足下面六条公理的唯一解。
(1)(有效性)对任意有
(2)(联盟非本质元性)对任意称为是非本质元，如果满足所有的是v中的零元。若i是(N,v,ΓS)中的非本质元，t是商对策u=v/Γ中的哑元，则
表姐缩着身子，既不喊叫也不挣扎，胳膊紧紧地护住上身，身体跟筛糠似的，抖个不停。她觉得周围到处都是人，都在看他们。李石磨被表姐的样子吓住了，悻悻地退回去。
(4)(联盟内部结构单调性)设v∈GN是单调的，且St(i)≠Ø，则≥
(5)(联盟必要元性)设v∈GN是单调的，局中人i∈Ct，i是子对策v|Ct的必要元，则∀j∈Ct。
(6)(可加性)任意v1，v2∈GN，α,β∈R,定义αv1+βv2∈GN为: (αv1+βv2)(E)=αv1(E)+βv2(E)，∀E⊆N。对任意有∀i∈N。
证明首先证明KaS满足上述六条公理。
微电网本质上是一种社区终端综合能源系统,是集成各种分布式能源和负载的能实现自我控制、保护和管理的小型发配电自治系统。社区能源系统如图1所示。
(1)有效性。由KaS的定义及Shapley值、合取Shapley权限值均满足有效性，有
(2)联盟非本质元性。设是(N,v,ΓS)中的非本质元，由合取Shapley权限值满足非本质元性，有φi(v|Ct,St)=0。优先联盟Ct是商对策u=v/Γ中的哑元，由Shapley值的哑元性，有Sht(u)=u({t})=v(Ct)。因此，
(3)联盟对称性。若h,l∈M在商对策u=v/Γ中是对称的，则由Shapley值的对称性可得到Shh(u)=Shl(u)，再由知联盟对称性满足。
(4)联盟内部结构单调性。设v∈GN是单调的，且St(i)≠Ø，首先由合取Shapley权限值满足结构单调性，有φi(v|Ct,St)≥φj(v|Ct,St),∀j∈St(i),再由KaS的定义，对任意j∈St(i)，有≥
(5)联盟必要元性。设v∈GN是单调的，局中人i∈Ct，i是子对策v|Ct的必要元，由合取Shapley权限值满足必要元性，有φi(v|Ct,St)≥φj(v|Ct,St),∀j∈Ct。再由KaS的定义，对任意≥
(6)可加性。设记u1=v1/Γ，u2=v2/Γ为优先联盟集合M上的商对策。由KaS的定义及Shapley值、合取Shapley权限值均满足可加性，容易得到，对任意i∈Ct⊆N有
φi((αv1+βv2)|Ct,St)
下面证明满足上述六条公理的解是唯一的。设满足上述六条公理。∀F⊆N，F≠Ø，考虑一致对策由于{ωF:F⊆N,F≠Ø}是GN的一组基，任意V∈GN可以由这组基唯一的线性表示。 由Ω满足可加性知，只需验证对任意是唯一的。
记F′=F/Γ={k|F∩Ck≠Ø}，F′中元素个数为f′，商对策uF′=ωF/Γ为
∀h,l∈F′在商对策uF′中是对称的，由联盟对称性，
若k∉F′，则k是商对策uF′中的哑元，且∀i∈Ck，i是ωF中的零元，从而是(N,ωF,ΓS)中的非本质元。 由联盟非本质元性，对任意i∈Ck且k∈M\F′,Ωi(ωF,ΓS) =0。
再由有效性得到
(1)
分两种情形讨论优先联盟Ck内部的分配。
情形1f′=1。
不妨设F′={k}，即F⊆Ck。用αk(F)记F在(Ck,Sk)中的授权集。若i∈Ck\αk(F)，则所有都是ωF中的零元，即i是(N,ωF,ΓS)中的非本质元。 再由k是商对策uF′=ωF/G中的哑元，利用联盟非本质元性得到Ωi(ωF,ΓS)=0。若i∈F，则i是子对策ωF|Ck中的必要元，由联盟必要元性，Ωi(ωF,ΓS)≥Ωj(ωF,ΓS),∀j∈Ck。
根据中高考试题分析发现，科学探究不仅是中学生物教学的重要内容，也是中考和高考的重点考查内容。初中阶段培养学生实验探究能力，熟悉科学探究一般过程，能够为学生进入高中后熟悉实验工具，设计实施可行的探究方案等较高级别的科学探究能力打下基础。经典的科学史材料（如萨克斯实验）能让学生重温科学家的科学探究过程，养成科学严谨的探究态度。教师要充分利用教材中的探究实验，如探究种子萌发的外部条件，训练学生熟悉科学探究的一般过程和分析实验结果，表达交流的能力。
2016年，扬州市约有100家各类秸秆综合利用主体正常运转，年利用秸秆约77.5万t，主要以自用为主，绝大多数仍处于小规模、低层次水平，缺少龙头型、骨干型企业，投入产出效率较低，秸秆综合利用水平不高。各县市(区)秸秆综合利用产业发展不均衡，地区差异明显。邗江、江都、宝应、高邮、仪征、广陵除秸杆还田外的秸秆综合利用率分别为15.81%、36.57%、22.40%、47.48%、34.93%、9.27%，秸秆综合利用主体分别为7家、17家、9家、25家、31家和11家，高邮、江都、仪征3市(区)秸秆综合利用总体水平较其他区(县)领先，但在全省范围内依然落后。
由于每个i∈F都是ωF|Ck中的必要元，因此存在某个常数c，Ωi(ωF,ΓS)=c,∀i∈F且Ωi(ωF,ΓS)≤c,∀i∈αk(F)\F。再由联盟内部结构单调性得到Ωi(ωF,ΓS)≥c,∀i∈αk(F)\F。结合式(1)，得到
情形2f′≥2。
若k∈F′，则对任意E⊆Ck，ωF(E)=0。因此任意i∈Ck，均是子对策ωF|Ck的必要元。 由联盟必要元性，Ωi(ωF,ΓS)=Ωj(ωF,ΓS),∀i,j∈Ck。
再由式(1)，得到∀i∈Ck。
下面通过给出几个解的例子说明定理中公理化条件的独立性。
有效性:令为:∀i∈Ct∈Γ,则ξ1满足联盟非本质元性，联盟对称性，联盟内部结构单调性，联盟必要元性，可加性，但不满足有效性。
联盟非本质元性:令为:∀i∈Ct∈Γ,则ξ2满足有效性，联盟对称性，联盟内部结构单调性，联盟必要元性，可加性，但不满足联盟非本质元性。
联盟对称性:设(N,v)∈GN，θ:N→N表示N的某一个排列，记排列θ中排在i之前的所有局中人，为i在(N,v)中关于θ的边际贡献。令为:
若Γ={C1,C2,…,Cm}是N的一个划分，即满足C1∪C2∪…∪Cm=N且Ck∩Cl=Ø,k≠l，则称Γ为N上的一个联盟结构。N上的所有联盟结构记为CN。 称三元组(N,v,Γ)为一个具有联盟结构的合作对策，其中v∈GN，Γ∈CN。 记M={1,2,…,m}为优先联盟下标的集合，在下文中用k∈M表示某个优先联盟Ck。 在M上定义商对策∀K⊆M。在商对策u中，将优先联盟Ck作为一个整体来看待。u(K)表示优先联盟集合K能够获得的收益。
φi(v|Ct,St),∀i∈Ct∈Γ
其中θ[M]为优先联盟下标集合M的一个排列，为优先联盟Ct在商对策(M,u)中关于排列θ[M]的边际贡献。ξ3满足有效性，联盟内部结构单调性，联盟必要元性，可加性，但不满足联盟对称性。
经过多年的改革与发展，我国农村金融体制逐步完善，农村金融业取得了很大的发展成就。经历了多次改革，我国逐步形成了由农业银行、农村信用社、农业发展银行、邮政储蓄银行、村镇银行和小额贷款公司等组成的农村金融体系。
联盟内部结构单调性: 令为:
=Kai(v,Γ)
=+Shi(v|Ct),∀i∈Ct∈Γ
则ξ4满足有效性，联盟非本质元性，联盟对称性，联盟必要元性，可加性，但不满足联盟内部结构单调性。
联盟必要元性:定义f5:GN×SN→Rn为:
则f5满足有效性，可加性，非本质元性，结构单调性，但不满足必要元性[12]。令为：
∀i∈Ct∈Γ
容易验证，ξ5满足有效性，联盟非本质元性，联盟对称性，联盟内部结构单调性，可加性，但不满足联盟必要元性。
可加性:定义f6:GN×SN→Rn为:
其中则f6满足有效性，非本质元性，必要元性，结构单调性，但不满足可加性[12]。令为：
∀i∈Ct∈Γ
ξ6满足有效性，联盟非本质元性，联盟对称性，联盟内部结构单调性，联盟必要元性，但不满足可加性。
3 结束语
本文讨论了局中人通过优先联盟整体参与合作，并且优先联盟内部有合取权限结构限制的合作对策，在优先联盟内有些局中人需要获得其他局中人的许可才能参与合作。 利用两阶段Shapley值和合取Shapley权限值定义了这类合作对策的解，并用一组公理唯一地刻画该解，为现实社会中相应情形下的合作收益分配问题提供了一种定量方法和理论支持。 在后续的研究工作中，可进一步考虑其它的联盟结构限制方式，如二级权限结构，即优先联盟之间和内部均具有权限结构限制的合作对策。 或者利用具有联盟结构的合作对策的其它解，如Banzhaf-Owen值，对称联盟Banzhaf值等，从不同角度给出更多的分配方式。
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ATwo-StepShapleyValueforaKindofCooperativeGameswithRestrictedCoalitionStructure
WANG Li-ming
(1.SchoolofStatisticsandMathematics,InnerMongoliaUniversityofFinanceandEconomics,Hohhot010070,China; 2.InnerMongoliakeylaboratoryofeconomicdataanalysisandmining,Hohhot010070,China)
Abstract:A kind of cooperative games with restricted coalition structure are discussed, in which players participate in the cooperation of the grand coalition through the priori unions as a whole and there are conjunctive permission structures within the priori unions. A solution to this kind of cooperative games is given by using the two-step Shapley value distribution idea and taking into account the limits of permission structure on cooperation within the priori unions. This solution can be seen as a generalization of the two-step Shapley value for games with coalition structures. The axiomatization conditions of the solution are proved, and the independence of these conditions is verified.
Keywords:cooperative game; coalition structure; permission structure; two-step Shapley value
收稿日期：2018- 09-11
基金项目：国家自然科学基金资助项目(71771025,71661024,71561022);内蒙古自然科学基金资助项目(2017MS0715)
作者简介：王利明 (1983-),男,山西孝义人,讲师,博士,研究方向:合作博弈。
中图分类号：O225
文章标识码：A
文章编号：1007-3221(2019)05- 0056- 05
doi:10. 12005/orms. 2019. 0103
标签：联盟论文; 对策论文; 结构论文; 局中人论文; 权限论文; 社会科学总论论文; 统计学论文; 统计方法论文; 《运筹与管理》2019年第5期论文; 国家自然科学基金资助项目(71771025; 71661024; 71561022)内蒙古自然科学基金资助项目(2017MS0715)论文; 内蒙古财经大学统计与数学学院论文; 内蒙古经济数据分析与挖掘重点实验室论文;