几类偏微分方程解析方法的研究

论文摘要

在本文中,我们引入变分迭代法、同伦扰动法和拉普拉斯变换来求解各种类型的偏微分方程,并且通过这几种解析方法的比较研究,我们发现变分迭代法就是在校正函数中补充迭代步骤,从而提供对解的连续逼近;同伦扰动法就是克服方程中由非线性现象引起的非线性项所带来的困难,从而使逼近解快速收敛到精确解。本文以一些偏微分方程为例,如Klein-Gorden方程,Boussinesq方程和电报方程,来说明这些方法的有效性。本文主要由以下几个部分组成。第一章主要介绍了文章的研究背景和研究现状。在第二章,我们展示一种改进的拉普拉斯变分迭代法,该方法是建立在变分迭代法和拉普拉斯变换基础之上。首先应用变分迭代法和拉普拉斯变换在递推关系中计算拉格朗日乘子,然后通过同伦扰动方法克服非线性项所带来的困难,从而求出逼近多项式。新改进的方法指出没有任何线性化、离散化和假设就可以得到解,文中也给出了一些数值模拟来说明该方法的紧密性和有效性。在第三章,我们研究浅水波方程的解析方法,即何吉欢—拉普拉斯方法。该方法是变分迭代和拉普拉斯的结合,本章的结果表明该方法特别适用于处理非线性发展方程,尤其是其中的非线性振动问题。在第四章,我们用一种新的方法来求解电报方程,通常称为衰退波方程,即使用何吉欢变分迭代法和拉普拉斯变换来求偏微分方程的精确解或逼近解。该方法最大的优点在于无需在递推关系中计算下一个迭代积分,不需要使用卷积定理来计算拉普拉斯变换中的拉格朗日乘子。此外,由于拉普拉斯变换对非线性项有一定的限制,引入同伦扰动的多项式来降低非线性项的计算量。计算结果表明,该方法易于实现,收敛速度快,可以精确求解。本章通过几个例子说明了该方法的准确性和稳定性。

论文目录

• Abstract
• 摘要
• 1 General Introduction
•   1.1 Research Background
•   1.2 Analysis of Adomian Decomposition method
•     1.2.1 Example 1.1
•     1.2.2 Example 1.2
•   1.3 Variational iteration method and Lagrange multipliers
•     1.3.1 Example 1.3
•     1.3.2 Example 1.4
•   1.4 Basic idea of homotopy perturbation method
•     1.4.1 Example 1.5
•     1.4.2 Example 1.6
•   1.5 Preliminaries
•     1.5.1 Laplace transform
•     1.5.2 Inverse Laplace transform
•   1.6 Statement of the Problem and Motivation
•   1.7 Objectives of the Study
•   1.8 Methodologies
•     1.8.1 Modified Laplace Variational Iteration Method （M-LVIM）
•   1.9 Organization of the thesis
• 2 Modified Laplace variational iteration method for analytical approach of Klein-Gordon and Sine-Gordon equations
•   2.1 Introduction
•   2.2 Numerical Applications
•     2.2.1 Test problem 2.1
•     2.2.2 Test problem 2.2
•     2.2.3 Test problem 2.3
•   2.3 Conclusion
• 3 He-Laplace method for nonlinear vibration in shallow water waves
•   3.1 Introduction
•   3.2 Analysis of the method
•     3.2.1 Example 3.1
•     3.2.2 Example 3.2
•   3.3 Conclusion
• 4 He-Laplace method for nonlinear vibration systems and nonlinear wave equations
•   4.1 Introduction
•   4.2 Numerical examples
•     4.2.1 Example 4.1
•     4.2.2 Example 4.2
•     4.2.3 Example 4.3
•     4.2.4 Example 4.4
•     4.2.5 Example 4.5
•   4.3 Conclusion
• 5 Conclusion and Future Recommendation
•   5.1 Conclusion
•   5.2 Future Recommendation
• Innovation Points
• References
• Publications During Ph.D. Period
• Acknowledgement
• About the Author

文章来源

类型: 博士论文

作者: Muhammad Nadeem

导师: 李风泉

关键词: 变分迭代法,拉普拉斯变换,同伦扰动法,电报方程

来源: 大连理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 大连理工大学

分类号: O175.2

DOI: 10.26991/d.cnki.gdllu.2019.004462

总页数: 72

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