q-同余式和三项式系数缺项和

论文摘要

q-同余式与三项式系数和都是组合数论的重要内容.本文主要探讨对称q-同余式,与Jacobi符号相关的4q-同余式,q-二项式和的整除性.以及组合学中三项式系数缺项和的计算公式.q-同余式与数学中许多领域（如:分拆理论,超几何级数,生物物理中的CFT）密切相关.我们采用下面标准记号:（x;q）n=｛（1-x）（1-xq）…（1-xqn-1）,1,当n ≥ 1 时,此外.在本文中,通过综合应用组合恒等式与分圆多项式等工具,我们主要证明了以下几种q-同余式:（i）设n>1为整数且φn（q）表示关于q的n阶分圆多项式,又设d>0与r为整数且d与n互素,f1（q）,...,fn（q）为关于q的整系数多项式,且fk（q）=∑j=0（-1）jq（j+1/2）[kj]qfj（q）（k=1...,n）.则n是奇数时,当n是偶数时,（?）其中a表示-r/d模n的最小非负整数剩余.这个结果蕴含着郭军伟和曾江的一个猜想.并且推广了孙智宏的一个同余式.（ii）设n与d为两个互素的大于1的整数,r为整数,a是-r/d模n的最小非负整数剩余,则对s=0,1,...,n-a-1有这个结果蕴含着郭军伟和曾江的一个猜想.（iii）设m为与正奇数n互素的正整数,则其中（m/n）表示Jacobi符号.这个结果证实了郭军伟的一个猜想,它是Euler同余式mp-1/2≡（m/p）（mod p）（其中p为素数）的q-模拟.（iv）证明了郭军伟[11,Conjecture 5.4]的下述猜想:对任意大于1的整数n,r有及实际上我们得到了更一般的结果,将在第五章给出证明.对正整数n,三项式系数（nk）2（k∈Z）如下给出:∑k∈Z（nk）2xk=（1+x+x-1）n.对正整数m与整数r.我们把三项式系数缺项和∑k≡r（mod m）（nk）2表成一些整系数线性递归序列的和.这推广了 Andrews关于∑k≡r（mod 10）（nk）2的公式.全文共分六章.在第一章中.我们简述了q-同余式的研究概况以及三项式系数缺项和的概念.也阐述了本文的主要结果.后面五章是对本文主要结果的证明.上面提到的（ii）与（iii）以及三项式系数缺项和结果已发表或接收,包含结果（i）与（iv）的论文已在arXiv.org公开.

论文目录

• 中文摘要
• Abstract
• 本文工作背景及主要结果
•   0.1 q-同余式
•   0.2 三项式系数缺项和
• Chapter 1 Introduction
•   1.1 q-Congruences and our main results
•   1.2 Lacunary sums of trinomial coefficients
• Chapter 2 Proof of Theorem 1.1.1 on symmetric q-congruences
•   2.1 Some preparations
•   2.2 Proof of Theorem 1.1.1
• Chapter 3 Proof of Theorem 1.1.2 involving a conjecture of Guo andZeng
•   3.1 Some preliminary results
•   3.2 Proof of Theorem 1.1.2
• Chapter 4 Proof of Theorem 1.1.3 concerning a q-analogue of Euler'scongruence
•   4.1 Preliminaries
•   4.2 Proof of Theorem 1.1.3
•   4.3 Concluding remarks
• Chapter 5 Proof of Theorem 1.1.4 on the divisibility of some binomialsums and its applications
•   5.1 Some lemmas
•   5.2 Proof of Theorem 1.1.4
•   5.3 Applications
• Chapter 6 Proof of Theorem 1.2.1 involving lacunary sums of trino-mial coefficients and an arithmetical application
•   6.1 Proof of Theorem 1.2.1
• n（r, d）'>  6.2 Computation ofω_n（r, d）
•   6.3 An arithmetical application
• Bibliography
• 致谢
• 个人简历及论文情况

文章来源

类型: 博士论文

作者: 尼贺霞

导师: 孙智伟

关键词: 同余式,符号,组合恒等式,三项式系数缺项和

来源: 南京大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 南京大学

分类号: O156

总页数: 85

文件大小: 2602K

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