第一类非线性Fredholm积分方程统计反演的算法研究

论文摘要

反问题在地质、海洋、地球物理等科学领域均有广泛应用。通常情况下,反问题具有不适定性,它的求解具有较高难度。本文致力于求解一类具有广泛实际应用背景的不适定问题:非线性Fredholm积分方程。我们考虑求解两个实际物理问题,即重力测量和磁性界面问题,着手求解这两类问题所产生的第一类非线性Fredholm积分方程。第一类非线性Fredholm积分方程属于第一类算子方程的范畴,具有不适定性,当右端数据发生较小变化,引起解的较大变化。在经典框架下,为了得到稳定的数值解,最常用的方法是正则化算法,例如基于Newton迭代的正则化算法。在实际问题中,数据和噪声一般都具有随机性。经典的迭代正则化算法仅仅给出解的单个近似估计,很难刻画未知参数的随机性。将随机性纳入研究范畴,一方面更贴近实际问题,另一方面它不仅可以给出解的单个估计,还可以分析解的不确定性。我们致力于讨论将Bayes统计反演算法应用于第一类非线性Fredholm积分方程的求解。在Bayes反演框架下,原求解问题转化为后验分布的刻画问题。后验分布能够给我们提供足够的解的统计信息。为了探索该后验分布,我们主要采用马尔可夫链蒙特卡洛抽样算法,具体使用preconditioned Crank-Nicolson（pCN）算法。在这一过程中,我们讨论了先验分布和似然函数的构造方式,并给出后验分布的适定性分析,进而对重力测量和磁性界面问题做了数值仿真,数值结果表明所给方法是有效的。

论文目录

• 摘要
• abstract
• 第一章 绪论
•   1.1 反问题
•   1.2 Bayes方法
•   1.3 国内外研究现状和发展态势
•   1.4 本文的主要贡献与创新
•   1.5 本文研究内容与章节安排
• 第二章 预备知识
•   2.1 重力测量问题
•   2.2 磁性界面问题
•   2.3 本章小结
• 第三章 非线性不适定问题正则化方法
•   3.1 Tikhonov正则化
•   3.2 迭代正则化方法
•     3.2.1 Landweber迭代法
•     3.2.2 Levenberg-Marquardt法
•     3.2.3 迭代正则化Gauss-Newton法
•   3.3 本章小结
• 第四章 Bayes统计反演
•   4.1 高斯先验
•   4.2 似然函数
•   4.3 MCMC算法
•   4.4 后验分布的适定性分析
•   4.5 本章小结
• 第五章 数值算例
•   5.1 重力测量问题数值算例
•   5.2 磁性界面问题数值算例
•   5.3 本章小结
• 第六章 总结与展望
•   6.1 总结
•   6.2 展望
• 致谢
• 参考文献

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 王爱玲

导师: 邓志亮

关键词: 反问题,积分方程,公式,马尔可夫链蒙特卡洛

来源: 电子科技大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 电子科技大学

分类号: O175.5

总页数: 44

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