自仿测度的谱性

论文摘要

分形几何作为当今世界十分活跃的理论,它的出现,使人们用新的角度来描述这个世界.随着学科交叉和融合,分形几何与数学的各主要分支建立了密切的联系.例如:在分形几何与调和分析交叉研究方面,Jorgensen和Pederson[45]首次发现了奇异非原子测度（四分Cantor测度μ1/4）是谱测度.这一发现开创了分形几何与Fourier分析相交叉的全新的研究方向（分形上的Fourier分析）,该方向迅速成为数学的研究热点.设μ是上具有紧支撑的概率测度,A（?）Rn是一个离散集,若EΛ:={e2πi<λ,x>:λ∈[Λ}是L2（μ）的一组正交基,则称μ是一个谱测度,Λ称作μ的谱.设M ∈ Mn（R）是一个n阶实数扩张矩阵,D（?）Rn 是一个有限的数字集,迭代函数系{φ)d（x）=M-1（x+d）}d∈D确定唯一的吸引子.由[37]可知迭代函数系{φd（x）}d∈D生成唯一的自仿测度μ:=μM,D满足本论文主要研究自仿测度μ=μM,D的谱性,即,研究L2(μ中的函数是否能Fourier展开.由于测度μM,D的谱性与它的Fourier变换μM,D有紧密联系,我们从μ的零点分布入手,采用分析和数论,代数等方面的知识和技巧,建立某类自仿测度是谱测度或非谱测度的充分必要条件.本论文由五章构成.第一章,我们对自仿测度谱性的背景,研究动机和研究现状进行了总述,并且给出了本论文的主要结果.[11]给出了由M=1/ρ ∈R和D={0,1,...,m-1}（?）Z生成的自相似测度存在无穷正交指数函数系的充要条件,其中0<|ρ|<1,m ≥ 2为素数.在第二章,我们将此重要的结果推广到任意整数的情况.如果A是自相似测度μ的谱,一个有趣的问题是:kΛ也是自相似测度μ的谱的条件是什么?这个问题被称为scaling谱问题.在第三章,我们讨论由M=Bn和D={0,1,...,b-1}（?）N生成的自相似测度μM,D的scaling谱,其中b ∈ N+,给出了μM,D的scaling谱的充分条件.在第四章,我们考虑由数字集和任意的整数矩阵生成的自仿测度的谱性.我们将所有的整数矩阵分成互不相交的四类,证明了每一类矩阵具有相同的谱性.在第五章,我们研究具有直和形式的数字集D={（0,0）t,（α1,<α2）t,（α3,α4）t}（?）k（α1α4-α2α3）D（?）Z2,其中D是一个有限整数数字集,k,αi（1 ≤ i ≤ 4）都是整数.设M ∈M2（Z）是一个满足gcd（det（M）,3）=1的扩张矩阵,则L2（μM,D）中正交指数函数的最多个数为9η+8,其中η=max{r:3r|（α1α4-α2α3）}.研究意义:（1）对R中具有连续数字集的自相似测度μ,给出了L2（μ）存在无穷正交指数函数系的充要条件;（2）证明了一类自相似测度在什么条件下具有scaling谱;（3）对三元整数数字集生成的一类自仿测度,我们使用巧妙的共轭变换,弄清了所有这些自仿测度的谱性,这为研究L2（μ）使用Fourier展开理论提供了理论基础;（4）对于直和形式的数字集的自仿测度,我们解决了这类测度在什么条件下存在有限正交指数函数系的问题.这些成果丰富了分形上分析的研究内容.

论文目录

• 中文摘要
• 英文摘要
• 1. 绪论
•   1.1 引言
•   1.2 预备知识
•   1.3 主要结果
• 2. R中自相似测度的正交指数函数
•   2.1 问题的引出
•   2.2 主要定理的证明
• 3. R中一类自相似测度的scaling谱
•   3.1 问题的引出
•   3.2 关键的引理
•   3.3 主要定理的证明
• 4. 一类自仿测度的谱性
•   4.1 问题的引出
•   4.2 关键的引理
•   4.3 无限正交指数函数
•   4.4 有限正交指数函数
• 5. 平面自仿测度的非谱问题
•   5.1 问题的引出
•   5.2 关键的引理
•   5.3 主要定理的证明
• 参考文献
• 作者在硕博连读期间完成的论文
• 致谢

文章来源

类型: 博士论文

作者: 王志敏

导师: 董新汉

关键词: 自仿测度,谱测度,正交指数函数,变换

来源: 湖南师范大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 湖南师范大学

分类号: O174.12;O189

总页数: 95

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