毛剑刚
摘要：纵观历届中考，一元二次方程是考试中的一个热点，因此在初中代数中，也是一项重点内容。在本篇论文中，笔者主要探讨一元二次方程中的一个重要定理：即韦达定理的应用以及在应用过程中需要注意的问题。同时笔者也通过列举一些常见题型的解题思路与方法总结来阐述该定理在一元二次方程中的应用。因此对教师的教学起到重要的作用。
关键词：初中代数；一元二次方程；韦达定理的应用；常见题型归类
在初中数学教学中，教师在教授一元二次方程时，都会将韦达定理作为一个重点来讲解。我们都知道，韦达定理在一元二次方程中的应用性非常突出，而且在各种形式的数学评价里也都能体现出它的重要地位。因此，笔者在这里将其应用做一个归类，并结合相应的例题进行分析和总结解题方法。
首先我们来看一下韦达定理的定义。即对于一元二次方程（a≠0）有二个解为、，则有、。那么，我们如何将这一定理应用到具体的解题过程中呢？在这里，笔者总结了以下五种题型进行阐述：
一、不解方程进行变形求值
例1：方程的解为、，求：
①、②、③、④、
分析：本题并不能采用求根公式直接计算、后进行代入求值，而是应用方程的两根之和与两根之积进行变形转换。
解：由题知，则
①
②
③
④
反思：对于本类型，在使用韦达理前应确保方程的。
二、利用两根关系，确定方程中未知系数的值
例2：已知关于x的方程，是否存在k，使方程的两个实数根的倒数和等于。若存在，求出满足条件的k；若不存在，说明理由。
分析：本题在综合评估中出现的频率较高，应利用条件中两根关系转换出关于k的一个等量关系，但应注意隐含条件的限制。
解：设方程的解为、，则，
由题知
当时，方程，不成立（舍去）
综上所述，不存在k，使方程的两个实数根的倒数和等于。
反思：本题是一道综合应用题，但大家经常会忽略韦达定的前提是应保证，本题再次验证是这个隐含条件的重要性。
三、已知与原方程的两根关系，构造一个新方程
例3：求以一元二次方程的两根之和与两根之积为根的一元二次方程。
分析：本题若直接求得原方程两根，结果会比较麻烦，运算量较大，应充分体现方程与两根之间的一种对应关系。
解：解对于的解、，则、
由题知：
则以、为解的一元二次方程为
反思：本题在解答过程中应注意原方程与新方程两根之间的关系，利用原方程的韦达定理转换出新方程的韦达定理。
四、利用韦达定理巧妙求解相关方程组
例4：解方程组：
分析：本题按常规思路运算繁琐，且容易出错。因此可以借鉴例3的思路使x、y为某一元二次方程的解，这样运算比较简便。
解：由题知，则，
由此可知设y、-x是方程的两个根
，
反思：本种类型综合类型一与类型三，方法灵活巧妙，构思新颖，体现了韦达定理的实用性。
五、利用求根公式在实数范围内因式分解：
例5：在实数范围内因式分解：
分析：因式分解对于学生来说是一个难点，他们经常会感到无从着手。那么对于二次三项式，笔者认为利用韦达定理就可以做到迎刃而解。
解：关于x的方程：，解为
反思：对于二次三项式，韦达定理提供了一个既简捷又行之有效的解决办法，值得学生去推广应用。
以上五种题型是最常见的，通过对它们的分析，我们不难看出韦达定理在解题的过程中不仅可以使解题的过程变得简单，而且也可以使得学生能够灵活地掌握这一部分的知识，从而提高做题的准确率。同时由于韦达定理在初中代数的应用领域很广，因此笔者认为在我们以后的教学中能继续将这一知识重视起来，作为教学重点进行讲解。
在此，我们纵观以上五种题型，不难总结出以下两点：
1.对于一元二次方程中涉及到与二根有关的题型应充分考虑尝试利用韦达定理解决问题，但同时必须注意到题目中的隐含条件，保证方程的。
2.若已知条件或结论中有或可以转化为，的可直接应用韦达定理。
下面我们再例举两例以加深对韦达定理应用的理解：
例6：已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值。
分析：显然已知二式具有共同的形式：x2＋x－1＝0．于是a和b可视为该一元二次方程的两个根．再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解。
解：由已知可构造一个一元二次方程x2＋x－1=0，其二根为a、b．
由韦达定理，得a＋b＝－1，a•b＝－1．故ab＋a＋b＝－2．
例7：若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y。
分析：本题对学生而言难度较大，但通过观察题目不难发现可以将这两个等式转换为两数之和与两数之积的形式，从而联想到构造方程来解决问题。
证明：将已知二式变形为x＋y＝6，xy＝z2＋9．
由韦达定理知x、y是方程u2－6u＋(z2＋9)＝0的两个根．
∵x、y是实数，∴△＝36－4z2－36≥0．
则z2≤0，又∵z为实数，
∴z2＝0，即△＝0．
于是，方程u2－6u＋(z2＋9)＝0有等根，故x＝y．
例6和例7属于综合类型的题目，均需要将已知条件进行转换，从而得出类似于两根之和与两根之积的形式。这样可以使解题过程变得简单而且便于理解。
总之，笔者认为每一位中学数学老师都应该将韦达定理做一个全面的分析，将与之有关的各种类型题总结归类，然后耐心地给学生讲解，这样的话便可以使学生更好地掌握这一知识点。进而在中考时能灵活地应对这一方面的考题，提高他们做题的准确率，从而得到一个比较理想的成绩。因此，希望教师能将其重视起来并在自己的教学中很好地进行研究。
作者单位：浙江省宁波市鄞州区高桥镇中学
邮政编码：315174