1.山东省微山县付村镇三河口小学微山2776002.山东省微山一中微山277600
摘要：近年来，数列与不等式始终是高考命题的热点内容之一，而与数列有关的不等式的证明又是此中的热点中的难点，本文对高考中重点考查的几种方法进行了总结。
关键词：数列不等式证明Withsequencerelatedinequalityproof
HuangXinmeiGeNianguo
Abstract:Inrecentyears,thesequenceandtheinequalitywerethroughoutoneofcollegeentranceexaminationpropositionhotspotcontents,butwiththesequencerelatedinequalityproofalsowasinthishotspotdifficulty,thisarticlekeyexaminationseveralmethodshascarriedonthesummarytothecollegeentranceexaminationin.
Keywords:InwestsequenceInequalityProof
【中图分类号】G622【文献标识码】B【文章编号】1009-9646(2009)06-0104-02
近年来，数列与不等式始终是高考命题的热点内容之一，而与数列有关的不等式的证明又是此中的热点中的难点，现将高考中重点考查的几种方法总结如下：
例1：已知数列｛an｝的前n项和sn满足sn=aa－1（an-1）（a为常且a≠0，a≠1）
(1)求｛an｝的通项公式
（2）设bn=2Snan＋1,若数列｛bn｝成等比数列，求a的值。
（3）在满足条件（2）的情况下，设cn=11+an+11-an+1数列｛cn｝的前几项和为Tn,求证：Tn＞2n－13
解：（1）∵S1=aa-1(a1-1)∴a1=a
当n≥2时,an=sn-sn-1=aa-1(an－1)－aa-1(an-1－1)∴anan-1=a，即｛an｝是等比数列∴an=aan-1=an
(2)由（1）知bn=2aa-1(an-1)an+1=(3a-1)an-2aan(a-1)
∵｛bn｝为等比数列∴b22=b1b3,而b1=3，b2=3a+2a，b3=3a2+2a+2a2∴（3a+2a）2=33a2+2a+2a2∴a=13∴bn=3n∴a=13
(3)证明：由（2）知an=(13)n∴cn=11+(13)n+11-(13)n+1=3n3n+1+3n+13n+1-1=3n+1-13n+1+3n+1-1+13n+1-1=1-13n+1+1+13n+1-1=2－(13n+1－13n+1-1)
由13n+1＜13n,13n+1-1＞13n+1得13n+1-13n+1-1＜13n-13n+1
∴cn=2－(13n+1－13n+1-1)＞2－(13n－13n+1)
∴Tn=c1+c2+…+cn＞［2—（13－132）］+［2—（132—133）］+……+［2—（13n—13n+1）］=2n—［（13—13n+1）］=2n—13+13n+1＞2n－13
放缩法是证明不等式的常用方法，本例第（3）问中多次进行了放缩，即先对cn进行了缩小，再对Tn进行了缩小，证明时应注意放缩的目的性及常用的放缩技巧。
例2：已知数列｛an｝的前n项和为sn，对一切正整数n都有2sn=n2+an
（1）求数列｛an｝的通项公式。
（2）当n∈N*时，证明：12an+1+12an+2+…+12an+1≥712
解：（1）∵Sn=n22+an2∴Sn+1=(n+1)22+an+12∴an+1=Sn+1—Sn=2n+12+an+12—an2即an+1+an=2n+1∴an+1－(n－1)=—（an—n）令bn=an—n则bn+1=—bn∴bn=(－1)n-1b1
又a1=s1=12+a12∴a1=1∴b1=a1—1=0∴bn=0即an=n
(2)证明：构造f(k)=1k+1+1k+2+…+12k(k∈N*)
则：f(k+1)-f(k)=(1k+2+1k+3+…+12k+2)-(1k+1+1k+2+…+12k)=12k+1-12k+2＞0
∴f(k)关于k是递增的又∵2n≥(2n∈N*)∴f(2n)≥f(2)
∴f(2n)=12n+1+12n+1+…+12n+1的最小值为f(2)=13+14=712
∴12n+1+12n+1+…+12n+1≥712
由于数列是特殊函数，故可运用函数的思想方法解决数列中的有关问题。本例第（2）问通过构造函数f(k)，利用函数f(k)的单调性将不等式的证明转化为求函数的最小值，事实上利用函数的单调性证明不等式是一种常用方法，也是高考考查的热点。
例3：已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在开区间（0，1）内是增函数。
（1）求实数a的取值范围
（2）若数列｛an｝满足a1∈(0,1),an+1=ln(z-an)+an(n∈N*)证明：0＜an＜an+1＜1。
解：（1）f′(x)=1x-2+a∵f(x)在（0,1）内是增函数
∴f′(x)≥0在（0，1）内恒成立，即1x-2+a≥0，在x∈(0,1)时恒成立，∴a≥-1x-2
∵0＜x＜1∴-2＜x-2＜-1∴-1＜1x-2＜-12∴12＜-1x-2＜1∴a≥1
（2）由题设可知当n=1时，a1∈(0,1)
假设当n=k时有ak∈(0,1),则n=k+1时，有ak+1=ln(2-ak)+ak记g(x)=ln(2-x)+x则g′(x)=1x-2+1在x∈(0,1)时恒有g′(x)＞0，∴g(x)在（0，1）上是单调递增。
又∵ak+1=g(ak)=ln(2-ak)+ak且0＜ak＜1
∴g(0)＜g(ak)＜g(1)即：ln(2-an)＞0而an+1-ak=ln(2-an)＞0∴an+1＞an综上得0＜an＜an+1＜1
由于数列中的不等式可以看作是与自然数有关的命题，故可运用数学归纳法证明之，这也是数列中的不等式的特殊性的一个方面。本例综合运用数学归纳法，函数的导数与学调性的关系及不等式的性质，证明了该不等式，具有较强的灵活性与综合性，是此类问题的难点。
以上仅从近年来高考考查此类问题的热点中进行了总结，事实上不等式证明的常用方法如比较法、分析法等在此类问题中证明中有时也涉猎到。