求解三类非线性微分方程：怪波解的新方法与新解

论文摘要

非线性微分方程的求解不但是非线性科学中的一个研究主题,而且也是孤子理论中的重要研究方向。尽管研究领域中已经存在一些求解方法,但寻找非线性微分方程的有效解法以及获得非线性微分方程的新解显得十分有意义。怪波解是非线性演化方程的一类特解,其传播以突然性和大振幅为主要特征。构造怪波解的方法有Darboux变换、反散射变换、双线性方法、代数几何约化方法等。本文研究工作的出发点有两个:其一是利用复多重有理指数函数拟形给出构造复系数非线性偏微分方程怪波解的一种新方法;其二是基于辅助常微分方程法寻找一些非线性微分方程的新解。本文的主要工作有:首先,因构造复系数非线性偏微分方程不同类型精确解的需要,将复多重有理指数函数拟形分为孤波拟解、N-波拟解和怪波拟解三种情形。其中孤波拟解用来求解复系数方程分离变量后的实部与虚部,从而间接地构造复系数方程的孤波解;N-波拟解直接用来构造复系数方程的单波解、双波解、三波解,并归纳出N-波解公式;怪波拟解以直接的方式应用于复系数方程,目的是找到构造怪波解的一种新算法。为检验复多重有理指数函数拟形的这三种情形的有效性,文中选取一个变系数的非线性Schr（?）dinger方程进行正面例证,并在例证中对所获三类解的空间结构与动力演化进行了图像模拟。其次,将辅助常微分方程法推广应用于变系数的非线性Schr（?）dinger方程、变系数的Whitham-Broer-Kaup（WBK）方程组及分数阶的非线性振荡方程,结果得到了许多新的精确解,其中包括双曲函数解、三角函数解和有理解。解的模拟图像表明,振幅在动力演化过程中所产生的非线性振荡不但受到系数函数的影响,而且还要受到振荡函数、噪音和分数阶数的影响。

论文目录

• 摘要
• abstract
• 1 绪论
•   1.1 怪波简述
•   1.2 三类非线性微分方程
•   1.3 孤子理论中精确解的一些方法
•   1.4 本文组织结构
• 2 辅助常微分方程法与分数阶导数概述
•   2.1 辅助方程法概述
•     2.1.1 辅助方程法的目的与思路
•     2.1.2 一个辅助常微分方程法
•   2.2 分数阶导数概述
•     2.2.1 分数阶导数的定义
•     2.2.2 分数阶导数的性质
• 3 复多重有理指数函数拟形式与怪波解的新方法
•   3.1 复多重有理指数函数形式及其特例
•     3.1.1 特殊情形1：孤波拟解
•     3.1.2 特殊情形2：N波解
•     3.1.3 特殊情形3：怪波拟解
•   3.2 变系数非线性Schr（?）dinger方程的有理指数函数解
•     3.2.1 构造孤波解
•     3.2.2 构造N波解
•     3.2.3 构造怪波解
•     3.2.4 解的动力学性质
• 4 基于辅助常微分方程法构造新解
•   4.1 变系数非线性Schr（?）dinger方程的新解
•     4.1.1 解的一般性公式
•     4.1.2 一些特解
•   4.2 变系数WBK方程的新解
•     4.2.1 解的一般性公式
•     4.2.2 一些特解
•   4.3 分数阶非线性振动方程的新解
•     4.3.1 解的一般性公式
•     4.3.2 解的特例
•   4.4 解的动力演化与非线性振动
•     4.4.1 变系数非线性Schr（?）dinger方程解的演化与振动
•     4.4.2 变系数WBK方程解的演化与振动
•     4.4.3 分数阶的非线性振动方程解的演化与振动
• 5 总结与展望
• 参考文献
• 论文发表情况
• 致谢

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 张力杰

导师: 张盛

关键词: 复多重有理指数函数拟形,辅助常微分方程法,怪波解,变系数非线性方程,变系数方程组,分数阶非线性振动方程

来源: 渤海大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 渤海大学

分类号: O175

总页数: 53

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